辽宁省朝阳市建平县奎德素乡中学高三数学文联考试题含解析

辽宁省朝阳市建平县奎德素乡中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于(

)．A.20 B.21 C.22 D.23参考答案：C试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.2.设的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则t的范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知双曲线：﹣=1（），点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（）A.

B.

C.2

D.参考答案：B4.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是参考答案：A略5.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为(

) A．11 B．10 C．9 D．8.5参考答案：B考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：首先做出可行域，将目标函数转化为，求z的最大值，只需求直线l：在y轴上截距最大即可．解答： 解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大，此时z最大．由可求得A（3，1），将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10故选B点评：本题考查线性规划问题，考查数形集合思想解题，属基本题型的考查．6.已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合同角的商数关系，以及特殊角的三角函数值，即可得到所求值．【解答】解：=（1，cosα），=（sinα，1），若，可得?=sinα+cosα=0，即有tanα==﹣1，由0＜α＜π，可得α=．故选：B．7.已知A，B，C，D，E为抛物线上不同的五点，抛物线焦点为F，满足，则A

5

B

10

C

D

参考答案：B8.（5分）（2015?万州区模拟）为了了解小学生近视情况，决定随机从同一个学校二年级到四年级的学生中抽取60名学生检测视力，其中二年级共有学生2400人，三年级共有学生2000人，四年级共有学生1600人，则应从三年级学生中抽取的学生人数为（）A．24B．20C．16D．18参考答案：【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义直接进行计算即可．【解答】：∵二年级共有学生2400人，三年级共有学生2000人，四年级共有学生1600人，∴抽取60名学生，则从三年级学生中抽取的学生人数为，故选：B．【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，利用条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础．9.等差数列的前n项和为=

（

）

A．18

B．20

C．21

D．22参考答案：B略10.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A.试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}满足a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*，则a1=

，an=

．参考答案：12,考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：条件可与a1+a2+…+an=Sn类比．在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，可解出a1=12，由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3n+1，解答： 解：在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，得a1=4，a1=12，由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3n+1，所以an=故答案为：12，点评：本题考查数列的递推关系式，数列通项求解，考查逻辑推理．计算能力．12.若，则等于

。参考答案：1略13.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（4）=． 参考答案：0【考点】导数的运算． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】对已知等式两边求导，令x=2求出f'（2），得到f'（x），代入x=4计算即可． 【解答】解：由已知f（x）=3x2+2xf′（2），两边求导得f'（x）=6x+2f′（2），令x=2，得f'（2）=6×2+2f′（2），到f'（2）=﹣12，所以f'（x）=6x﹣24，所以f'（4）=0； 故答案为：0． 【点评】本题考查了导数的运算；关键是求出f'（2）的值，从而知道导数解析式． 14.如图所示，长方形ABCD中，AB=8，AD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，图中5个圆分别为△AEH，△BEF，△DHG，△FCG以及四边形EFGH的内切圆，若往长方形ABCD中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为

．参考答案：

15.曲线在点处的切线方程为________.参考答案：5x+y+2=016.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是

．参考答案：27万元．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=3，S3+S4=，则a3=．参考答案：3【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=3，S3+S4=，∴+=，解得a1=．则a3==3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

已知函数．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）比较与e的大小（，e是自然对数的底数）；（Ⅲ）对于函数和定义域上的任意实数，若存在常数，，使得不等式和都成立，则称直线是函数和的“分界线”．设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出常数，的值．若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ），．当时，，是减函数；当时，，是增函数．

2分在上的极小值也为最小值，且最小值为．··························4分（Ⅱ）据（Ⅰ）知，知当时，，·················6分故当时，．故．·········································································8分（Ⅲ）令（），则（），当时，，是减函数；当时，，是增函数．的最小值，则与的图象在处有公共点．··········································10分设函数和存在“分界线”，方程为，有在时恒成立，即在时恒成立，由，得，则“分界线”方程为．··································································································································12分记（），则（），当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数．当时，函数取得最大值，即在时恒成立．综上所述，函数和存在“分界线”，其中，．··············14分略19.（本题满分12分）在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足===(如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).(1)求证:E⊥平面BEP;(2)求直线E与平面BP所成角的大小.参考答案：20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)，在以坐标原点为极点，轴非负轴为极轴的极坐标系中，曲线：(为极角).(1)将曲线化为极坐标方程，当时，将化为直角坐标方程；(2)若曲线与相交于一点，求点的直角坐标使到定点的距离最小.参考答案：（Ⅰ）由的参数方程得，化简得，则，．由化简得，则：．（Ⅱ）当点到定点的距离最小时，的延长线过(1，0)，此时所在直线的倾斜角为，由知曲线过定点(1，0)，故当时，曲线与所在直线重合，此时，由的参数方程得．21.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．参考答案：考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，运用棱柱的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值．解答： 解：（1）依题意，B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，由，则，由D为BC的中点，BC==5，即有，由，即，∴，即侧棱BB1与底面ABC所成角为；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，B1D⊥面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1∴CE⊥面A1B1C1，∴CE⊥A1E，，所求异面直线B1D与CA1所成角为．点评：本题考查空间角的求法，主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法，考查直线和平面的位置关系，属于中档题．22.设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；（III）通过变形，只需证明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，根据函数的单调性及零点判定定理即得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）==（x＞0），∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（