2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：第2课时 简单线性规划的应用

第2课时简单线性规划的应用

学1.能从实际问题中抽象出线性规划问题,并加以解决.（数学抽

习象、数学建模、逻辑推理、数学运算）

目2.会求解线性规划的最优整数解问题.（数学抽象、数学建模、

标逻辑推理、数学运算）.

关键能力-合作学习

类型一线性规划的实际应用问题（数学抽象、数学建模、数学运算）

【典例】某家具厂有木料90五合板600m；准备加工成书桌和书橱

出售.已知生产每张书桌需要木料0.1m3,五合板2m；生产每个书橱需

要木料0.2m:,,五合板1m2,出售一张书桌可获利润80元，出售一个书

橱可获利润120元.怎样安排生产可使所获利润最大.

【思路导引】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规

划问题来求解.

【解析】设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为

z=80x+120y,根据题意知，

0.lx+0.2y<90,x+2y<900,

约束条件为2x+y<600,即2x+y<600,画出可行域为

y£N,

如图所示对应的整数点,

作直线/:80x+120y=0,并平移直线I,

由图可知，当直线/过点C时，z取得最大值，

”(%+2y=900,,、

解°1得C(100,400),

(2%+y=6rn0n0,

所以z*=80X100+120X400=56000,

即生产100张书桌,400个书橱，可获得最大利润.

♦变式探究|

(变结论)例题中的条件不变,如果只安排生产书桌可获利润多少？如果

只安排生产书橱呢？

【解析】(1)若只生产书桌，则y=0,此时目标函数z=80x,

由例题解析图可知Z3=80X300=24000,

即只生产书桌，可获利润24000元.

⑵若只生产书橱,则x=0,此时目标函数z=120y,

由例题解析图可知Zg=120X450=54000,

即只生产书橱，可获利润54000元.

•解题策略

线性规划的实际问题的数学模型

⑴列表定条件:需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是

列成表格,找出线性约束条件.

⑵定目标函数:写出所研究的目标函数.

⑶数形结合求最值:解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划

问题，再按作图、平移、求值的步骤完成即可.

【补偿训练】

某公司生产A,B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染

料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨，乙染料0吨,丙

染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50

吨、160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为

200元/吨,设公司计划一天内安排生产A产品x吨,B产品y吨.

⑴用x,y列出满足条件的数学关系式,并在如图所示的坐标系中画出

相应的平面区域；

⑵该公司每天需生产A,B产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是

多少？

【解析】（1）由题意可得，

x+y<50,

4x<160,可行域如图所示.

2x+5y<200,

y\

⑵设利润z=300x+200y,

由产广吗,可得用4。,月。,

(%+y=50,

结合图形可得x=40,y=10时，Zraa=14000.

答:该公司每天需生产A,B产品分别为40吨，10吨可获得最大利润，最

大利润为14000元.

【拓展延伸】

解答线性规划应用题的一般步骤

(1)审题一一仔细阅读，明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪

些.由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间

的关系，有时可借助表格来理顺.

⑵转化一一设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为

数学上的线性规划问题.

⑶求解一一利用线性规划求解.

(4)作答一一就应用题提出的问题作出回答.

【拓展训练】

某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的

原料，甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个；乙种规格

每张2m；可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求这两种规格的原料各用

多少张,才能使得总用料面积最小.

【解题指南】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规

划问题来求解.

【解析】设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x+2y)

个，绘画标牌(2x+y)个，

2%+y>5,

由题意可得+2y之4,

yGN,

所用原料的总面积为z=3x+2y,可行域为如图阴影部分对应的整数点.

在一组平行直线z=3x+2y中，经过可行域内的点且在v轴上截距最小的

直线过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1),所以最优解为

x=2,y=1.

所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最

小.

类型二线性规划中的最优整数解问题(逻辑推理、数学运算)

【典例】某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x,y满足

2x-y>5,

x-y<2,

x<6,

I%£N,y£N.

⑴在如图所示的坐标系中作出可行域；

⑵求该学校今年计划招聘的教师人数最多多少人?最少多少人?

四步内容

2x-y>5

条件：已知线性约束条件＜x-y<2

x<6

理解题意eN,yQN

结论：（1）作出可行域；（2）计划招聘的教师人数最多

多少人?最少多少人？

思路探求作出可行域,求出可行域内满足条件的整点.

（1）作出不等式组对应的平面区域为如图阴影部分

书写表达

对应的整数点：

(注：图中直线2x-y=5和x=6为虚线)

(2)设z=x+y,则y=-x+z,平移直线y=-x+z,

由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，

直线y=-x+z的截距最大，

此时z最大.但此时z最大值取不到，

由图象可知当直线经过整点E⑸4)时,z=x+y取得

最大值,经过点F(4,2)时，z=x+y取得最小值.

代入目标函数z=x+y,

得2皿=5+4=9,zmin=4+2=6.

故该学校今年计划招聘的教师人数最多9人，最少6

人.

当边界的交点不是可行域内的点时，需要另外求区

题后反思

域内的整数解,一般在交点的附近.

•解题策略

寻找整点最优解的三种方法

⑴平移找解法:先打网格,描整点,平移直线/,最先经过或最后经过的

整点便是最优整点解,这种方法应充分利用整点最优解的信息,结合精

确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时可逐个将整

点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.

⑵小范围搜寻法:将求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入

目标函数,直接求出目标函数的最大（小）值.

⑶调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最后筛选

出整点最优解.

跟踪训练、

某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车,4辆载重量为10吨的B

型卡车,有9名驾驶员.在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每

天运送360吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返次数为:A型车8次,B

型车6次,每辆卡车每天往返的成本费为:A型车160元,B型车280元.

每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？

【解析】设公司每天所花成本费为z元，

每天派出A型车x辆，B型车y辆，

rx<7,

y<4,

则z=160x+280y,x,y满足的约束条件为（％+y<9,

48x+6Oy>360,

y£N,

作出不等式组的可行域为如图阴影部分对应的整数点.

作直线/:160x+280y=0,即/:4x+7y=0.

将/向右上方移至/"立置时，直线人经过可行域上的M点，由图可知此时

z取得最小值.

由方程畸产=36。,解喉工

但y=0.4不是整数，故取x=7,y=1,此时z取得最小值.所以，当每天派出

A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低.

【拓展延伸】

在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等）,

而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求

最优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只

有一个,应具体情况具体分析.

调整优值法时,先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整

最优值,最后筛选出最优解.

【拓展训练】

某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房，

大房间每间18可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元;小房间

每间15inz,可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每

间需1000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用

于装修,且游客能住满客房，则他应隔出大房间和小房间各多少间，才

能获得最大收益？

【解析】设隔出大房间x间，小房间v间，获得收益为z元，则

18x+15y<180,f6x+5y<60,①，

1OOOx+600y<8000,即卜％+3y<40,②，

、%，y£N,1%,y£N,

4

砰、2463耳214x

।\\、\6v+5尸60

\%+3产40

/:4x+3>=0

则目标函数为z=200x+150y=50(4x+3y),

作出不等式组表示的平面区域，即可行域，

如图中阴影部分内的整点.

作直线/:4x+3y=0,

当直线/经过平移过点A(m，时，4x+3y取得最大值，

由于A点的坐标不是整数，而x,y£N,所以点A不是最优解.调整最优

解：

由x,y£N,知4x+3y<37.

37-4x

令4x+3y=37,即y=----,

3

代入约束条件①②,解得三WxW3.

2

25

由于x£N,得x=3,但此时尸TN.

3

36-4x

再次调整最优解：令4x+3y=36.即y=-------,

3

代入约束条件①②,解得0WxW4(x£N).

当x=0时，y=12;

当x=1时,y=10-;

3

1

当x=2时，y=9-;

3

当x=3时，y=8;

2

当x=4时，y=6-

3

所以最优解为(0,12)和(3,8),这时zma=1800.

答：应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益.

【补偿训练】

两类药片有效成分如表：

\^分

阿司匹小苏打可卡因每片价

药品林/mg/mg/mg格/元

A(1片)2510.1

B(1片)1760.2

若要求至少提供12mg阿司匹林,70mg小苏打,28mg可卡因，两类药

的最小总数是多少?怎样搭配价格最低？

【解析】设需用A和B两种药品分别为x片和y片，药品总数为z片,

价格为L元.

<2%+y>12,

5x+7y>70,

由题意，得约束条件（x+6y>28,

%>0,y>0,

<x,y^N.

线性目标函数为：药品总数z二x+y.

价格L=0.1x+0.2y.

由不等式组作可行域如图，取阴影部分的整点,

作直线/°:x+y=0,平移直线/。到/位置，/经过点A时z有最小值.由

2x+y-12=0,

、5%+7y-70=0.

解得点A坐标为(当，

而点A不是整数点，故不能作为最优解.

94

此时，过点A的直线为k.x+y二一,可行域内与直线人距离最近的整点有

9

(1,10),(2,9),(3,8),使即药品总数为11片，而相应价格为

LFO.1X1+0.2X10=2.1,l_2=0.1X2+0.2X9=2.0,

l_3=0.1X3+0.2X8=1.9,其中的L最小,

所以Lmin=1.9(元)，所以药品最小总数为11片，其中3片A种药、8片B

种药搭配的价格最低.

类型三线性规划的综合应用(数学抽象、逻辑推理、数学建模)

角度-L…与向量相医一的问题

”0，

【典例】已知向量a=(l,3),b=(x,y),且变量X,y满足｛V4％，

(%+y-3<0,

则z=a・b的最大值为.

【思路导引】利用向量运算确定目标函数后求最值.

y>o,

【解析】由变量x,y满足/V4工，作出可行域如图,

x+y-3<0,

a=y,

联立

x+y-3=0,

33

解得A

2'2

因为向量a=(1,3),b=(x,y),

所以z=a・b=x+3y,

1z

化为y=—y+&,由图可知,

17

当直线y二一一x+一过A时,

33

直线在V轴上的截距最大,z有最大值为6.

答案:6

♦变式探究

本例中若a=(2,1),试求z=a・b的最小值.

【解析】z=a-b=2x+y,即y=-2x+z,

则当直线/:y=-2x+z平移到点(0,0)时，z取得最小值zmi=2X0+0=0.

角度2…与方程的根有关的问题…

【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)

内，则a+2b-3的值域为.

【思路导引】根据一元二次方程根的分布,利用对应的函数在区间端点

处取值正负确定限制条件,再利用线性规划求值域.

【解析】根据题意，令f(x)=x?+ax+b,

由方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,

另一个根在(1,2)内，

(f(0)=/?>0,

则有｛/(I)=1+Q+b<0,画出对应的可行域,

(f(2)=4+2a+b>0,

如图所示，

\

、\c(-3,2)卜

、

尔、、彳

11I。_____11»

-2\\-1\、O0

\

\\、、

\■、、、

6+1=0

\\-。+

\

\4+2。+6=0

△ABC的区域(不含边界).

其中，A(7,0)、B(—2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,

当a=-2,b=0时，z=(-2)-3=-5,取得最小值，

当a=-3,b=2时，z=(-3)+2X2-3=-2,取得最大值；故a+2b-3的值域为

(-5,-2).

答案：(-5,-2)

♦变式探究

已知一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在［-2,-1］内，另一个根在［1,2］

内，求a+b的取值范围.

【解析】设f(x)=x?+ax+b,因为一元二次方程W+ax+bR的一个根在

［-2,T］内，另一个根在［1,2］内,

了(-1)<0,\-a+b<0,

所以《2)Z0,即<4-2a+b>0,

/(I)<0,l+cz+b<0,

</(2)>0,U+2a+b>0,

作出不等式组对应的平面区域如图：

则以a,b为坐标轴的点(a,b)的存在区域为四边形ABCD及其内部，设

z=a+b,

即b=-a+z,

平移直线b=-a+z,

由图象知当直线b=-a+z经过点B(0,-4)时，直线b=-a+z的截距最小，

此时z最小，z=0-4=-4,当直线b=-a+z与直线CD:a+b+1=0重合时，

直线b=-a+z的截距最大，此时z=-1,

即-4WzW7,即a+b的取值范围是[-4,-1].

。解题策略

1.与向量有关的问题

向量一般作为工具,利用向量的运算可得目标函数或限制条件,再利用

线性规划知识解题.

2.与方程的根有关的问题

若已知一元二次方程根的分布,可利用对应的二次函数求约束条件,方

程的根即函数的零点，根据零点的位置,转化为区间端点处函数的正负,

即为约束条件.

题组训练、

(X-1>0,

1.设X,y满足约束条件(%-2y<0,向量a=(2x,1),b=(l,m-y),则满

(2%+y<4,

足aJ_b的实数m的最小值为()

121233

A.—B.-C.-D.—

5522

【解析】选B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a_Lb,得m=y-2x,根据约束

条件画出可行域，

因为m=y-2x,所以y=2x+m,将m的最小值转化为直线y=2x+m在y轴上

的截距，

当直线y=2x+m经过点A时,m最小，

Z

由x-2y=0,解得A仁3),所以满的实数m的最小值

\2x+y=4,155；

为：-2X31=-U.

555

2.已知a,B是方程x2+ax+2b=0的两根,且

h-3

aG[0,1],B£[l,2],a,b£R,求一的最大值和最小值.

a-1

fa=-a-p,

【解析】因为+夕=一°,所以|

(a•0=2b,J=a,B

1―2°

因为0WaW1,1WBW2,所以1Wa+BW3,0WaBW2,

所以-3W。4T，

VO<b<1.

建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影

部分所示.

令k=——,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率.

a-l

31

因为kAF?kAC=?

所以三

2a-l2

故二的最大值是,最小值是士

a-l22

课堂检测•素养达标学

1.(教材二次开发:例题改编)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排

900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别

为1600元/辆和

2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车

7辆，则租金最少为()

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

【解析】选C.设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z二

36%+6Oy>900,

%+y<21,

y-x<7,

(%,y£N,

作出可行域,如图中阴影部分所示,

可知目标函数过点（5,12）时，有最小值zmin=36800（元）.

2.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的C0?的排放量b及每

万吨铁矿石的价格c如表:

ab/万吨c/百万元

A50%13

B70%0.56

某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO?的排放量不超过2万吨,

则购买铁矿石的最少费用为百万元.

【解析】设购买A,B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的

fl।7、qc

-xH—y>1.9,

210，

1

费用为Z百万元，则z=3x+6y.由题意，约束条件为4％+-y<2,

x>0,

<y>0.

作出可行域,如图所示，由图可知，目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取

得最小值Zmm=3X1+6X2=15.

答案：15

(x-y-1<0,

3.已知点A(3,-1),点P(x,y)满足线性约束条件｛%20,0为

(2%+y-5<0,

坐标原点，则而在苏方向上的投影的取值范围为.

【解析】因为A(3,—1),P(x,y),

所以Op在。人方向上的投影为IO0ICOS<OP,OA>=|OAI-(3x-y).