博雅课1微分方程模型

食饵-捕食者模型

意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？Ancona无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.模型建立Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为y(t)，建立双房室系统模型。对于食饵（Prey）系统：大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r的指数律增长由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比a反映捕食者的能力对于捕食者（Predator）系统：捕食者离开食饵独立存在时的死亡率为d但食饵提供了食物，使捕食者增长，设增长作用与食饵数量成正比b反映食饵对捕食者的供养能力我们得到方程组无解析解针对一组具体的数据用Matlab软件进行计算.

设食饵和捕食者的初始数量分别为25和2，r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02MATLAB程序r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;volte=@(t,x)[r*x(1)-a*x(1)*x(2),-*x(2)+b*x(1)*x(2)]';ts=[050];x0=[252];[t,x]=ode45(volte,ts,x0);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'b');figure;plot(x(:,1),x(:,2));图形结果猜测x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线c由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形相轨线时无相轨线以下设y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P~中心相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心•T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”领先y(t)模型解释初值相轨线的方向模型解释r~食饵增长率d~捕食者死亡率b~食饵供养捕食者能力捕食者数量食饵数量Pr/ad/ba~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？r

r-1,d

d+1捕捞战时捕捞r

r-2,d

d+2,2<1•••xy食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境

还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项有稳定平衡点

相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。

自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进结构稳定的生态系统r1=1,N1=30,

1=0.1,w=0.2,r2=0.5,

2=0.3MATLAB程序r1=1;n1=30;sigma1=0.1;w=0.2;r2=0.5;sigma2=0.3;fun=@(t,x)[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-sigma1*x(2)/(1+w*x(1)));r2*x(2)*(-1+sigma2*x(1)/(1+w*x(1)))];

[t,x]=ode45(fun,[0,100],[15,10]);plot(t,x(:,1),'r');holdon;plot(t,x(:,2),'b');figure;plot(x(:,1),x(:,2));

相轨线趋向极限环两种群模型的几种形式相互竞争相互依存弱肉强食

稳定性问题

在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。（*）若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（*）。称点Xo为微分方程或微分方程组（*）的平衡点或奇点。

共有两个平衡点：x=0和x=N，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为xo=0时的解而后者为xo=N时的解。

定义1自治系统的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标的空间Rn。

特别，当n=2时，称相空间为相平面。空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足方程，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。定义2设x0是方程的平衡点，称：

（1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε对所有的t都成立。（2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且。（3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。根据这一定义，Logistic方程的平衡点x=N是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点x=0则是不稳定的。解析方法定理1设xo是微分方程的平衡点：若,则xo是渐近稳定的若,则xo是渐近不稳定的证由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：

由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若，则当x<xo时必有f(x)>0，从而x单增；当x>xo时，又有f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→xo，故xo是渐近稳定的。的情况可类似加以讨论。考察两阶微分方程组：

令，作一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，上述方程又可写成:考察线性近似方程组:其中：记λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，则，记。讨论特征值与零点稳定的关系（1）若△>0，可能出现以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。当p>0时，零点不稳定；当p<0时，零点稳定

若q<0，λ1λ2<0

当c1=0时，零点稳定当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点③q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。（2）△=0，则λ1=λ2:λ有两个线性无关的特征向量当p>0时，零点不稳定当p<0时，零点稳定②如果λ只有一个特征向量当p≥0时，零点不稳定当p>0时，零点稳定（2）△<0，此时若a>0，零点稳定若