数学人教A版选修1-2课堂探究2.2直接证明与间接证明（第1课时）

课堂探究探究一综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).思路分析：根据题意进行适当配凑，再利用基本不等式进行证明即可．证明：∵a2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2a,3)，b2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2b,3)，c2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2c,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,9)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,9)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c2＋\f(1,9)))≥eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(a＋b＋c)＝eq\f(2,3).∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).规律小结综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2).③若a，b∈(0，＋∞)，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特别是eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.【典型例题2】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.规律小结利用一些常见的结论常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中的一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．【典型例题3】已知a＞5，求证eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a).思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需证eq\r(a－5)＋eq\r(a)＜eq\r(a－3)＋eq\r(a－2)，只需证(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2＜(eq\r(a－3)＋eq\r(a－2))2，即2a－5＋2eq\r(a2－5a)＜2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即证eq\r(a2－5a)＜eq\r(a2－5a＋6)，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，即证0＜6.因为0＜6恒成立，所以原不等式成立．故eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a).温馨提示1．只有不等号两端均为非负数时，才能直接平方．2．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．探究三综合法与分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，宜于表述，但思路不太好想．因此对二者交互使用，相互转换，解题时联合运用可增加解题思路．【典型例题4】已知a，b，c是不全相等的正数，且0＜x＜1，求证logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc.思路分析：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．证明：要证明logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))＜logx(abc)，而已知0＜x＜1，故只需证明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc.∵a，b，c是不全相等的正数，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc成立．∴logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc成立．温馨提示解题时，常用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合运用综合法与分析法，找到沟通已知条件与结论的途径．探究四易错辨析易错点分析法与综合法相混淆致错【典型例题5】求证：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6).错解：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，并且eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正数，所以(eq\r(2)＋eq\r(10))2＜(2eq\r(6))2，即12＋4eq\r(5)＜24，eq\r(5)＜3，所以5＜9.因为5＜9成立，所以不等式eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)成立．错因分析：本题步骤出现错误，把eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正数