2.4 二项分布与泊松分布概率论基础

2.4

二项分布与泊松分布

二项分布计算与性质

二项分布计算显然，对二项分布成立下式因此，对于二项分布人们仅编制了的表供给算用。例2.21一大批电子管有10%已损毁。现从这批电子管中随机选取20只组成电路，问这个电路能正常工作的概率有多大？解：由题设所选电子管全部完好，电路才能正常工作。而一个电子管完好的概率为0.90，由n重贝努利概型这个电路能正常工作的概率为由于查表知所以，这个电路能正常工作的概率为12.16%.例2.22设在家畜中感染某种疾病的概率为30%，新发现一种血清可能对预防这病有效，为此对20只健康家畜注射这种血清，若注射后只有一只家畜受感染，我们应该如何评价这种血清作用。解：假定这种血清没有任何疗效，于是，家畜感染着种病的概率仍然为30%。由n重贝努利概型20只家畜种k只家畜感染的概率为于是，20只家畜仅有1只家畜感染或没有感染的概率为这个概率是如此之小，如果假设是对的，我们认为20只家畜仅有1只家畜感染或没有感染这样的事件是不应该发生的，但现在发生了，说明什么？说明我们假设不对。

二项分布性质

例2.22某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。

解：设表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数，则

于是，所求概率为

即10个索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059。

通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数很大，而

很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S.D.Poisson提出了一下定理。Poisson定理

设随机变量，若时，有，则有

证明：令，于是有对于固定的有所以

实际应用中，当较大,

较小，适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。

例2.23某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。解:400次上街

400重Bernoulli概型；记为出事故的次数，则。由于，所以，由Poisson定理有

若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则该人成功的概率为。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！3.泊松（Poisson）分布

Def若随机变量的概率函数为则称服从参数为的泊松分布，记为。泊松分布所能刻画随机现象：

服务台在某时间段内接待的服务次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；

单位时间内市级医院急诊病人数；

一本书中每页印刷错误的个数。特别注意:体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数

可以由观测值的平均值求出。2.5本章小结事件独立与试验独立全概率公式与贝叶斯公式二项分布于泊松分布例2.24利用概率论思想证明恒等式证：某人带着两盒火柴，每次用时他在两盒中任意抓一盒，从中取出一根，因此连续地抽取构成了相继贝努利试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N根，我们考虑：这个人第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻，另一盒火柴可能还有r为0，1，…，N根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时，第二盒中尚有r根火柴“这一事件，等价于”恰有N-r