2023-2024学年北师大版必修第二册 探究ω对y=sin ωx的图象的影响　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 课件（47张）

【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=sin的周期是π. (

)(2)将函数y=sinx图象上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=sin2x的图象. (

)(3)将函数y=2sin中,初相是.

(

)提示:(1)×.周期为2π.(2)×.得到函数y=sinx的图象.(3)×.初相为-.2.函数y=sin+1的最小正周期为 (

)A.

B.π

C.2π

D.4π【解析】选B.T==π.3.(教材二次开发:例题改编)将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得____的图象.

【解析】依题意知将y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的后可得y=sin6x的图象.答案:y=sin6x关键能力·合作学习类型一函数y=sin(ωx+φ)的图象变换(直观想象、数学运算)【典例】1.将函数y=sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位得到的图象对应的解析式是 (

)A.y=sinx B.y=sinC.y=sin2x D.y=sin

2.(2020·白银高一检测)把函数y=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象正好关于原点对称,则φ的最小值为________.

【思路导引】1.逐一代入变换条件,求解析式.2.先表示出平移后的解析式,再利用图象关于原点对称求最小值.【解析】1.选B.将函数y=sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin的图象;再向右平移个单位,得到的图象对应的解析式为y=sin=sin.2.将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得y=sin的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,得+φ=2π,φ=.答案:

【解题策略】(1)变换的要点:①ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的倍;②φ:左右平移的单位是.(2)变换的方向:进行图象变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变换到另一个函数.【跟踪训练】1.(2020·汕头高一检测)为了得到函数y=sin的图象,只要把y=sinx的图象上所有的点 (

)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.y=sin=sin,所以得到函数y=sin的图象,只要把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位.2.(2020·岳阳高一检测)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)=(

)A.sin(2x-1) B.sin(2x+1)C.sin(2x-2) D.sin(2x+2)【解析】选C.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=sin=sin(2x-2)的图象,所以g(x)=sin(2x-2).类型二函数y=sin(ωx+φ)中φ的求法(直观想象、数学运算)【典例】已知函数f(x)=sin+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.【思路导引】(1)由函数为偶函数确定φ-的值进而得到φ的值,再根据相邻对称轴间的距离得出周期,从而求得ω的值便可获得函数解析式,最后求得f的值;(2)先根据图象变换规则求出g(x)的解析式,再求单调区间.【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+(k∈Z)即φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=,故f(x)=sin+1=cosωx+1,因为函数f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,所以T==2×,解得ω=2.因此f(x)=cos2x+1,故f=cos+1=+1.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,所以g(x)=f=cos+1,由2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),故函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z).【解题策略】确定y=sin(ωx+φ)中参数φ的方法(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求;(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求,具体如下:利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令ωx+φ=0;利用“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+φ=;利用“第三点”时,令ωx+φ=π;利用“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+φ=π;利用“第五点”时,令ωx+φ=2π.注意:要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”.【变式探究】本例(2)中,若改为“将f(x)的图象向右平移φ个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,使h(x)的一个对称轴为x=-”,求φ的值.【解析】依题意有h(x)=f=cos+1,因为其图象的对称轴为x=-,所以·-2φ=kπ,解得φ=--(k∈Z),又因为0<φ<,所以取k=-1得φ=.类型三函数y=sin(ωx+φ)的性质与图象的应用(直观想象、数学运算)【典例】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求此函数的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【思路导引】(1)利用相位2x+φ等于kπ+,k∈Z求φ.(2)利用相位2x+φ在正弦函数y=sinx单调增区间内求单调增区间.【解析】(1)因为x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,所以sin(2×+φ)=±1,所以+φ=kπ+(k∈Z),因为-π<φ<0,所以φ=-.因此y=sin.(2)由(1)知y=sin.由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z),所以函数y=sin的单调递增区间为(k∈Z).【解题策略】函数y=sin(ωx+φ)单调性问题的解题策略求y=sin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数ω化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的自变量x的范围.【跟踪训练】函数y=sin(ωx+φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时最大值为1,当x=6π时,最小值为-1.(1)求此函数的解析式.(2)求此函数的单调递增区间.【解析】(1)由题意得T=5π,所以T=10π,所以ω=,则y=sin.因为点(π,1)在此函数图象上,则sin=1,又因为0≤φ≤,有φ==,所以y=sin.(2)当-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z时,函数y=sin单调递增.所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).1.函数y=sin(-2x),x∈[0,2π]的简图是 (

)课堂检测·素养达标【解析】选D.y=sin(-2x),x∈[0,2π],可得函数的最小正周期为π,函数y的图象为两个周期,故A,B均错;由x∈可得2x∈,y=sin(-2x)<0.2.已知函数f(x)=sin(2x+),将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为 (

)A. B. C. D.【解析】选B.由题意得g(x)=sin=sin,因为g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图象关于x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或最小值,所以sin=±1,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=--,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时φmin=.3.已知函数y=sin,则该函数的最小正周期、初相分别是____,______.

【解析】由函数y=sin的解析式知,最小正周期为T==10π,初相为

.答案:10π

4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内,当x=时有最大值1,当x=时有最小值-1,则ω=________.

【解析】由题意知T=2×=π,所以ω==2.答案:2九探究ω对y=sinωx的图象的影响探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响【基础通关—水平一】(15分钟30分)

1.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,则所得函数图象对应的解析式为(

)A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

x

D.y=sin

课时素养评价【解析】选D.函数y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得y=sin的图象,再将此图象向左移个单位长度,得y=sin=sin的图象.2.若x1=,x2=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的最值点,则ω=(

)A.2

B.

C.1

D.【解析】选A.由题意及函数y=sinωx的图象与性质可知,T=-,所以T=π,所以=π,所以ω=2.3.函数f(x)=sin,x∈[-π,0]的单调递增区间是 (

)A.

B.C. D.【解析】选D.令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,又-π≤x≤0所以-≤x≤0.4.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图所示,则φ=_______.【解析】由题意得=2π-π,所以T=π,ω=.又由x=π时y=-1得-1=sin,-<π+φ≤π,所以π+φ=π,所以φ=π.答案:π5.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.

【解析】结合y=sinωx的图象可知y=sinωx在上单调递减,而y=sin=sin,可知y=sinωx的图象向左平移个单位之后可得y=sin的图象,故y=sin在上单调递减,应有⊆

,解得≤ω≤.答案:

6.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sinx的图象相同,求f(x)的解析式.【解析】(反过来想)y=sinx的图象

y=sin的图象

y=sin的图象,即所求解析式为y=sin.向右平移个单位横坐标变为原来的【能力进阶—水平二】

(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称,则|φ|的最小值是 (

)A. B. C. D.【解析】选A.将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移个单位后得到的函数为y=sin=sin,由3x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).令=(k∈Z).所以φ=kπ-(k∈Z),|φ|的最小值为.2.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后,所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为 (

)A.

B.C.

D.【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,向右平移φ(φ>0)个单位长度得函数h(x)=sin的图象,于是2φ+=+kπ,k∈Z,-2φ+=+kπ,k∈Z,于是φ的最小值分别为.3.函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值是(

)A.98π

B.98.5πC.99.5π

D.100π【解析】选C.由题意得×T≤1即×≤1,所以ω≥99.5π.4.已知曲线C1:y=sinx,C2:y=sin,则下面结论中正确的是 (

)A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移