七年级数学上册培优专题06 浅谈两种特殊的一元一次方程-解析版

/培优专题06浅谈两种特殊的一元一次方程【专题精讲】◎类型一：含字母系数的方程当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b的形式,结合方程解的特征,去寻求解题思路。根据方程解的个数来确定字母系数当字母a,b的取值范围未给出时,方程ax=b的解应根据a,b的取值范围分类讨论(1)当a≠0时,方程有唯一解,x=-ba(2)当a=0,且b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,且b≠0时,方程无解。1．（2021·全国·七年级单元测试）下列说法：①若，且，则是方程的解；②若，且，则是方程的解；③若，则；④若是一元一次方程，则．其中正确的结论是（

）A．只有①② B．只有②④ C．只有①③④ D．只有①②④【答案】D【分析】①将x=1代入方程判断即可；②将x=﹣1代入方程判断即可；③分当a≠0时和a=0判断即可；④根据一元一次方程的定义解答判断即可．【详解】解：①将x=1代入方程中得：，故①正确；②将x=﹣1代入方程中得：，故②正确；③当a≠0时，由得：，当a=0、b≠0时，该方程无解，故③错误；④若是一元一次方程，则有a﹣3≠0且∣a﹣2∣=1，解得：a=1，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的定义、方程的解、解一元一次方程、绝对值方程，理解一元一次方程的定义，熟知方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解答的关键，注意未知数的系数不为0．2．（2020·江西·宜春九中七年级期中）下列说法：①若，且，则是方程的解；②若，且，则是方程的解；③若，则；④若是关于x的一元一次方程，则．其中正确的结论是（

）A．只有① B．只有②④ C．只有①③④ D．只有①②④【答案】D【分析】根据，且，得，，，从而得是方程的解；根据，且，得，，，从而得是方程的解；当时，，则；再根据一元一次方程的定义分析，即可得到a的值，从而得到答案．【详解】∵，且∴，，∵∴∴是方程的解，故①正确；若，且，∴，，∵∴∴是方程的解，故②正确；，当时，，故③错误；∵是关于x的一元一次方程∴∴∴或（舍去）故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义和性质，从而完成求解．3．（2021·全国·七年级单元测试）若关于的方程（，为常数）的解是，则（

）A．方程的解是 B．方程的解是C．方程的解是 D．方程的解是【答案】C【分析】根据题意得，b为任意数，据此判断各选项即可．【详解】解：∵关于的方程（，为常数）的解是，∴，b为任意数A.当时，方程无解，故此选项不正确；B当b=0时，方程无解，故此选项不正确；C.方程的解是，正确；D.当b=-1时，方程无解，，故此选项不正确；故选：C【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2021·吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）如果（a﹣b）x=︱a﹣b︱的解是x=﹣1,那么

（

）A．a=b B．a>b C．a<b D．a≠b【答案】C【分析】把x=-1代入方程计算即可求出．【详解】解：把x=﹣1代入（a﹣b）x=︱a﹣b︱得：∴∵∴∴又∵（a﹣b）x=︱a﹣b︱有解，∴∴∴故选C【点睛】此题考查了一元一次方程的解、绝对值的性质，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．根据方程定解的情况来确定字母系数5．（2020·辽宁大连·七年级期末）如果x＝是关于x的方程5x﹣2m＝6的解，则m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】A【分析】将代入方程即可求出m的值．【详解】将代入方程得：2﹣2m＝6，移项合并得：2m＝﹣4，解得：m＝﹣2.故选A.【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义.一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)的解一定满足该解析式的相关问题，在解答这类题目时首先用所含的未知数表示出方程的解然后代入求值.6．（2021·辽宁葫芦岛·七年级期末）如果x=-5是关于的方程的解，那么的值是（

）A．-40 B．-2 C．-4 D．4【答案】B【分析】把x=-5代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值，这实际上是求待定系数.【详解】解：将x=-5代入得：m-1=-3m=－2故答案为B.【点睛】本题主要考查一元一次方程的的解法，理解一元一次方程解的含义，就是将解代入这个方程，从而将方程变为以另个一个字母为未知数的一元一次方程即可.7．（2020·重庆万州·七年级期末）如果关于x的方程3x+2k-5=0的解为x=-3，则k的值是(

)A．2 B．-2 C．7 D．-7【答案】C【分析】把x=-3代入3x+2k-5=0得到关于k的方程，然后解方程即可．【详解】把x=-3代入3x+2k-5=0得，-9+2k-5=0，解得k=7．故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉等式的性质是解题的关键．8．（2018·江苏盐城·七年级阶段练习）已知是方程的解，则的值是

（

）A．6 B．-6 C．-9 D．-5【答案】B【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．【详解】将x=-1代入2x-5=x+m，∴-2-5=-1+m∴m=-6故选B．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．根据方程的解相同来确定字母系数9．（2022·四川自贡·七年级期末）关于y的方程ay－2＝4与方程y－1＝1的解相同，则a的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．－2【答案】B【分析】求出第二个方程的解得到y的值，代入第一个方程即可求出a的值．【详解】解：由y﹣1＝1，得到y＝2，将y＝2代入ay﹣2＝4中，得：2a﹣2＝4，解得：a＝3．故选：B．【点睛】本题考查同解方程，根据方程同解，得到关于a的方程是关键．10．（2022·江西赣州·七年级期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（

）A．8 B．6 C．-2 D．2【答案】D【分析】先求出方程的解，再把求得的解代入即可求出k的值．【详解】解：∵，∴2x-1=15，∴2x=16，∴x=8，把x=8代入，得：8k−1=15，∴k=2．故选：D.【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．11．（2022·全国·七年级课时练习）若方程与关于x的方程的解相同，则k的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出k的值．【详解】方程2x+1=-1，解得：x=-1，代入方程得：1+2+2k=2，解得：k=-．故选：B．【点睛】此题考查解一元一次方程——同解方程问题，解决问题的关键是求出一个方程的解，代入另一个方程中，求出待定字母的值．12．（2022·安徽安庆·七年级期末）若关于x的方程与有相同的解，则x的值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据两个方程有相同的解，可联立方程组，然后解二元一次方程组即可．【详解】解：联立方程组得，①②式得解得：，则x=-3故选：D．【点睛】本题考查了方程的解与解二元一次方程组．解题的关键在于熟练掌握方程的解并正确的解方程组．根据方程整数解的情况来确定字母的系数13．（2019·重庆荣昌·七年级阶段练习）关于x的方程ax2x1有整数解，那么正整数a可能的取值有（

）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先变形得到x，再结合题意，列举出正整数a可能的取值即可.【详解】ax2x1axx21(a1)x21x因为关于x的方程ax2x1有整数解，且a为正整数，所以a=2、4.故选择B.【点睛】本题考查一元一次方程的整数解，解题的关键是掌握一元一次方程的整数解求解方法.14．（2019·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）若关于的方程有正整数解，则自然数的值是（

）A．1或3 B．5 C．5或7 D．3或7【答案】C【分析】表示出方程的解，根据k为自然数，x为正整数确定出k的值即可．【详解】解：x=，即当k-4=1或3时，方程有正整数解，即k=5或7．故选C．【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解的应用，解题的关键是得出k-4=1或3．15．（2019·全国·七年级单元测试）若关于x的方程mx-=(x-)（其中m≠1）有负整数解，则整数m的值为（）A．2或3 B．-1或2 C．0或-1 D．-1或0或2【答案】C【分析】首先移项、合并同类项,求出x与m之间的关系式,若方程有负整数解,则m-1<0,解出m的取值范围．【详解】若方程有负整数解,则m<1,符合题意的有0、-1．故选：C．【点睛】本题主要考查含字母系数的一元一次方程的知识点,解答本题的关键是合并化简,此题难度不大．◎类型二：含绝对值的一元一次方程当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分类讨论解决问题,例如,由ax+bC,可得ax+b=c或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上述思想策略求解.16．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式：，下列说法正确的是（

）A．不是方程 B．是方程，其解只有2C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2【答案】D【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．17．（2017·四川宜宾·七年级阶段练习）已知关于x的方程：mx+2=2(m-x)的解满足│x│-1=0，则m的值是（

）A．2 B．4 C．2或0 D．4或0【答案】D【分析】根据题意可求出x的值为1或-1，再将x=1和x=-1分别代入mx+2=2(m-x)，解出m的值即可．【详解】解：由|x|-1=0，解得：x=1或x=-1，将x=1代入mx+2=2(m-x)，得：m+2=2m-2，解得：m=4；将x=-1代入mx+2=2(m-x)，得：2-m=2m+2，解得：m=0．故选：D．【点睛】本题考查方程的解的定义，解绝对值方程和解一元一次方程．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．18．（2022·贵州黔西·七年级期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程和不等式，即可求m的值．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，∴，解得，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，利用一元一次方程的定义解决问题是本题的关键．19．（2021·全国·七年级专题练习）若，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】先根据题意求出（3-x）的值，从而不难求出x的值，注意绝对值等于正数的数有两个．【详解】解：∵∴∴x=-4或10故选：D．【点睛】此题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的意义．【巩固训练】1．（2019·湖北鄂州·七年级期末）若关于x的方程有无数解，则3m+n的值为(

)A．﹣1 B．1 C．2 D．以上答案都不对【答案】A【分析】原方程经过移项，合并同类项，根据“该方程有无数解”，得到关于m和关于n的方程，解方程后，代入3m+n，计算求值即可得到答案．【详解】mxx，移项得：mx+x，合并同类项得：（m+1）x．∵该方程有无数解，∴，解得：，把m=﹣1，n=2代入3m+n得：原式=﹣3+2=﹣1．故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．2．（2021·河南洛阳·七年级期中）当时，方程（其中是未知数，是已知数）（

）A．有且只有一个解 B．无解C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解【答案】D【分析】根据一元一次方程的定义即可判断求解.【详解】解：当a=1时，b≠0时，方程为b=0，与b≠0矛盾，故无解；当a=1时，b=0时，方程为b=0，当x取任意值皆可，故有无数解，故选D【点睛】此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟知方程解得含义．3．（2018·全国·七年级单元测试）已知关于的方程的解是，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把x=k-1代入-4x+2k=10得出-4（k-1）+2k=10，求出方程的解即可．【详解】把x=k-1代入-4x+2k=10得：-4（k-1）+2k=10，解得：k=-3，所以|k|=3故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于k的一元一次方程，难度适中．4．（2018·天津·南开翔宇学校七年级阶段练习）若x=-2是关于x的方程2x+m=3的解，则关于x的方程3（1-2x）=m-1的解为（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】将x=-2代入2x+m=3求出m的值，将所得m的值代入3（1-2x）=m-1，解之可得x的值．【详解】解：将x=-2代入2x+m=3，得：-4+m=3，解得：m=7，将m=7代入3（1-2x）=m-1，得：3（1-2x）=6，解得：x=-，故选B．【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．5．（2022·湖南永州·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先解方程5x＋3＝3x−1，求出x的值，然后再代入x−1＝k中，进行计算即可．【详解】解：5x＋3＝3x−1，5x−3x＝−1−3，2x＝−4，x＝−2，把x＝−2代入x−1＝k中可得：k＝−3，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程是解题的关键．6．（2022·重庆彭水·七年级期末）如果方程与关于x的方程的解相同，则k的值为（

）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】先解第一个方程，再代入第二个方程求解．【详解】解：∵−x+2=0，∴x=2，∵方程−x+2=0与关于x的方程7x−2k=4的解相同，∴7×2−2k=4，∴k=5．故选：B．【点睛】本题考查同解方程的定义，正确求解第一个方程是求解本题的关键．7．（2020·山东临沂·八年级期中）已知，，为的三边长，满足，且为