重庆市第一中学高三下学期5月适应性考试数学试题

2023年重庆一中高考数学适应性试卷一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{n|n＝2k﹣1，k∈Z}（）A．{1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{﹣5，﹣3，﹣1} D．{﹣5，﹣3，﹣1，1}2．（5分）复数z＝的共轭复数表示的点在复平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接正三角形，则＝（）A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣84．（5分）《算法统宗》是明代数学家程大位毕生心血的结晶，载有一些等比数列的问题．某同学在翻阅《算法统宗》的古印本时，发现其中一个问题有部分内容看不清（如图1，该问题应从上到下从右到左读），甲乙丙三个人依次按照公比为的等比数列来分这些银子，丙可以看见分到“九十口两”，其中口均代表一个看不清的汉字．根据题目提供的有效信息（）两银子．A．642 B．652 C．672 D．6825．（5分）体积为36π的球有一个内接圆锥，若该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（）A．16π B．32π C． D．6．（5分）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，则共有（）种排法．A．36 B．54 C．72 D．967．（5分）已知⊙O：x2+y2＝10，AB为⊙O的弦，且|AB|＝6，P为直线3x+4y+10＝0上一点，则线段MP的（）A．最小值为1 B．最小值为2 C．最大值为2 D．最大值为38．（5分）重庆一中图书馆一间阅读室的天花板呈现了美妙的曲线（如图1）．这样的曲线可以通过多个三角函数“叠加“而来，图2为函数f（x）（0＜ω＜7）的部分图象，则f（x）（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目（多选）9．（5分）下列说法正确的有（）α＝P（x2＞xα）xαA．频率分布直方图中各组小长方形的面积等于相应各组的频率 B．随机变量ξ～N（1，4），因为P（ξ＜﹣3）+P（ξ＜5）＝1，故事件“ξ＜﹣3”与事件“ξ＜5”互为对立事件 C．若根据分类变量X和Y的成对样本数据计算得到的χ2＝6，因为6＜6.635，根据表中数据，没有99%的把握认为X和Y相关 D．经验回归方程＝2x+4.2，若＝3.4，则＝11（多选）10．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，右焦点为F，若D（2，1）（）A．双曲线E的离心率为 B．双曲线E的两条渐近线的夹角为60° C．过点D且与双曲线E共渐近线的双曲线方程为 D．若P为双曲线E上动点，则PF+PD的最小值为（多选）11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞﹣1（1）＝1，则下列说法正确的有（）A．f（0）＝0 B．f（x）关于（1，1）对称 C．f（x）在R上单调递增 D．f（1）+f（2）+…+f（2023）＝20232（多选）12．（5分）如图，已知圆柱体OO1的轴截面ABB1A1是边长等于2的正方形，C为圆柱底面圆上不同于A，B的一点1C（不含端点）上的动点，则下列说法正确的有（）A．AD⊥BA1 B．若C为弧AB的中点，则异面直线AC与A1B所成角为 C．沿着圆柱表面从点A到点B1的最短路径长度为 D．若VA1﹣ABC＝2VA1﹣ABD，当VA1﹣ABC最大时，CD与平面ABD所成角的正弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分：13．（5分）已知两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，则a＝．14．（5分）已知，则sin2x＝．15．（5分）已知y＝ex+1+x与y＝ex+x+2有一条公切线，则该公切线的斜率为．16．（5分）我们常用的数是十进制数，如1234（10）＝1×103+2×102+3×101+4×100，表示十进制的数要用0～9这10个数字，而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字（10）＝0×20＝0（2），1（10）＝1×20＝1（2），2（10）＝1×21＝10（2），3（10）＝1×21+1×20＝11（2），4（10）＝1×22＝100（2），7（10）＝1×22+1×21+1×20＝111（2）（下标中的（10）和（2）表示该数是十进制数还是二进制数）．在二进制下，用若干个写有0或1的数牌表示前M个自然数中的任意一个数，定义所需准备的最少数牌个数为f2（M）．如上例，在二进制下，用数牌表示前4个自然数（即0，1，2，3），至少需要准备1个写有0的数牌和2个写有1的数牌，故f2（4）＝1+2＝3，同理f2（5）＝2+2＝4．则f2（16）＝，若f2（M）＝12，则M的最小值为.（用十进制数表示）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，{}是公差为的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，求Tn．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，AD∥BC，AD⊥DC，P是棱DF上的一点且满足．（1）求证：PC∥平面ABEF；（2）求平面DEF和平面ADF夹角的余弦值．19．（12分）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习），如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%．（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．20．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝sin2B（1）求证：a2﹣b2＝bc；（2）若b+c＝a，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，且点P的轨迹为曲线C．（1）求点P的轨迹方程；（2）曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，直线TM，TN的斜率分别为kTM，kTN，且kTM•kTN＝﹣，求证：直线MN过定点，并求△TMN面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝xex+ax2+ax﹣1．（1）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的值；（2）若函数F（x）＝2f（x）﹣ax2﹣（4a+1）x﹣2lnx恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2023年重庆一中高考数学适应性试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{n|n＝2k﹣1，k∈Z}（）A．{1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{﹣5，﹣3，﹣1} D．{﹣5，﹣3，﹣1，1}【答案】B【分析】由已知结合集合交集运算即可求解．【解答】解：因为A＝{x|x2﹣5x﹣8≤0}＝[﹣1，5]，故A∩B＝{﹣1，1，8，5}．故选：B．【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2．（5分）复数z＝的共轭复数表示的点在复平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的代数形式的混合运算，化简复数然后求出共轭复数的坐标即可．【解答】解：复数z＝＝＝＝．＝，对应点的坐标（．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．（5分）⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接正三角形，则＝（）A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8【答案】B【分析】由正弦定理可求得AB，由平面几何性质知，再由平面向量的数量积计算即可．【解答】解：由正弦定理，由题易知，故＝＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查正弦定理和平面向量的数量积，属于基础题．4．（5分）《算法统宗》是明代数学家程大位毕生心血的结晶，载有一些等比数列的问题．某同学在翻阅《算法统宗》的古印本时，发现其中一个问题有部分内容看不清（如图1，该问题应从上到下从右到左读），甲乙丙三个人依次按照公比为的等比数列来分这些银子，丙可以看见分到“九十口两”，其中口均代表一个看不清的汉字．根据题目提供的有效信息（）两银子．A．642 B．652 C．672 D．682【答案】C【分析】设丙分配到了90+x（1≤x≤9，x∈N*）两，利用等比数列性质列方程，结合总的银子的个位数为2，能求出结果．【解答】解：设丙分配到了90+x（1≤x≤9，x∈N*）两，甲乙丙三个人依次按照公比为的等比数列来分这些银子，则由等比数列的性质得：共有银子两，又总的银子的个位数为2，故只能取x＝5，从而共有银子672两．故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质及应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）体积为36π的球有一个内接圆锥，若该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（）A．16π B．32π C． D．【答案】C【分析】根据题意，求出球的半径，作出圆锥和球的轴截面，设圆锥的底面半径为r，高为h，分析可得关于r、h的方程，求出r、h的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，球的体积为36π，则有＝36π，如图：作圆锥和球的轴截面，设圆锥的底面半径为r，由于圆锥的母线长为，球的半径R＝6，则有，解可得h＝2；故圆锥的体积V＝πr2h＝．故选：C．【点评】本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥与球的关系，属于基础题．6．（5分）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，则共有（）种排法．A．36 B．54 C．72 D．96【答案】A【分析】利用间接法，结合插空法求解．【解答】解：利用间接法，仅考虑C排在A后面的情况，然后BDE插空，其中AB相邻的有×5×4＝24种（将AB捆绑，有种，故C排在A后面且AB不相邻的有60﹣24＝36种．故选：A．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．7．（5分）已知⊙O：x2+y2＝10，AB为⊙O的弦，且|AB|＝6，P为直线3x+4y+10＝0上一点，则线段MP的（）A．最小值为1 B．最小值为2 C．最大值为2 D．最大值为3【答案】A【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．【解答】解：⊙O：x2+y2＝10，AB为⊙O的弦，则圆O的半径r5＝5，故，故点M的轨迹是以O为圆心，则MP≥OP﹣OM≥d．故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．8．（5分）重庆一中图书馆一间阅读室的天花板呈现了美妙的曲线（如图1）．这样的曲线可以通过多个三角函数“叠加“而来，图2为函数f（x）（0＜ω＜7）的部分图象，则f（x）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象利用f（）＝0，求出ω＝3，利用两角和差的三角公式进行化简，利用换元法进行换元，然后求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：由图2知f（）＝sinω＝0，即sinω＝﹣1，则ω＝﹣，k∈Z，即ω＝﹣1+4k，∵8＜ω＜7，∴当k＝1时ω＝8，故f（x）＝sinx+sin3x＝sinx+sinxcos2x+cosxsin3x＝sinx+sinx（1﹣2sin5x）+2cos2xsinx＝sinx+sinx（4﹣2sin²x）+2（2﹣sin2x）sinx＝4sinx﹣4sin3x，令t＝sinx（t∈[﹣1，7]）3，故y′＝4﹣12t8，由y′＝4﹣12t2，函数y＝4t﹣8r3为增函数，由4﹣12t7＜0，得＜t≤1或﹣1≤t＜﹣时3为减函数，则当时，此时函数取得极大值，当t＝﹣1时，y＝2，故所求最大值为．故选：C．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件求出函数的解析式，求函数的导数，利用函数单调性，最值和导数的关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目（多选）9．（5分）下列说法正确的有（）α＝P（x2＞xα）xαA．频率分布直方图中各组小长方形的面积等于相应各组的频率 B．随机变量ξ～N（1，4），因为P（ξ＜﹣3）+P（ξ＜5）＝1，故事件“ξ＜﹣3”与事件“ξ＜5”互为对立事件 C．若根据分类变量X和Y的成对样本数据计算得到的χ2＝6，因为6＜6.635，根据表中数据，没有99%的把握认为X和Y相关 D．经验回归方程＝2x+4.2，若＝3.4，则＝11【答案】ACD【分析】根据频率分布直方图、对立事件、独立性检验相关知识可解．【解答】解：对于A，根据频率分布直方图相关性质知A正确；对于B，概率和为1并不能说明两个事件是对立事件；对于C，由独立性检验思想的定义知C正确；对于D，回归直线必过数据中心点．故选：ACD．【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．（多选）10．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，右焦点为F，若D（2，1）（）A．双曲线E的离心率为 B．双曲线E的两条渐近线的夹角为60° C．过点D且与双曲线E共渐近线的双曲线方程为 D．若P为双曲线E上动点，则PF+PD的最小值为【答案】AC【分析】由已知求解a，b，c的值，进一步分析判断A与B；利用待定系数法求解双曲线方程判断C；结合双曲线的定义求最值判断D．【解答】解：由已知可得，，c＝2．∴e＝，故A正确；双曲线E的两条渐近线方程为y＝±x，两渐近线的夹角为90°；E：，设与E共渐近线的双曲线方程设为x4﹣y2＝λ（λ≠0），代入D点坐标，得λ＝5，故C正确；若P在双曲线右支上，设双曲线左焦点为F3（﹣2，0），由双曲线的定义：，得|PF|+|PD|＝|PD|+≥，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值的求法，考查运算求解能力，是中档题．（多选）11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞﹣1（1）＝1，则下列说法正确的有（）A．f（0）＝0 B．f（x）关于（1，1）对称 C．f（x）在R上单调递增 D．f（1）+f（2）+…+f（2023）＝20232【答案】BCD【分析】利用赋值法可求得f（0），即可判断A；利用赋值法求出f（2）＝3，令y＝2﹣x，可得f（x）+f（2﹣x）＝2，即可判断B；利用单调性的定义即可判断C；令x＝n，y＝1，可得f（n）﹣f（n﹣1）＝2，利用累加法可得f（n）＝2，计算即可判断D．【解答】解：对于A，令x＝y＝0，可得f（0）＝﹣1；对于B，令x＝y＝7，令y＝2﹣x，则f（2）＝f（x）+f（2﹣x）+3⇒f（x）+f（2﹣x）＝2，故B对；对于C，设x6＞x2，则f（x1）＝f（x4﹣x2+x2）＝f（x8﹣x2）+f（x2）+8⇒f（x1）﹣f（x2）＝f（x3﹣x2）+1，因为x3﹣x2＞0，故f（x6﹣x2）＞﹣1，故f（x3）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）+1＞0，故f（x）在R上单调递增；对于D，x＝n，故f（n）＝f（n﹣8）+f（1）+1⇒f（n）﹣f（n﹣1）＝5，所以f（n）＝f（n）﹣f（n﹣1）+f（n﹣1）﹣f（n﹣5）+…+f（2）﹣f（1）+f（1）＝2n﹣1，故，故D对．故选：BCD．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）如图，已知圆柱体OO1的轴截面ABB1A1是边长等于2的正方形，C为圆柱底面圆上不同于A，B的一点1C（不含端点）上的动点，则下列说法正确的有（）A．AD⊥BA1 B．若C为弧AB的中点，则异面直线AC与A1B所成角为 C．沿着圆柱表面从点A到点B1的最短路径长度为 D．若VA1﹣ABC＝2VA1﹣ABD，当VA1﹣ABC最大时，CD与平面ABD所成角的正弦值为【答案】CD【分析】选项A，易证BC⊥平面A1AC，从而知AD⊥BC，采用反证法，假设选项所给结论正确，推出AD⊥平面A1BC，有AD⊥A1C，这与点D是线段A1C（不含端点）上的动点相矛盾；选项B，取弧AB的另一个中点E，连接BE，A1E，可知∠A1BE或其补角即为所求，再结合勾股定理与三角函数，求解即可；选项C，计算半圆柱的侧面展开图的对角线即可；选项D，通过已知条件，推出D为A1C的中点，点C是弧AB的中点，再利用等体积法求得点C到平面ABD的距离d，然后计算的值，即可．【解答】解：选项A，因为点C是圆O上一点，由圆柱的性质知，AA1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，又AC∩AA7＝A，AC1⊂平面A1AC，所以BC⊥平面A4AC，而AD⊂平面A1AC，所以AD⊥BC，若AD⊥BA1，由于BC∩BA4＝B，BC1⊂平面A1BC，则AD⊥平面A6BC，因为A1C⊂平面A1BC，所以AD⊥A3C，这与点D是线段A1C（不含端点）上的动点相矛盾，即选项A错误；选项B，取弧AB的另一个中点E，A1E，则AC＝BC＝BE＝AE，所以四边形ACBE是菱形，所以AC∥BE，故∠A7BE或其补角为异面直线AC与A1B所成角，由选项A可知BC⊥平面A1AC，由圆柱的对称性知，BE⊥平面A6AE，因为A1E⊂平面A1AE，所以BE⊥A2E，在Rt△A1BE中，A1B＝2，BE＝4BE＝＝，所以∠A1BE＝，即选项B错误；选项C，考虑半圆柱的侧面展开图是长为π，此时对角线即为所求最短路径，为＝；选项D，若VA1﹣ABC＝2VA1﹣ABD，则，所以D为A1C的中点，当VA7﹣ABC最大时，底面△ABC的面积最大，即△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝，所以AD＝CD＝A1C＝＝，BD＝＝，在△ABD中，由余弦定理得＝＝，所以sin∠ADB＝＝，所以＝×××＝，设点C到平面ABD的距离为d，由VC﹣ABD＝VD﹣ABC知，d•S△ABD＝A1A•S△ABC，所以d•＝•6•，即d＝，所以CD与平面ABD所成角的正弦值为＝＝，即选项D正确．故选：CD．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，异面直线夹角和线面角的求法，等体积法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于难题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分：13．（5分）已知两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，则a＝3．【答案】3．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：两条直线ax+2y+4＝4与3x+（a﹣1）y﹣8＝0平行，由直线平行得a（a﹣1）﹣2×3＝0，解得a＝8或﹣2，经检验，a＝﹣2时直线重合，故a＝2．故答案为：3．【点评】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知，则sin2x＝．【答案】见试题解答内容【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15．（5分）已知y＝ex+1+x与y＝ex+x+2有一条公切线，则该公切线的斜率为3．【答案】3．【分析】根据导数的几何意义及斜率公式，方程思想，即可求解．【解答】解：设公切线与y＝ex+1+x和y＝ex+x+2的切点分别为（x2，y1），（x2，y7），则+x，，又y＝ex+1+x与y＝ex+x+6的导数分别为y′＝ex+1+1与y′＝ex+8，∴公切线的斜率k＝＝＝，∴x1+1＝x5，∴x1﹣x2＝﹣8，∴＝﹣8，∴k＝＝＝3，即公切线斜率为3．故答案为：7．【点评】本题考查两函数的公切线问题，导数的几何意义及斜率公式的应用，方程思想，属中档题．16．（5分）我们常用的数是十进制数，如1234（10）＝1×103+2×102+3×101+4×100，表示十进制的数要用0～9这10个数字，而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字（10）＝0×20＝0（2），1（10）＝1×20＝1（2），2（10）＝1×21＝10（2），3（10）＝1×21+1×20＝11（2），4（10）＝1×22＝100（2），7（10）＝1×22+1×21+1×20＝111（2）（下标中的（10）和（2）表示该数是十进制数还是二进制数）．在二进制下，用若干个写有0或1的数牌表示前M个自然数中的任意一个数，定义所需准备的最少数牌个数为f2（M）．如上例，在二进制下，用数牌表示前4个自然数（即0，1，2，3），至少需要准备1个写有0的数牌和2个写有1的数牌，故f2（4）＝1+2＝3，同理f2（5）＝2+2＝4．则f2（16）＝7，若f2（M）＝12，则M的最小值为65.（用十进制数表示）【答案】7；65．【分析】根据二进制的定义求解．【解答】解：因为是最大的2位二进制数，故至少需要4个1，又因为所有4位以内的二进制数至多含有3个0（如409＝1000a），故至少需要3个0，故f2（16）＝3+4＝3，由题易知，f2（M）一定是不减的，即随着M增大，f2（M）不会减少，且f7（M）用到的0和1个数要么相等，要么5比0多一个，因为f2（M）＝12，故需要6个0和6个8，又因为表示最大的六位二进制数+1×28+1×28+1×28+1×25＝26﹣5＝6300需要6个1，而所有六位以内的二进制数至多有2个0，所以f2（64）＝8+6＝11，又因为最小的七位二进制数，有3个0，所以f2（65）＝5+6＝12，由f2（M）的不减性知，使得f7（M）＝12成立M的最小值等于65．故答案为：7；65．【点评】本题主要考查了二进制的定义，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，{}是公差为的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，求Tn．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝（﹣﹣）．【分析】（1）由等差数列的通项公式和数列的通项与前n项和的关系求得＝，再由数列的恒等式可得所求通项公式；（2）求得bn＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）由a1＝2，{}是公差为，可得＝，即Sn＝an，故，两式相减得an+6＝an+4﹣an，即＝，即an＝a1•••...••...•；（2）令bn＝＝＝（﹣），则Tn＝（3﹣+﹣+﹣﹣+﹣）＝（﹣﹣）．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列恒等式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想、运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，AD∥BC，AD⊥DC，P是棱DF上的一点且满足．（1）求证：PC∥平面ABEF；（2）求平面DEF和平面ADF夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【分析】（1）取AD的靠近点A的三等分点Q，连接PQ，CQ，分别证明PQ∥AF，CQ∥AB，从而知平面PCQ∥平面ABEF，再由面面平行的性质定理，得证；（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面DEF和平面ADF的法向量与，再由空间向量的夹角公式，得解．【解答】（1）证明：取AD的靠近点A的三等分点Q，连接PQ，因为，所以PQ∥AF，因为PQ⊄平面ABEF，AF⊂平面ABEF，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，所以AQ∥BC，AQ＝8＝BC，所以CQ∥AB，又CQ⊄平面ABEF，AB⊂平面ABEF，因为PQ∩CQ＝Q，PQ，所以平面PCQ∥平面ABEF，又PC⊂平面PCQ，所以PC∥平面ABEF．（2）解：因为四边形ABEF为正方形，所以BE⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（6，2，8），2，0），5，2），F（2，2，2），所以＝（2，2），＝（6，0，6），，0，2），设平面DEF的法向量为＝（x1，y1，z3），则，即，令x1＝，则y1＝﹣2，z1＝﹣3，所以，﹣2，设平面ADF的法向量为＝（x8，y2，z2），则，即，令y2＝6，则x2＝z2＝4，所以，1，0），所以|cos＜，＞|＝＝＝，故平面DEF和平面ADF夹角的余弦值为．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面平行的判定定理，利用空间向量求平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习），如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%．（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）（i）概率为0.815；（ii）概率为．【分析】（1）由题意，得到ξ的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，根据全概率公式进行求解即可．（ii）结合（i）中所得信息以及条件概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）易知ξ的所有取值为0，1，3，3，此时P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：0173P则E（ξ）＝0×+4×+3×＝；（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，易知P（B）＝0.1，所以P（A）＝5.9，P（C|A）＝0.85，则P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B××0.3＝0.815；（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率P（A|C）＝＝＝＝．【点评】本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．20．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝sin2B（1）求证：a2﹣b2＝bc；（2）若b+c＝a，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）代入二倍角公式，利用正弦定理、余弦定理即可得；（2）由（1）和已知组成方程组有，根据余弦定理可得B的函数值，即可得三角形面积．【解答】（1）证明：∵sinA＝sin2B，∴sinA＝2sinBcosB，由正弦定理、余弦定理可得：①且b≠c，故a2＝b（c+b）即a3﹣b2＝bc；（2）解：，得，则有，由余弦定理得，，又由正弦定理可得，所以．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，且点P的轨迹为曲线C．（1）求点P的轨迹方程；（2）曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，直线TM，TN的斜率分别为kTM，kTN，且kTM•kTN＝﹣，求证：直线MN过定点，并求△TMN面积的最大值．【答案】（1）．（2）证明见解析；直线MN过定点D（﹣1，0），△AMN的面积最大值为．【分析】（1）由题意得a2+b2＝9，由得（x，y﹣b）＝2（a﹣x，﹣y），消去a、b得出点P的轨迹方程．（2）由曲线C的方程求出点T坐标，设直线MN的方程为x＝my+n，与曲线C的方程联立，消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系求出y1+y2和y1y2，再求x1+x2和x1x2，利用kTM•kTN＝﹣求出n＝﹣1，证明直线MN过定点D（﹣1，0），再求△TMN面积的最大值．【解答】（1）