2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷

试题数：21,总分：150

1.（填空题，4分）若&=第，则正整数n=_.

2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）

一次，朝上的数字大于4的概率是

3.（填空题，4分）直线y=Bx—1与直线y=?（x—l）的夹角的大小是一

4.（填空题，4分）设即=2n+2皿+】+2n+2+...+22n（n为正整数），则ak+i-ak=_.

5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A（-1,2,-3），B（2,-4,6），若近=

2CB,则C点坐标为一.

6.（填空题，4分）二项式仅一：?展开式中的常数项为

7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1,用灯不亮表示数0,每一种亮灯方

式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是

8.（填空题，5分）若-1,x,y,z,-9（x、v、ZGR）是等比数列，则实数y=_.

9.（填空题，5分）已知直线h：kx-3y+9b=0与h：2x+y+b2+3=0,其中k、beR.若直线

h||12,则h与h间距离的最小值是一.

10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A公司，30%来自B公司，两个公司

的合格率分别是95%和90%,从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是一.

11.（填空题，5分）我们知道：优=第二】+%相当于从两个不同的角度考察组合数：

①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是C针；

②对n个元素中的某个元素A,若A必选，有。在1种选法，若A不选，有种选法，

两者结果相同，从而得到上述等式.

根据这个思想考察从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k

（n>m>k22,且n-k>m）个元素分别选或不选，你能得到的等式是一.

12.（填空题，5分）已知A】（xi，yi）,A2（X2,y2）,....An（xn,yn）（n为正整数）是

直线1：y=2x-3上的n个不同的点,设ai+a2T---1-an=l»当且仅当i+j=n+l时，恒有ai=aj

（i和j都是不大于n的正整数，且iHj）,赤=+。2。人2T卜a71cMi.有下列命题:

①数列｛yn｝是等差数列；

（2）ak=an-k+i（keN,-l<k<n）；

③点P在直线1上；

④若｛Xn｝是等差数列，P点坐标为（等，号）.

其中正确的命题有（填写所有正确命题的序号）.

13.（单选题,5分）已知直线1：（k+1）x+（3k-2）y=0,"k=0"是"直线1过点（0,0）"的

（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

14.（单选题，5分）已知直线1过点P（3,4）,且与坐标轴分别相交于点A、B,若AOAB

的面积为24,其中。为坐标原点，则这样的直线有（）

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的

3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）

A.120种

B.80种

C.64种

D.20种

16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S,体积为V,E、F、G、H分别是AB、

BC、CD、DA上的点，且AC||平面EFGH,BD||平面EFGH,设器=,则下列结

论正确的是（）

A.四边形EFGH是正方形

B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等

（：.若4=:，则多面体BEF-DGH的表面积等于3S

D.若；1=：,则多面体BEF-DGH的体积等于

17.（问答题，14分）为响应市政府"绿色出行"的号召，

小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共

交通或骑共享单车中的一种.根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李

每次出行乘坐公共交通的概率是0.4,骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共交通单程所需的费

用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元.记小李在一个工作日内上下班所花费的总交

通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的.（小李上下班各计一次单程）

（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；

（2）求X的分布和数学期望E[X].

n23n

18.（问答题,14分）已知（l-3x）=ao+aix+a2X+a3XH---Fanx（n为正整数）.

（1）若a2=15a（）-13ai，求n的值；

（2）若n=2022,A=a（）+a2+a4+…+22022，B=ai+a3+a§+…+a202i,求A+B和A2-B2的值（结

果用指数幕的形式表示）.

19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即

先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为|和1（请用分

数作答）.

（1）求甲以4：0获胜的概率；

（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率.

20.（问答题，16分）在数列｛aj中，a,=i（n为正整数）.

，」4an2（n+2）

（1）求｛an｝的通项公式；

n<

（2）求证：2ai+22a2+23a3"t--F2an^1：

（3）若数列｛bn｝满足bi=l,bn-bn+i=（n+2）an>求数列｛bn｝的通项公式.

21.(问答题，18分)如图，已知菱形ABCD中，zCBA=g,直角梯形ABEF中，BE||AF,

AB1AF,AB=BE=：AF=2,0、P分别为AB、DF中点，平面ABEF,平面ABCD.

(1)求证：C0_L平面ABEF；

(2)异面直线PE与AB所成角的大小；

(3)线段AD上是否存在一点G,使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为要，若存在,

求出AG的长；若不存在，请说明理由.

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

试题数：21,总分：15()

1.(填空题，4分)若成=鬣，则正整数n=_.

【正确答案】：[1]27

【解析】：根据题意，由排列、组合数公式，可得n(n-1)(n-1)=羽哼臀"2,计算

4x3x2xl

可得答案.

【解答】：解：根据题意，若胃=鬃，则有n(n-1)(n-1)=的嘿/

解可得：n=27,

故答案为：27.

【点评】：本题考查排列、组合数公式，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题.

2.(填空题，4分)投掷一颗均匀的正方体骰子(六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6)

一次，朝上的数字大于4的概率是一.

【正确答案】：[1]1

【解析】：直接利用古典概型问题的应用求出结果.

【解答】：解：投掷一个正方体骰子，基本事件数为6；

朝上数字大于4的基本事件数为2；

故概率为P(A)=-=-.

63

故答案为：1.

【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维

能力，属于基础题.

3.(填空题，4分)直线y=—1与直线y=当(x—1)的夹角的大小是一

【正确答案】：[1]30°

【解析】：先求出两直线的斜率，求出倾斜角，然后求解夹角.

【解答】：解：直线y=四％-1的斜率等于V3,倾斜角为：60°,

直线y=亨-1)的斜率等于y，倾斜角为30°,

两直线的夹角为30。.

故答案为：30。.

【点评】：本题考查两直线的夹角的求法，已知三角函数值求角，是中档题.

4.(填空题，4分)设即=24+2"1+2n+2+…+22n(n为正整数)，则ak+i-ak=_.

【正确答案】：[l]3N2k+i-2k

【解析】：求出ak+i，ak即得解.

【解答】：解：由题得，ak=2k+2k+i+2k+2+・“+22k=\U=22k+i—2k,

所以以+i=22k+3-2k+1

2k+32k+1kk+12k+1k

两式相减得ak+1-ak=2-2+2-2=3-2-2,

2k+1k

所以ak+1-ak=3-2-2.

故答案为：32k+l-2k.

【点评】：本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题.

5.(填空题，4分)在空间直角坐标系中，已知A(-1,2,-3),B(2,-4,6),若m=

2CB,则C点坐标为一.

【正确答案】：[1](1,-2,3)

【解析】：设C的坐标为(x,y,z),根据向量的坐标运算即可求出.

【解答】：解：设C点的坐标为(x,y,z),

•••A(-1,2,-3),B(2,-4,6),

•••^4C=(x+1,y-2,z+3)>CB—(2-x,-4-y,6-z),

•••AC=2CB,

・•.(x+1,y-2,z+3)=2(2-x,-4-y,6-z)=(4-2x,-8-2y,12-2z)

%+1=4-2%

•**y_2=_8_2y,

z+3=12-2z

解得x=l,y=-2，z=3，

.-.c(1,-2,3).

故答案为：(1,-2,3).

【点评】：本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

6.（填空题，4分）二项式12一£）6展开式中的常数项为

【正确答案】：[1]15

【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的事指数等于0,求得r的值，即可求得

展开式中的常数项的值.

【解答】：解：二项式£）6展开式的通项公式为「+[=娱・（-1）r.x12.3r,令12-3「=0,

求得r=4,

可得展开式中的常数项为微=15,

故答案为：15.

【点评】：本题主要二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1,用灯不亮表示数0,每一种亮灯方

式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是

【正确答案】：口]1024

【解析1：每一个位置只有亮与不亮两种状态，可得结论.

【解答】：解：每一个位置只有亮与不亮两种状态，故可表示的数据个数为2i』1024.

【点评】：本题考查归纳推理，属中档题.

8.（填空题，5分）若-1,x,y,z,-9（x、y、zGR）是等比数列，则实数y=_.

【正确答案】：[1]-3

【解析】：由已知结合等比数列的性质即可直接求解.

【解答】：解：根据等比数列的性质可得y2=-lx（-9）=9,

所以y=3或y=-3,

设等比数列的公比q,

当y=3时，q2=-3不符合题意,

故y=-3.

故答案为：-3.

【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.

9.（填空题，5分）已知直线h：kx-3y+9b=0与b：2x+y+b2+3=0,其中k、bGR.若直线

h||12,则11与12间距离的最小值是一.

【正确答案】：口］噤

【解析】：根据已知条件，结合两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解.

【解答】：解：•・,直线h：kx-3y+9b=0与L：2x+y+b2+3=0平行，

••-k=-3x2=-6,即直线h的方程为2x+y・3b=0,

Ml与12间距离d=忸；慝3|=K?+',

当b=-l时，d取得最小值等.

故答案为：某.

20

【点评】：本题主要考查两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，属于基础题.

10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A公司，30%来自B公司，两个公司

的合格率分别是95%和90%,从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是_.

【正确答案】：口］黑

【解析】：直接利用互斥事件的应用求出结果.

【解答】：解：根据题意合格品的概率P（A）+=

故答案为：黑.

200

【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题，互斥事件，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

11.（填空题，5分）我们知道：C$=C瘠1+巡1相当于从两个不同的角度考察组合数：

①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是常；

②对n个元素中的某个元素A,若A必选，有。密1种选法，若A不选，有巡1种选法，

两者结果相同，从而得到上述等式.

根据这个思想考察从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k

（n>m>k>2,且n-k>m）个元素分别选或不选，你能得到的等式是

［正确答案］：［1］册=%+&

【解析】：根据题意，类比题目的思路，用两种方法讨论"从n个不同的元素中选出m个元素

并成一组”的选法，分析可得答案.

【解答】：解：根据题意，从n个不同的元素中选出m个元素并成一组，有2种分析方法：

①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组，有C铲种选法，

②分2种情况讨论：若其中的某k个元素都入选，需要从剩下的n-k个元素中选m-k个元

素，有。混种选法，

若k个元素都不入选，需要从剩下的n-k个元素中选m个元素，有巡卜种选法，

则有勰=C公k+C浸,

故答案为：第=C9卜+C比"

【点评】：本题考查合情推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题.

12.（填空题，5分）已知Ai（xi，yi）,A2（XZ，y2）,An（x„,yn）（n为正整数）是

直线1：y=2x-3上的n个不同的点，设ai+azd----t-an=l,当且仅当i+j=n+l时，恒有ai=aj

（i和j都是不大于n的正整数，且iHj）,而=的04；+a?。?!；T---卜斯。晨.有下列命题:

①数列｛yn｝是等差数列；

②ak=an-k+i（kCN,-l<k<n）；

③点P在直线1上；

④若｛Xn｝是等差数列，P点坐标为（警，号）.

其中正确的命题有（填写所有正确命题的序号）.

【正确答案】：［1］②③④

【解析】：①可以根据题意进行判断；

②根据题干条件当i+j=n+l时，恒有ai=aj,进行推导；

③设出点P坐标，结合题干条件进行推导；

©再第三问基础上进行推导即可.

【解答】：解：只有在数列｛Xn｝是等差数列时，数列｛yn｝是等差数列，根据题意，数列｛Xn｝不一

定是等差数列，故数列｛yn｝不一定是等差数列，①错误；

因为k+n・k+l=n+l,所以ak=a『k+i（kGN,-l<k<n）,②正确；

因为赤=%。4；+a2。"；T---FanOAn,设P(s,t),

则s=aiXi+a2X2+...4-anXn，t=aiyi+a2y2+...+anyn，

因为Ai(xi,yi),A2(X2,y2),An(xn,yn)(n为正整数)是直线1：y=2x-3上的n

个不同的点，

所以yi=2xi-3,y2=2x2-3,…，yn=2xn-3,

则aiyi=2aixi-3ai，a2y2=2azX2・3a2，…，anyn=2anXn-3an，

相力口得：aiyi+a2y2+・・・+anyn=2(aixi4-32x2+...+anyn)-3(ai+a2+...+an)，

因为ai+az+…+an=l,

所以t=2s・3,点P在直线1上，③正确；

｛Xn｝是等差数列，若n为偶数，则Xi+Xn=X2+Xn-l=.・.=Xn+Xn^,

22

若n为奇数，则Xi4-Xn=X2+Xn-l=...=2Xi+n,

2

又当i+j=n+l时，恒有ai=aj(i和j都是不大于n的正整数,且⑺)，

若n为偶数，则S=aiXi+a2X2+...+anXn=ai(Xi+Xn)+22(X2+Xn-1)+.・・+an\xn+Xn)=

2\2f)

(Xi+Xn)(ai+az+…+。九)=1,

22

同理可得：

若n为奇数，则s=aiXi+a2X2+...+anXn=ai(xi+xn)+az(x2+xn.i)+...+ai+nxi+n=(xi+x；)

22

(ai+az+…+~cn+n)=X]j",

同理可得：t=1；

综上所述：若｛Xn｝是等差数列，P点坐标为(弩，江署)，④正确.

故答案为：②③④，

【点评】：本题考查了数列的递推式及分类讨论，难点在于对③和④的判断，属于难题.

13.(单选题,5分)已知直线1：(k+1)x+(3k-2)y=0,"k=0"是"直线1过点(0,0)”的

()

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

【正确答案】：A

【解析】：先求出不论k取何值，直线1过定点(0,0),再利用充要条件的定义判定即可.

【解答】：解：•••直线1：(k+1)x+(3k-2)y=0,

•••k(x+3y)+(x-2y)=0,

(x+3y=0pc=0

"(x-2y=0'"(y=0'

二不论k取何值，直线1过定点(0,0),

・•.k=0是直线1过点(0,0)的充分不必要条件,

故选：A.

【点评】：本题考查了直线过定点问题，充要条件的判定，属于基础题.

14.(单选题，5分)已知直线1过点P(3,4),且与坐标轴分别相交于点A、B,若4OAB

的面积为24,其中。为坐标原点，则这样的直线有()

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

【正确答案】：C

【解析】：由题意，用点斜式设出直线1的方程为y-4=k(x-3),求出A、B的坐标，根据

△OAB的面积为24,求出k的值，可得结论.

【解答】：解：•••直线1过点P(3,4),且与坐标轴分别相交于点A、B,若4OAB的面积为

24,

其中0为坐标原点，设直线的斜率为k,则直线1的方程为y-4=k(x-3),

故直线1与x轴的交点为A(片，0),直线1与y轴的交点B(0,4-3k),

故ZkOAB的面积为:、|亭冈4-31<|=与?=24,

即(3k-4)2=48|k|,求得k=36+萨,,或k=36-j、一,或k=-,

这样的直线有3条，

故选:C.

【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的截距的定义，属于基础题.

15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的

3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）

A.120种

B.80种

C.64种

D.20种

【正确答案】：A

【解析】：根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件,

考虑顺序，将3人插入6个空位中，可得答案.

【解答】：解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位

符合条件，

考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中有A63,则共有1XA63=120种情况.

故选：A.

【点评】：本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法.

16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S,体积为V,E、F、G、H分别是AB、

BC、CD、DA上的点，且AC||平面EFGH,BD||平面EFGH,设器=4（0<4<1），则下列结

论正确的是（）

A.四边形EFGH是正方形

B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等

C.若4=9则多面体BEF-DGH的表面积等于gs

D.若;1=卜则多面体BEF-DGH的体积等于

【正确答案】：D

【解析】：对A,证明四边形EFGH是平行四边形.所以

选项A错误；

对B,如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH,则AB=AD,所以选项B错误;

对C,假设正四面体ABCD,AB=2,取BD的中点N,连接AN,CN.多面体BEF-DGH的表

面积S'=2百+1。］5，所以选项C错误；

对D,如图，设BD中点为M,连接EM,MF,设点B到平面EMF的距离为hi，则多面体

BEF-DGH的体积=VB-MEF+VEMF-HDG==，B-ADC=，，所以选项D正确.

【解答】：解：对A,因为AC||平面EFGH,ACu平面ABC,

EFu平面EFGH,平面EFGHCI平面ABC=EF,所以AC||EF,同理AC||GH,

所以EF||GH,同理EH||FG,

所以四边形EFGH是平行四边形.

所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；

对B,如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH,则AB=AD,

已知中没有AB=AD,所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误;

对C,假设正四面体ABCD,AB=2,取BD的中点N,

连接AN,CN.贝ijBD_LAN,BD1CN,

因为ANC1CN=N,AN,CNu平面ACN,所以BD1平面ACN,

所以BD_LAC,所以EF1FG,

前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，

又EF=FG,所以四边形EFGH是正方形，且EF=FG=1,

正四面体的每一个面的面积为|x2x2xsin60°=V3,

所以正四面体的表面积为S=4百，

所以多面体BEF-DGH的表面积Sz=-xV3x2+ixV3x2+lxl=2V3+l*is,

442

所以选项c错误；

对D,如图，设BD中点为M,连接EM,MF,则多面体EMF-HDG是棱柱，

设点B到平面EMF的距离为hi，由于笠=；,所以点E是AB的中点，

AD2

则点M到平面HDC的距离为hi，点B到平面ADC的距离为2h-

则多面体BEF-DGH的体积=^B-MEF+^EMF-HDG=1,九1+LEMF>^1=1'^^ADC,

==

hl+-S^ADC-3,S匕ADC,2'\3'S&ADC,2/11=-VB-ADC=5V，

所以选项D正确.

【点评】：本题主要考查线面角的计算，多面体体积的计算，多面体表面积的计算等知识，属

于中等题.

17.（问答题，14分）为响应市政府"绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车

改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种.根据小李从2020年4月到2020年6月的出

行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4,骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共

交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元.记小李在一个工作日内上

下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的.（小李上下

班各计一次单程）.

（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；

（2）求X的分布和数学期望E[X].

【正确答案】：

【解析】：（1）由独立事件概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解即可；

（2）由题意可得X=2,4,6,分别求出对应的概率，可得分布列及数学期望.

【解答】：解：(1)由题意可得P(X=4)=0.4x0.6+0.6x0.4=0.48.

(2)由题意可得X=2,4,6,

P(X=2)=0.6x0.6=0.36,

P(X=4)=0.48,

P(X=6)=0.4x0.4=0.16,

所以X的分布列为：

X246

p0.360.480.16

数学期望E(x)=2x0.36+4x0.48+6x0.16=3.6.

【点评】：本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力,

属于基础题.

n23n

18.(问答题，14分)已知(l-3x)=a0+aix+a2X+a3xH----1-anx(n为正整数).

(1)若a2=15ao-13ai，求n的值；

(2)若n=2022,A=ao+az+a4+…+22022，B=ai+a3+as+…+a202i，求A+B和A2-B2的值(结

果用指数幕的形式表示).

【正确答案】：

【解析】：(1)令x=l即可求出ao,再根据二项式定理的性质分别求出ai,a2,然后解方程

即可求解；(2)分别令x=l,x=-l,求出展开式的值，进而可以求解.

【解答】：解：(1)令x=l,则a()=l,

二项式的展开式中含x项的系数为ai=C%・(-3)1=-3n,

二项式的展开式中含x2项的系数为a2=CI•(-3)2=*二2,

则由已知可得齿a=15xl-13x(-3n),即9n2-87n-30=0,解得n=10或(舍去)，

故n的值为10；

20222x222

(2)若n=2022,则二项式为(l-3x)=a0+axx+a2x+....+a20220'

令x=l,贝ijao+ai+a2+.....+a2022=(1-3)2022=22022①，

令x=-l,贝ijao-ai+a2-.....+a2022=[l-3x(-1)『022=42022=24044②，

①+②可得A=22021+24043,①-②可得B=22021-24043,

所以A+B=22022,A2-B2=(A+B)(A-B)=22022.24044=26066,

【点评】：本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力,

属于中档题.

19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即

先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为|和《（请用分

数作答）.

（1）求甲以4：0获胜的概率；

（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率.

【正确答案】：

【解析】：（1）甲以4：0获胜的概率为P=（|）3由此能求出结果.

（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：①乙连胜4局，②前四局乙3胜1

负，第五局乙胜，由此能求出乙获胜且比赛局数少于6局的概率.

【解答】：解：（1）比赛采用7局4胜制，在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为|和1

・••甲以4：0获胜的概率为：

n/2、416

P=（-）4=—.

381

（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：

①乙连胜4局，概率为P1=（3）4=2，

381

3

②前四局乙3胜1负，第五局乙胜，概率为P2=C"£）,（|）G）=短，

・••乙获胜且比赛局数少于6局的概率P=Pi+P2=三.

243

【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

20.（问答题，16分）在数列｛aj中，ai=；,等1=就不（n为正整数）.

（1）求｛a»的通项公式;

n

(2)求证:2ai+22az+23a3T--t-2an<l；

(3)若数列｛bn｝满足bi=l,bn-bn+i=(n+2)an>求数列｛bn｝的通项公式.

【正确答案】：

【解析】：（1）利用累乘法可求出数列｛a。｝的通项公式；

（2）根据（1）可求出2叫册=#7,从而根据裂项相消求和法可证明结论；

（3）根据（1）可知生+1_可=2［（”+1；2n+，_焉1从而利用累加法可求出数列｛bn｝的通

项公式.

【解答】：解：⑴因为皆=岛,

1

所以家生=二_,£1=-L.,£5=_4_

a2X4'a2x5a2X6把以上（n-1）个式子相

2X3234an-i2(n+l)

乘,

得荒臂箜溪"公=**念x短x短x...x就）即^=^rgx^x|x^x

2

...X口=-------,

n+1/2八一1n(n+l)

所以即=/.品X：,即册=花扁少.

证明：（2）因为即=岛而，所以2n,a3肃=；—W

所以2%+22a2+23.3+-+2'册=(1_3+6_3+6-；)+-“+(；一+)

=1一击<1，

2

所以2al+2ci2+2，Q3+…+2，QnVI.

解：（3）因为/一%+】=5+2）即=5+2）•而不=而帑苏=2［魄一鬲即卜

即bn+1-bn=2［（n+1）.2n+1-忘寸，

所以坛一瓦=2（/