山东省青岛市2023-2024学年高一上学期9月强基计划学生选拔测试数学试题_第1页
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2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题（时间：100分钟，满分120分）一、填空题（共64分，其中每个小题8分）1．已知关于的方程||有解，则的取值范围是______．2．如图，直线与轴，轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______．3．实数，且满足，，则的值为______．4．如图，在中，为上一点，连接，，，，则的面积是______．5．已知实数满足，且，则的最大值为______．6．在同一平面直角坐标系中，直线与函数的图象恰好有三个不同的交点，则的取值范围是______．7．设是正整数，且是15的倍数，．已知是完全平方数，是完全立方数，是完全5次方数，则的最小值是______．8．将形如和为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为若第个数，则的值为______．二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．（本题满分16分）如果实数满足，用表示，，的最大值，求的最大值．10．（本题满分20分）若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”．（1）求证：对任意“好数”一定为20的倍数；（2）若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值．11．（本题满分20分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点．（1）若，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，点是第一象限内抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标．2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题评分细则一、填空题（共64分，其中每个小题8分）1．2．3．－234．5．6．7．8．684二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．（本小题满分16分）不妨设，则，令，，则，由可知，，∴，化简得，∵，∴，∴，∴．10．（本小题满分20分）（1）证明：设，且为整数，∴∵，且为整数，∴是正整数，∴一定是20的倍数；（2）∵，且为正整数，∴，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有，解得，∴，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为．11．（本小题满分20分）解析：（1）∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴是直线，∵抛物线与轴交于两点，∴点；当时，，∴点，∵抛物线，与轴交于点C，∴点，又∵点，∴直线的解析式为，当时，，∴点，∵，∴，∴，∴抛物线的解析式为；（2）如图

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