一元二次方程及解法学案

第二十一章一元二次方程一、教材内容一元二次方程概念；解一元二次方程的措施；一元二次方程应用题．二、课标规定1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.2、根据化归思想,抓住降次这一方略,掌握配措施,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、经历分析和处理实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,深入提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.三、教学目的1．知识与技能理解一元二次方程及有关概念；掌握通过配措施、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握根据实际问题建立一元二次方程的数学模型的措施；应用纯熟掌握以上知识处理问题．2．过程与措施（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念简介一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开措施，导入用配措施解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配措施解一元二次方程．（4）通过用已学的配措施解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2－4ac>0，b2－4ac=0，b2－4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，处理用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出、分析问题，建立一元二次方程数学模型，并用处理实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一种有效数学模型；经历用配措施、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型处理实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习爱好．四、教学重点与难点教学重点:1.一元二次方程及其他有关的概念.2．用配措施、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3.运用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并处理这个问题.教学难点:1．一元二次方程配措施解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．五、课时划分本单元教课时间约需13课时，详细分派如下：22．1一元二次方程2课时22．2降次──解一元二次方程5课时22．3实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结3课时21学习目的：深入体会方程是刻画现实世界中数量关系的一种有效数学模型；2、对的理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，对的识别二次项系数、一次项系数及常数项。学习过程：一、自主学习：（一）、根据题意列方程：（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一种正方形,然后将四面突出部分折起,就能制作一种无盖方盒.假如要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?（2）我校为丰富校园文化气氛，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与所有高度的乘积，等于下部（腰如下）高度的平方，求雕像下部的高度.（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（二）、探索新知：（１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①；②；③。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只具有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。（3）任何一种有关x的一元二次方程都可以化为（a,b,c为常数，）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。为，为，为。（三）、注意点：(1)一元二次方程必须满足三个条件：a；b；c。(2)任何一种一元二次方程都可以化为一般形式：.二次项系数、一次项系数、常数项都要包括它前面的符号。(3)二次项系数是一种重要条件，不能遗漏，为何？（四）、自我尝试：1、下列列方程中，哪些是有关的一元二次方程？（1）（2）（3）（4）（5）2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)(2)(3)（五）阅读书本，30页到32页，反思自主学习状况。二、巩固练习：书本32页练习1、2题三、课堂检测：1、下列方程中，是有关X的一元二次方程的是（）A.B.C.D.2、方程的一次项是（）A.B.C.D.3、将方程化成一般形式为___________,它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。4、当a_______时，有关X的方程（a－1）x2+3x－5=0是一元二次方程。21学习目的：1、会进行简朴的一元二次方程的试解；2、理解方程的解的概念，发展有条理的思索与体现能力；3、会在简朴的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义。学习过程：一、自主学习：（一）复习引入：1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)2一种面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整顿，得________．（二）探索新知：1．下面哪些数是上述方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____，虽然一元二次方程等号左右两边相等的_____的值。3、判断下列一元二次方程背面括号里的哪些数是方程的解：(1)(－7,－6,－5,5,6,7)(2)4、你能用此前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)(2)(3)（三）、注意点：1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解与否是实际问题的解。（四）、自我尝试：1、下列各未知数的值是方程的解的是（）A.B.C.D.2、根据表格确定方程=0的解的范围____________x1.01.11.21.30.5－0.09－0.66－1.213、已知方程的一种根是1，则m的值是______（五）阅读书本，32页到33页，反思自主学习状况。二、巩固练习：书本33页练习1、2题三、课堂检测：1、把化成一般形式是____________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______。2、一元二次方程的根是__________；方程x（x－1）=2的两根为________3、写出一种认为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：__________。4、已知m是方程的一种根，则代数式________。5．若，则_____________。6．方程ax（x－b）+（b－x）=0的根是x1=______x2=___7．已知x=－1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=________8．假如x2－81=0，那么x2－81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．9．已知方程5x2+mx－6=0的一种根是x=3，则m的值为________．10．假如x=1是方程ax2+bx+3=0的一种根，则（a－b）2+4ab的值为．11、若有关X的一元二次方程的一种根是0，a的值是几？你能得出这个方程的其他根吗？21.2.1用直接开平措施解一元二次方程学习目的：1、会用开平措施解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2、经历列方程处理实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。学习过程：一、自主学习（一）、复习引入学生活动：请同学们完毕下列各题问题1．填空（1）x2－8x+______=（x－______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，假如AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同步出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？（二）探索新知：1、36的平方根是________,的平方根是____________。2、若，则=______________；若，则=__________。3、请根据提醒完毕下面解题过程：(1)由方程，得(2)由方程，得=_______(_________)=2即∴______________=_______=____，=_____即____________,____________∴=_______,=_____∴=_______,=_____（三）、归纳概括：1、形如或的一元二次方程可运用平方根的定义用开平方的措施直接求解，这种解方程的措施叫做直接开平措施。2、假如方程能化成或的形式，那么可得，或。3、用直接开平措施解一元二次方程实质上是把一种一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。（四）、自我尝试解下列方程：(1)(2)(3)(4)（五）阅读书本，35页到36页，反思自主学习状况。二、巩固练习：书本36页练习三、课堂检测：1、方程的根是（）A.B.C.D.2、解下列方程：(1）(2)(3)(4)(5)(6)21.2.1用配措施解一元二次方程学习目的:1、掌握用配措施解数字系数的一般一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。学习过程：一、自主学习（一）复习引入：填上合适的数，使下列等式成立：(1)+____=(2)____=(___)(3)____=(____)（4）－x＋_____＝（x－____）2由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：（二）探索新知：请阅读教材第37页，解方程，完毕下面框图：（三）、归纳总结：1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的措施，叫做配措施。2、配方是为了降次，把一种一元二次方程化为两个一元一次方程来解。3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。4、用配措施解二次项系数是1的一元二次方程的一般环节是：①、移项，把常数项移到方程右边；②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的二分之一的平方，使左边成为完全平方；③、运用直接开平措施解之。若方程的二次项系数不是1，咋办？（四）、自我尝试：解下列方程：（同桌互相查找问题，进行纠正）若方程的二次项系数不是1，咋办？(1)(2)(3)（五）阅读书本，38页到39页，自作例题1，反思自主学习状况。二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。三、巩固练习：书本39页练习四、课堂检测：1、填上合适的数，使下列等式成立：(1)(2)(3)(4)2、将方程配方后，原方程变形为（）A.B.C.D.3、解下列方程：(1)(2)(3)21.2.2公式法学习目的：1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，深入发展逻辑思维能力。2、会用公式法解简朴系数的一元二次方程。学习过程：一、自主学习：(一)复习提问1、用配措施解一元二次方程的环节有哪些？用配措施解方程：x2－7x－18=02、你能用配措施解方程吗？请尝试解（二）归纳总结：1、一元二次方程的根由方程的_________确定。当__________时，它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，运用它解一元二次方程的措施叫做______________。2、一元二次方程：当____时，方程有实数根____________________________；当___________时，方程有实数根______________________________；当___________时，方程没有实数根。（三）、注意点：1、公式法是解一元二次方程的一般措施.2、公式法是配措施的一般化和格式化。配措施是公式法的基础，通过配措施得出了求根公式；公式法是直接运用求根公式，它省略了详细的配方过程。3、一元二次方程当时，方程有实数根:；当时,方程有实数根：；当时，方程没有实数根。（四）、自我尝试：1、一元二次方程的求根公式是_______________。2、不解方程，判断下列方程实数根的状况：(1)(2)(3)3、用公式法解方程：(1)(2)二、巩固练习：书本42页练习1、2题三、课堂检测：1、方程的根是（）A.B.C.D.没有实数根2、下列方程中，没有实数根的是（）A.B.C.D.3、用公式法解下列方程：(1)(2)(3)(4)(5)(6)21.2.3因式分解法学习目的：1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简朴的数字系数的一元二次方程。2、能根据详细的一元二次方程的特性，灵活选择方程的解法，体会处理问题措施的多样性。学习过程：自主学习（一）创设情境，提出问题背景材料：根据物理学规律，假如把一种物体从地面以10M/S的速度竖直上抛，那么通过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2。设问1：你能根据上述规律求出物体通过多少秒落回地面吗？（精确到0.001s）设问2；除配措施或公式法以外，能否找到更简朴的措施解方程？（二）探索新知：对于方程10x－4.9x2=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得=0；于是得或。因此：x1=，x2≈设问3：方程的两根都符合问题的实际意义吗？设问4：以上解方程的措施是怎样使二次方程降为一元一次的？（三）归纳总结：1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为________________的形式，再使__________________，从而实现_____________，这种解法叫做__________________。2、假如，那么或，这是因式分解法的根据。如：假如，那么或_______，即或________。（四）、注意点：1、因式分解法是解一元二次方程最简朴的措施，但只合用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。2、因式分解法的根据是：假如，那么或。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，到达降次的目的。（五）、自我尝试：1、说出下列方程的根：（1）（2）2、解下列方程：(1)(2)(3)二、巩固练习：书本45页练习1、2题三、课堂检测：1、方程的根是（）A.B.C.D.2、下列方程适合用因式分解法的是（）A.B.C.D.3、方程的根是________________。4、用因式分解法解下列方程：(1)(2)(3)(4)(5)(6)21.2.4解一元二次方程（习题课学习目的：选择合适的措施解一元二次方程一、自主学习：解下列方程：1.2.3、X（x－2）+X－2=04.5、5x2－2X－=x2－2X+6.二、归纳总结：1、解一元二次方程的基本思绪是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程重要有四种解法，它们的理论根据和合用范围如下表：措施名称理论根据合用方程的形式直接开平措施平方根的定义或配措施完全平方公式所有的一元二次方程公式法配措施所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一种等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择措施的次序是：直接开平措施、因式分解法、配措施或公式法三、课堂检测1、方程的根是（）A.B.C.D.2、一元二次方程的根是__________________________.3、当____________时，代数式的值等于3.4、两个数的和为－7，积为12，这两个数是_____________________.5、解下列方程：(1)(2)(3)(4)6、一次会议上，每两个参与会议的人都互相握了一次手，有人记录一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？7、已知是方程的一种根，求方程的另一种根及c的值21.2.5一元二次方程根与系数的关系学习目的：1．理解并掌握根与系数关系：，；2．会用根的鉴别式及根与系数关系解题.一、自主学习1、(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完毕下列表格方程25x2+3x-10=0-3问题：你发现什么规律？①用语言论述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根,用式子表达你发现的规律。方程2x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01探究2：完毕下列表格问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言论述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根,用式子表达你发现的规律。3、运用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax2+bx+c=0的两根=,===4、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）（2）（3）5、已知方程的一种根是-3，求另一根及K的值。二、教师点拨：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的鉴别式；②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.四、课堂练习1．方程则==2．若方程的一种根2，则它的另一种根为____p=____3．若0和-3是方程的两根，则p+q=____4.在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=，q=。5．两根均为负数的一元二次方程是（）ABCD6．若方程的两根中只有一种为0，那么（）Ap=q=0BP=0,q≠0Cp≠0,q=07、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x2-5x-10=0（2）2x2+7x+1=0（3）3x2-1=2x+5（4）x（x-1）