【数学课件】导数的概念及几何意义 2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册_第1页
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文档简介

导数的概念及其几何意义思考？观察函数y=f(x)的图象，平均变化率表示什么？瞬时变化率表示什么？我们容易发现，平均变化率表示割线P0P的斜率如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线。抛物线的割线和切线之间的关系类似，我们容易知道，割线P0P的斜率记∆x=x-x0.当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时，即当时，k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数。因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f’(x0)就是切线P0T的斜率k0，即这就是导数的几何意义。观察下图，可以发现点P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线。进一步地，将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线。因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替。数学上常用简单的对象刻画复杂的对象。例如，用有理数3.1416近似代替无理数π，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲。例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝一4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t

)在t=t0

,t1,t2，附近的变化情况．解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻附近的变化情况。（1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降。（2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减。（3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递减。可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢。小试牛刀1．一个物体从10m高处做自由落体运动，ts时该物体距离地面的高度（单位：m）为h(t)=一4.9t2+10。求该物体在t＝1时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况.解析：由题意可知物体竖直方向的位移h(t)=一4.9t2+10结合瞬时速度公式v=dh/dt可得v(t)=-9.8t当t=1s时，v=-9.8m/s,所以此时其速度大小为9.8m/s,方向竖直向下此后物体将以该速度做匀加速直线运动至物体到达地面。小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。与以上事件吻合得最好的图象是（

）

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