机器人机构学 课件 螺旋理论基础

螺旋理论基础工业和信息化部“十四五”规划教材机器人机构学第二章01点、线、面的齐次表示点的齐次坐标在坐标系Oxyz中，点A的位置由矢径

决定，如图2-1所示。若有4个数x0、y0、z0和d，使x0/d=x、y0/d=y及z0/d=z，则点A的矢径可以表示为r=（x0i+y0j+z0k）/d0

点、线、面的齐次表示图2-1点的齐次坐标。点、线、面的齐次表示假设空间有两个点A(x1,

y1,

z1)和B(x2,

y2,

z2)，如图2-2所示。若按一定的顺序连接这两个点，就确定了一条空间直线的位置和方向，这条有向线段

可用矢量S表示。在直角坐标系中，S与其3个分量关系为S=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k直线的矢量方程点、线、面的齐次表示图2-2直线的矢量方程。点、线、面的齐次表示图2-4平面的矢量方程。点、线、面的齐次表示平面的矢量方程如图2-4所示，若矢量n(L,

M,

N)表示某平面的法线，且该平面通过已知点r(x1,

y1,

z1)，此时，平面的矢量方程可以表示为(r-r1)·n=0，整理后可得r·n=n0点、线、面的齐次表示02点、线、面的相互关系及两直线的互矩直线与平面的交点若空间有一方向矢量为S的直线与一平面交于点A，A点的矢径为r，如图2-6所示。列写直线矢量方程和平面矢量方程分别为r×S=S0r·n=n0点、线、面的相互关系及两直线的互矩图2-6直线和平面的交点。点、线、面的相互关系及两直线的互矩有两个平面，其坐标分别为(n1;n01)和(n2;n02)，两平面的交线与n1及n2垂直，亦即平行于n1×n2。为求这条交线的方程，可将下面的三重叉积展开。r×(n1×n2)=(r·n2)n1-(r·n1)n2

两平面的交线点、线、面的相互关系及两直线的互矩图2-7两直线的互矩。点、线、面的相互关系及两直线的互矩两直线的互矩设空间有相错的两条直线，它们不平行也不相交，如图2-7所示，其矢量方程为r1×S1=S01r2×S2=S02点、线、面的相互关系及两直线的互矩有共面两直线，其Plücker坐标分别为(S1;S01)和(S2;S02)，其交点的矢径为r，则有r×S1=S01，r×S2=S02。为求此交点可以将两直线方程的两边对应项相叉乘，有(r×S1)×(r×S2)=S01×S02

两直线的交点点、线、面的相互关系及两直线的互矩两直线的公法线空间有两直线，其Plücker坐标分别为(S1;S01)和(S2;S02)，欲求其公法线(a;a0)。显然，其公法线的方向矢量为a=S1×S2。这里先将直线和公法线构成一个平面m，由平面方程式可知，r·n=n0，其中，n的方向矢量为S1×(S1×S2)，n0=r1·n。点、线、面的相互关系及两直线的互矩03线矢量及螺旋本节给出两个重要概念：一个是线矢量(linevector)。另一个是螺旋(screw)。线矢量及螺旋如果空间内一个矢量被约束在一个方向、位置固定的直线上，仅允许该矢量沿直线前后移动，这个被直线约束的矢量称为线矢量，简称线矢。因此，线矢量在空间的位置和方向就由直线方程中的方向矢量S和其线矩S0决定，并且S与S0正交，S·S0=0。线矢量记为$，用Plücker坐标表示为(S;S0)，以标量λ数乘，λ(S;S0)表示同一线矢量。线矢量及螺旋矢量S表示直线方向，它与原点的位置无关；而线矩S0则与原点的位置有关。若原点的位置发生改变，由点B移至点A，如图2-8所示。线矢量及螺旋一个螺旋包含了4个要素：螺旋的轴线。螺旋的节距。螺旋的方向。螺旋的大小。线矢量及螺旋04螺旋的代数运算设有螺旋$=S+∈S0和数a，螺旋的数乘为a$=aS+∈aS0(2-45)螺旋的数乘满足分配律与交换律。螺旋的数乘运算螺旋的代数运算两螺旋的加法运算两螺旋

、

，其加法运算之和一般仍为螺旋(特殊情况下也可能为线矢量或偶量)，且和螺旋的原部与对偶部分别为两螺旋的原部与对偶部之和。螺旋的代数运算对于线矢量，若两线矢量共面，而且两原部之和非零，则两线矢量之和仍为线矢量。具体证明如下。由于是线矢量，原部和对偶部有正交性，即

，

。又已知两线矢量共面，则两直线的互矩为零。这表明和线矢量的原部与对偶部是正交的，因此共面两线矢量之和(即和线矢)仍为线矢量。但两单位线矢量之和不再为单位线矢量。螺旋的代数运算不共面的两线矢量之和为节距不为零的螺旋。通常情况下，线矢量与偶量之和也为节距不为零的螺旋，但在特殊情况下(线矢量与偶量垂直时)并不成立，例如，线矢量为(2,

0,

0;0,

0,

1)，偶量为(0,

0,

0;0,

0,

1)，它们的和仍然为线矢量。螺旋的代数运算两螺旋的原部与对偶部下标交换后做点积之和被定义为两螺旋的互易积(reciprocalproduct)，设

，

，则

两螺旋的互易积螺旋的代数运算这两个新的螺旋的互易积为

因此，两螺旋的互易积与原点的选择无关。螺旋的代数运算05刚体的瞬时螺旋运动在三维空间里，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。本节首先讨论刚体的纯转动和纯平移运动，再讨论一般形式的螺旋运动。刚体的瞬时螺旋运动若刚体2相对刚体1做绕S轴的瞬时转动，如图2-10所示。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时转动因此，构成刚体的转动运动线矢量的对偶矢量包括角速度矢量和刚体上与坐标原点重合点的线速度矢量v0。刚体瞬时转动运动的Plücker坐标为ω(S;S0)或(ω;v0)。当坐标系原点与转轴重合时，v0=0，转动运动线矢量变成ω$=ω+∈0，写成Plücker坐标为(ω;0)。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时移动当刚体2相对刚体1做平移运动时，速度v沿单位矢量S方向，速度矢量可以表示为v=vS，此单位矢量S通常选择移动副导轨方向。然而，对于平移运动，刚体上所有的点都具有相同的移动速度v，也就是说将矢量S平行移动并不改变刚体的运动状态，所以移动速度矢量是自由矢量。刚体的瞬时螺旋运动刚体的移动速度，也可以看成是一个瞬时转动，此转动轴线与S正交，并位于距S无限远的平面内，此转轴的Plücker坐标为(0;S)或(000;LMN)。绕此轴的瞬时转动运动就可以表示成v(0;S)或(0;v)，速度矢量v是自由矢量。刚体的瞬时螺旋运动当刚体2相对刚体1既有相对转动又有相对移动时，情况要复杂一些。这里先讨论转动轴线与移动方向不一致的情况，如图2-11所示。刚体的瞬时螺旋运动刚体的运动合成06刚体上作用的力螺旋与用螺旋表示刚体的瞬时运动相似，刚体上的作用力也可以用螺旋来表示。如刚体上有一作用力f，如图2-14(a)所示。刚体上作用的力螺旋刚体上的作用力在刚体上作用两个大小相等、方向相反的平行力f1和f2，如图2-14(b)所示。刚体上作用的力螺旋刚体上作用的力偶刚体上作用力的合成自由矢量只考虑大小和方向的矢量，如运动学中刚体的移动速