定积分及其应用课件

第6章定积分及其应用

定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。

微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础。

“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（287BC～212BC）等人提出的计算面积和体积的方法．阿基米德用“穷竭法”，我国刘徽用“割圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积。这些均为定积分的雏形。后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的．第6章定积分及其应用定积分起源于求图形

直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在各自的国家，从不同的角度，用不同的方法，先后提出了定积分的概念，并发现了定积分和微分之间的内在联系，确立微分和积分是互逆的两种运算，并使各自独立的微分学和积分学联系在一起，构成完整的理论体系——微积分学。他们给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决实际问题的有力工具。怎样是“无限细分”？怎样是“无限求和”？直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在各自的国家abxyo实例

求曲边梯形的面积abxyo实例求曲边梯形的面积abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．四个小矩形

九个小矩形abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：3个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：13个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：23个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：33个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：43个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：53个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：63个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：73个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：83个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：93个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：103个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：113个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：123个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：133个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：143个分点的图示观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积

1.了解定积分定义、几何意义、定积分的性质。2.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。3.熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。4.了解无穷积分收敛性概念，会计算简单的无穷积分。5.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。学习要求1.了解定积分定义、几何意义、定积分的性质。学习要求ab1.曲边梯形的面积的计算y=f(x)分割近似代替求和取极限Ax0y

当分割无限加密，区间[a，b]分得越细，精确度就越高。6.1定积分的概念一、两个例子a2.变速直线运动的位移

设物体作变速直线运动，已知运动的速度函数为

v(t),求在时间间隔[0，T]内物体的位移。分割近似代替abv(t)求和取极限部分路程值某时刻的速度2.变速直线运动的位移设物体作变速直线运动，

思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．思路：二、定积分的定义

设函数

f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入n-1个分点将[a,b]分割为n个小区间,记其长度为(i=1,2,3,…,n),并在每一个小区间上任取一点,[a,b]的分法及的取法无关的极限值，则称此极限值为

f(x)在[a,b]上的定积分，称

f(x)在[a,b]上可积，记为作和式存在与二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]其中称

x为积分变量，称f(x)被积函数，并称为积分号，a，b为积分的下限和上限，[a,b]为积分区间。定积分是一个无穷和的极限。被积函数积分变量积分上限积分下限积分和积分号其中称x为积分变量，称f(x)被积函数，并称为积分曲边梯形的面积二、定积分的几何意义abx0yy=f(x)A曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积二、定积分的几何意义a定积分的物理意义：变速直线运动的位移一般地定积分的物理意义：变速直线运动的位移一般地注意：（1）定积分是一个无穷和的极限，是一个数值。注意：（1）定积分是一个无穷和的极限，是一个数值。定理1定理2三、存在定理定理1定理2三、存在定理

恩格斯指出：初等数学，即常数的数学，是形式逻辑的范围内活动的。至少总的来说是这样的，而变量数学——其中最主要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的应用。

从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类思维从形式逻辑向辩证逻辑的跨越，是人类的认识能力由低级向高级的发展。求定积分过程中的辩证思维恩格斯指出：初等数学，即常数的数学，是形式逻辑的范围

定积分中极限方法可以使有关常数与变量，近似与精确，变与不变等矛盾的对立双方想互转化，从而化未知为已知，体现了对应统一法则。求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前三步即“分割”，“近似代替”和“求和”是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现。只有第四步“取极限”这种思维蕴含于变量数学中的丰富的辩证逻辑思维，才使得微积分巧妙地有效地解决了初等数学所不能解决的问题。定积分中极限方法可以使有关常数与变量，近似与

例1

利用定义计算定积分解01xy例1利用定