北师大版九年级数学上册 （菱形的性质与判定）特殊平行四边形教育课件(第3课时)

第一章

特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时

名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对

角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平

行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，

也可直接判定四边相等．(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD是菱形．证明：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：2训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是

AB，CD，AC，BD的

中点，求证：线段EF

与线段GH互相垂直平分．(1)如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，

则∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM.∵AC＝BD，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

又∵CD＝DC，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.证明：(2)如图，连接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，

且FG＝

AD，EG＝

BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴▱HFGE为菱形．∴线段EF与线段GH互相垂直平分．3训练角度利用菱形的性质与判定求线段长3．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E

是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的

对称点．(1)证明：四边形AECF为菱形；(2)设EF交AC于点O，若BC＝10，

求线段OF的长．(1)因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，所以AC应是EF的中垂线．所以CE＝CF，AE＝AF.又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，所以AE＝CE.所以AE＝AF＝CE＝CF.所以四边形AECF是菱形．证明：(2)因为四边形AECF是菱形，所以OA＝OC，OE＝OF.因为点E是AB的中点，所以EO是△ACB的中位线．所以EO＝

BC＝5.所以OF＝5.解：4训练角度利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分

∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，

过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，

交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM

的面积为四边形EFBM面积的

一半？请说明理由．(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四边形AEPM为菱形．证明：解：(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝

S四边形EFBM.

理由如下：∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．

过点E作EN⊥AB于点N，如图，∵EP＝

EF，∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝

EF·EN

＝

S四边形EFBM.平行线分线段成比例第四章图形的相似

1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论;（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）

学习目标新课导入观察与猜想下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AD,BE,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？abcDE=EFDFE讲授新课平行线分线段成比例（基本事实）一

如图①，小方格的边长都是1，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.合作探究A1A2A3B1B2B3mnabc图①A1A2A3B1B2B3mnabc

(1)计算，你有什么发现？(2)将b向下平移到如图②的位置，直线m，n与直线b的交点分别为A2，B2.你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc图②(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c，则，，

归纳：

A1A2A3B1B2B3bca1.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

想一想：

如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()A.B.C.D.DACEBDFl2l1l3做一做

如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，平行线分线段成比例定理的推论二A1A2A3B1B2B3bcmna观察与思考把直线n向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.A1A2A3bcmB1B2B3na

直线n向左平移到B1与A1重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？

把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()A1A2A3bcmB1B2B3na

直线n向左平移到B2与A2重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？

把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3()

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3

归纳：

如图，DE∥BC，，则

；FG∥BC，，则

.ABCEDFG做一做例题例1如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(

)A．4B．5C．6D．8C例题知识点如图，在△ABC中，E,F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.(1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多

少？(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是

多少？例2解:(1)∵EF∥BC,∴∵AE=7，EB=5，FC=4，

∴AF=(2)∵EF∥BC,∴∵AB=10，AE=6，AF=5，∴AC=∴FC=AC－AF=归

纳利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：

先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(

)A.

B.C.

D.D2.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC=4cm，EF长