第十一章11 1排列组合11 1

第十一 计数原２０５易２０５易２０５易２０５难排列、５０１从近几年高考命题来看，本章节内容为常考内容，主要考查二项展开式中某一项的系数、二项式系数、某些特定项系数之和也考查多个因式乘积展开式中的特定项系数的求解等．０２０３以中等难度题为主０４

列组合、二项式定理的相关问题．高考对本章节内容的考查较稳定，常在选择题的前半部分或填空题第３题位置出现依据《考试说明》的要求可以看出，考查方式及５年变化不大，基本保持一０５．排列问题，首先要理清是分类还是分步；其次是运用直接法、间接法、特殊元素优先安排法、相邻问题“捆绑法”、不相邻问题“插空法”等进行求解．２．组合问题正难则反、树形图、分类讨论、分组分配问题遵循先分组后排列等方法

３．求二项展开式中的特定项或特定项系数，Ｔ后令未知数的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出ｒ代回通项即可求解；利用分类讨论方法将０６学科核心素养以数学运算为主０７高考对本章内容考查以中档题、容易题为主，只要立足基础、重视教材、掌握基本概念和相关公式即可．预测在２０２０年高考中题型第十一章§（）完成一件事有ｎｍ１种不同的方法，在第二类方案中有ｍ２种不同的方法，……，在第ｎ类ｍｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…种不同的方法．（）

若交换某两个元素的位置对结果产生影响，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关（

种不同的方法，完成第二步有

（）（）Ａｎ（ｎ）（ｎ２）…（ｎｍ）ｎ！（ｎＡｎ（ｎ）（ｎ２）…（ｎｍ（２）Ｃ （ｎ，ｍ∈Ｎ，且ｍ≤ｎ）ｍ！（ｎ （） ；②Ａ（２）①ＣＣＣ步有ｍ种不同的方法，那么完成这件事情共有 ｍ·ｍ· ｍｎ（）情的不同方法的种数．它们的区别在于：件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，对于排列问题常用的解题策略有以下几种 Ａ２Ａ６＝１２

（１）（２）（）（）（５）（６）（７）（８）（９）“小集团”（１０）（）一排，求满足下列条件的排法共有多少种．（）（）２（）乙相邻，有多少种排法？解题导引

（１）（２０１９广西梧州质检，１４）６个人站成一横排，甲不站右端，也不站左端，有种不同的站法．（用数字作（２）（２０１９贵州凯里质检，１４）今有２个红球３个黄球４个白球，同色球不加以区分，将这９个球排成一列有 种不同的方法．（用数字作答）（３）（２０１９贵州遵义四中２月月考，１４）用０，２，３，４，５这五个数字可以组成个没有重复数字的三位偶数．（用数字作答案（）（）（）解析（）解法一（特殊位置优先考虑）：因左右两端不站甲，故先从甲以２个人站在中间的四个位置上，有Ａ４种．共有ＡＡ４＝４８０ ４个女生在４４个女生在４→（２→

解法二（特殊元素优先考虑）：因甲不能站左右两端，三个男生全排，并产生４４４ 甲站在左右两端之间的一个位置上，有Ａ１种；再让其他的５个Ａ三个男生全排，并产生４４４（） ９９解析（）

ＡＡ２ＡＡ２３

３站在４个空位中即可．所以排法种数为Ａ３Ａ４＝ （３）因组成的三位数为偶数，３（２）把男生甲乙捆绑在一起，然后全排列，即排法种数 又０不能排首位，故０是其中的特殊元素，应优先安排．按０排５年高考３年模 Ｂ版（教师用书４２３ ２３Ａ２个；②ＡＡ１４２３ ２３（８学１月，８）节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 （ ） 答案Ａ２解析 邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有Ａ２＝２种情况２２２＝２个空位；③数学课不排第一节，有２个空位可选，在剩下的２２

种情况，则数学物理的安排方法有×＝４种，则不同排课法的种数是２×２×＝１６种，故选（２０１８广西桂林高三上期末质量评估，７）有３位男生， 答案Ｄ４３３解析第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生ＣＡ２＝１８种排法；第二步，剩余的学生全排列，共有Ａ４＝２４种排法，所以根据分步乘法计数原理可得，符×４３３组合问题的常见类型及处理方法 答案（１）１７４（２）８（１）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将 （１）不共面的四点对应于３对异面直线，则异面直这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素 线的对数为３·（Ｃ４１２）＝１７４．８剔除，再从剩下的元素中选取（２）“”“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，用间．（）女生中选出４人去参加座谈会，问：（）４人中男生和女生各选２（）（）如果４人中必须既有男生又有女生，那么有多少种４解析（）·Ｃ２＝６０．４（）：（）９人选４

（）１２○○○○○○○○○○○在相邻的每两枚棋子形成的１１个间隔中选取７个插入隔板，将１生的名额（ｉ＝１，２，…，８，图示中表示８个班分配的名额分别为１）７＝正六边形的中心和顶点共７个点，以其中３个点为顶点的三角形共有个．答案３２７＝情况是三点共线的，故总的方法数有３５３＝３２种．即三角形共有７在一个圆周上有１０个点，任取３乙都未被选中的去掉，就得到符合条件的选法数为Ｃ４Ｃ４＝ 角形，一共可以 个三角形（用数字作答（

答案 ７７ ７解法二：（直接法）甲被选中乙未被选中的选法有Ｃ３种，乙被选中甲未被选中的选法有Ｃ３种，甲乙都被选中的选法有Ｃ２ 有２Ｃ３＋Ｃ２＝９１（７７ ７

３（３）解法一：（间接法）在９人选４人的选法中，把只有男 和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为 Ｃ４Ｃ４＝ （

（）解法二：（）１，２，３的选法总数为Ｃ１Ｃ３＋Ｃ２Ｃ２＋Ｃ３Ｃ１＝１２０（种

８个顶点可连成 对异面直线．（用数字作答）（）（广西桂林中学２月月考，１４）

（）Ａ，Ｂ，Ｃ三人都不能入选，所以只能从余下的９人＝１２６（）．３（）三人中选出一人，有Ｃ１３由１２人组成的篮球队，这１２个人由８个班的学生组成，每班至 种．（用数字作答）

再从其余的９人中选４人，有Ｃ４种选法．所以共有选法Ｃ１Ｃ４＝３７８（）．９３９（１）分组问题属于“组合”分组分配问题是排列组合的综合问题，后分配③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象第十一章（２）分配问题属于“排列”①相同元素的分配问题，常用“

（）

在（５）的基础上再分配给３个人，分配方式在（５）的基础上再分配给３个人，分配方式 ·Ａ３②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类法求解

６２ Ａ２Ａ９０（种（）

按下列要求分配６本不同的书，各有多少种不同的 甲选１本，有Ｃ１种选法；乙从余下的５本中选１本，有Ｃ１种６ ４种选法．故分配方式有ＣＣＣ４６ （）分成三份，１份１本，１份２本，１份３（）（）２（）乙（）分成三份，１份４本，另外两份每份１（）乙

（１）（２０１９广西贵港高中２月月考，１４）１２个篮球队中有３个强队，将这１２个队任意分成３个组（每组４个队），则３ ．（用数字作答）（２）（２０１９云南曲靖一中２月月考，１４）将４名大学生分配到３个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案的种数是．（）３解析（）

答案（

４４先选１本，有Ｃ１种选法；再从余下的５本中选２本，有Ｃ２６选法；最后余下３

解析（１）Ｃ３Ｃ１Ｃ４

ＡＡ ３９８故分配方式有Ｃ１Ｃ２Ｃ３＝６０（种 种，而３个强队恰好被分在同一组分法 种，故３个 由于甲乙丙是不同的三人，在（）ＣＣ１２３ＣＣ

３１４ＣＣＣ３ＣＣＣ ＝３分配，故分配方式有ＣＣＣ

＝３６０（种 ４４ １２８Ａ（３）无序均匀分组问题 Ａ分三组，则应有Ｃ２Ｃ２Ｃ２种方法，但是这里出现了重复．不 ６４ （）４名大学生按２，１，１ＡＡＢ，第二步取了ＣＤ，第三步取了ＥＦ，记该种分法为（ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ），则Ｃ２Ｃ２Ｃ２种分法Ａ

Ｃ２·Ｃ１

种；第二步将分好的三组分配到３６４ ２中还有（ＡＢ，ＥＦ，ＣＤ），（ＣＤ，ＡＢ，ＥＦ），（ＣＤ，ＥＦ，ＡＢ），（

Ｃ２·Ｃ１ＡＢ），（ＥＦ，ＡＢ，ＣＤ），共有Ａ３种情况，而这Ａ３种情况仅是 其分法有Ａ３种，所以满足条件的分配方案 １·Ａ３Ａ ＡＣＤ，ＥＦ的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式 ２２ Ｃ６Ｃ４Ａ ＝１５（种）Ａ３（）

ＡＣ２Ｃ２Ａ

西部某县委将７位大