内蒙古自治区包头市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题（ 含答案解析 ）

试卷类型：A绝密★启用前2022—2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1．考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题即可得解.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由抛物线的标准方程即可求解.【详解】由抛物线的标准方程可知：抛物线的开口向左，焦点在轴负半轴上，且，所以，，所以焦点坐标为.故选：C3.已知a，，则“”是方程“表示圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】由可化为，当时，，表示圆，当表示圆时，，推不出，所以“”是方程“表示圆”的充分不必要条件，故选：A4.长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】连接，利用两次勾股定理求解.【详解】连接，在中，，在中，.故选：D.5.P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形中位线定理，先求出，然后再根据椭圆的定义，即可算出.【详解】设为椭圆的右焦点，连接，因为M是线段PF的中点，为的中点，所以，因为，所以，因为椭圆标准方程为，所以，又由椭圆的定义，有，所以.故选：C6.已知圆与圆交于两点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得.故选：B.7.若实数m满足，则曲线与曲线的（）A.离心率相等 B.焦距相等 C.实轴长相等 D.虚轴长相等【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为，所以，所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为，所以离心率不相等，故A错误；因为，所以实轴长不相等，故C错误；因为，所以虚轴长不相等，故D错误.故选：B.8.已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.【详解】设，则，可得，即点在以为焦点的椭圆上，且，所以点的轨迹为，整理得，由题意可知：，所以.故选：A.9.如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知，所以，所以，即.故选：B.10.、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（）A. B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积．【详解】解：由可知，，所以，因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积．故选：D．11.已知命题：椭圆的离心率为，若，则；命题：双曲线的两条渐近线的夹角为，使．下列命题正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的离心率判断命题的真假性，根据双曲线的渐近线判断命题的真假性，进而根据逻辑连接词逐项分析判断.【详解】对于命题：若，可知：，所以命题为假命题；对于命题：双曲线的渐近线为，若，则，所以命题为真命题；可知：，，为假命题，为真命题，所以A、B、D错误，C正确,故选：C.12.已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解.【详解】设直线：，可得，设的中点为，连接OM，则，，因为，则，即为弦的中点，设，则，因为，可得，两式相减得，整理得，可得，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线上一点M到x轴的距离为6，则点M到抛物线焦点的距离为______．【答案】10【解析】【分析】根据抛物线的概念求解即可.【详解】因为抛物线上一点M到x轴的距离为6，所以，则，所以点M到抛物线焦点的距离为.故答案为：14.在平面直角坐标系中，过作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为______．【答案】【解析】【分析】根据切线的性质可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程，两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程.【详解】由切线的性质可知，，故四点共圆，且为直径，由中点为，,所以在圆上，即，两圆方程相减可得，公共弦的方程为.故答案为：15.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】先根据方程求，由题意分析可得，列方程求解即可.【详解】由题意可知：，设，因为为上一点且在第二象限，则，，又因为为等腰三角形，且，则，即，解得，所以点的坐标为.故答案为：,16.在平面直角坐标系中，．以下各曲线中，存在两个不同的点，使得且的曲线有________．（请将所有符合要求的曲线方程序号写在横线上）①；②；③；④．【答案】①③【解析】【分析】根据题意可知：曲线与直线有两个不同的交点，对于①：利用直线过点，分析判断；对于②：根据直线与圆的位置关系分析判断；对于③：联立方程求交点坐标，进而分析判断；对于④：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】因为的中点为，斜率，所以中垂线的斜率，方程为，即，由题意可知：曲线与直线有两个不同的交点，对于①：直线过点，且在曲线内，所以曲线与直线有两个不同的交点，故①正确；对于②：曲线的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以曲线与直线相切，只有一个交点，故②错误；对于③：联立方程，解得或，所以曲线与直线有两个不同的交点，故③正确；对于④：令，解得，即为的渐近线，两者没有交点，故④错误；故答案为：①③.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知圆C过，，且圆心C在直线l：上．经过点的直线m交圆C于P、Q两点．（1）求圆C的标准方程；（2）若，求直线m的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圆心在直线的垂直平分线与直线l：上求得，从而求得圆的半径，进而得解；（2）根据题意求得圆心C到直线m的距离为，分类讨论直线m的斜率存在与否两种情况，结合点线距离公式求解即可.【小问1详解】因为，，所以，线段中点的坐标为，所以直线AB的垂直平分线的斜率为，其方程为，即，联立，解得，则，又圆C半径，所以圆C的标准方程为．【小问2详解】因为，，所以在中，，则圆心C到直线m的距离为，当直线m的斜率不存在时，直线m方程为，此时C到直线m距离为2，满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，即，所以，解得，所以直线m的方程为，即，综上可得，直线m方程为或．18.抛物线的准线被圆截得的弦长为．（1）求的值；（2）过点的直线交抛物线于点，证明：以为直径的圆过原点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合垂径定理可得到准线距离为，进而可得抛物线的方程；（2）联立方程，利用韦达定理证明即可.【小问1详解】圆，即，圆心，半径为2，则到准线距离为，所以准线方程为，可得，所以抛物线标准方程为．【小问2详解】设直线方程为，联立方程，消去x得，则，可得，又因为，则，可得，即以线段为直径的圆过点．19.如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．【答案】（1）（2）不存在这样的直线【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程.（2）利用点差法求得直线的方程，联立直线的方程和点的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确答案.【小问1详解】由中垂线性质知，所以所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线设此双曲线方程为，则所以点的轨迹方程为．【小问2详解】设可得两式相减得由题意，所以直线方程为，由，得∵．∴不存在这样直线．20.如图，已知四棱锥中，是正方形，平面，点分别是棱、对角线上的动点（不是端点），满足．（1）证明：∥平面；（2）求距离的最小值，并求此时二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2；正弦值为【解析】【分析】（1）作交于，作交于，根据题意结合平行线的性质可证，进而可得结果；（2）建系，利用空间向量可知当是中点时，取到最小值，进而利用空间向量求二面角.【小问1详解】作交于，则，可得，作交于，连接，则，可得，在直角三角形和中，因为，所以．则，且，可得，因为，则，所以四边形是平行四边形，可得，且平面平面，所以∥平面．【小问2详解】因为平面是正方形．所以以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，可得，当，即是中点时，的最小值为2，此时，可得，设平面的一个法向量，则，令，则，可得，平面的一个法向量，所以，设二面角平面角为，可知为锐角，，所以，即二面角的正弦值为．21.已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率分别为，且依次成等比数列，求值，并求当面积为时，直线的方程．【答案】（1）；（2）；或.【解析】【分析】（1）根据的周长为求出，再根据离心率求出，从而求出椭圆方程.（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出依次成等比数列，进而求出的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出的面积，求解即可得到的值，从而得到直线的方程.【小问1详解】由题意，，解得，所以.故椭圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，与椭圆方程联立得，，且，所以．由题意，，故..此时，，.又点O到直线的距离，故三角形的面积,解得或，所以直线l方程为或.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做、则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为．（1）当时，求曲线C与x轴交点的直角坐标；（2）直线l与曲线C有唯一公共点，求实数m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，令即可得解；（2）化极坐标方程为直角坐标方程，联立直线与曲线普通方程，利用判别式求解.【小问1详解】，得所以曲线C与x轴交点得坐标为；【小问2详解】，得，即为直线l的方程，曲线C的普