计数原理及排列组合（精讲）

8.1计数原理及排列组合（精讲）一.两个计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.二.排列、组合排列的定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的公式、性质排列数组合数公式Anm＝n（n－1）·（n－2）…（n－mCnm＝A性质Ann＝Cn0＝1，Cnm＝Cnn−m三．常用方法2.相邻捆绑法3.不相邻插空法4.定序倍缩法5.对于分堆与分配问题应注意三点①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆时要注意是否均匀.6.相同元素隔板法一．计数原理的解题思路涂色问题常用的方法方法一：按区域的不同，以区域为主的分步计数，用分步乘法计数原理方法二：按颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析组合问题1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.四．圆形排列问题n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中考法一排列【例1】（2023广东湛江）有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，男生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【答案】(1)2520；(2)1440；(3)3600；(4)3720；(5)840；(6)720；(7)960；(8)240.【解析】(1)从7人中选5人排列，不同的排法种数为．(2)先排女生，有种排法，再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生，有种排法，故不同的排法种数为．(3)方法一：先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故不同的排法种数为．方法二：左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故不同的排法种数为．(4)方法一：分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，而乙可排在除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，其余人全排列，有种排法，故不同的排法种数为．方法二：7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故不同的排法种数为．(5)7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故不同的排法种数为．(6)首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法种数为．(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人，有种排法，由于甲、乙相邻故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法，故不同的排法种数为．(8)将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故不同的排法种数为．【一隅三反】1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法；（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）；（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法；（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）；（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法；（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法．2．（2023春·河南郑州）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排一排，女生必须站在一起；(5)全体排一排，男生互不相邻；(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.【答案】(1)2520(2)5040(3)3600(4)576(5)1440(6)720(7)2520(8)3720【解析】（1）从人中选人排列，有（种）方法.（2）分两步完成，先选人站前排，有种方法，余下人站后排，有种方法，则共有（种）方法.（3）先排甲，有种方法，其余六人有种，则共有（种）方法.（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，则共有（种）方法.（5）（插空法）：先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，则共有（种）方法.（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法，再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，有种，共有（种）方法.（7）（消序法）：（种）方法.（8）（间接法）：无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端有种，是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有（种）方法.3．（2023·广东佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．(1)选5名同学排成一排；(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全体站成一排，男生排在一起；(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；（2）先安排甲乙在中间有种，再安排余下的5人有种，共有排法有种；（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；（4）把男生看成一个整体共有种，再把女生看成一个整体有种，再把这两个整体全排列，共有种排法；（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；（9）分步完成共有种排法；（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.考法二组合【例2】（2023秋·课时练习）高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？【答案】(1)5984；(2)2100；(3)2555；(4)6090.【解析】（1）从除指定女生外的34名同学中任取3名同学，有（种），所以某一女生不能在内，不同的选法有5984种.（2）从20名男生中取1名，从15名女生中取2名，有（种），所以恰有2名女生在内，不同的选法有2100种.（3）选取2名女生有种，选取3名女生有种，所以至少有2名女生在内，不同的选法有（种）.（4）从35名同学中任选3名有种，选取3名女生有种，所以至多有2名女生在内，不同的选法有（种）.【一隅三反】1．（2023春·江苏淮安）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)这9个点，可确定多少条不同的直线？(2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？【答案】(1)31(2)80(3)105【解析】（1）方法一（直接法）共线的4点记为A，B，C，D.第一类：A，B，C，D确定1条直线第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定条直线；第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线．根据分类计数原理，共有不同直线（条）．方法二（间接法）9个点取2个点共有种，4个共线点取2个共有种，以上均表示同一条直线，则可确定多少条不同的直线为（条）．（2）方法一（直接法）第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得个三角形；第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得个三角形；第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形方法二（间接法）9个点取3个点共有种，其中不能构成三角形的则是在4个共线点取3个共有种，可确定三角形（个）．（3）方法一（直接法）分三类：从其余不共线的5个点中任取4个，3个，2个点共得（个）四边形．方法二（间接法）9个点取4个点共有种，其中不构成四边形的分为两类：第一类：4个点共线则有种，第二类其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则共有种，可确定四边形（个）．2．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）某个学习小组有4个男生，6个女生．(1)从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）(2)现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）【答案】(1)(2)（i）（ii）【解析】（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少有三种情况，①2个男生2个女生，有种；②3个男生1个女生，有种；③4个男生0个女生，有种；故男生的个数不比女生少的选法有种；（2）（i）每人从三项工作可以选其中一项，4个男生共有选法；（ii）若每项工作至少有1人参加，4个男生必须有两个人一组，其余两个人一人一组，共有种分法，然后再把这三组分配到翻译､导游､礼仪三项工作，共有种选法.3．（2023春·北京通州）从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？【答案】(1)18(2)30(3)25【解析】（1）从3名男生中选出1名的选法有种，从4名女生选出2名的选法有种，所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法为．（2）选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有种，有2名女生1名男生的选法有种，所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法为种．（3）选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有种；女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有种；女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有种，所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法为种．考法三排列组合综合运用【例31】（2023·青海西宁）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.题的基础上再分配给个人,共有分配方式(种).(种)分法.题的基础上再分配给个人,共有分配方式(种).本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有(种)选法.【例32】（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有对异面直线，当两条直线都位于上下底面时，有对异面直线，当两条直线都不在上下底面时，有对异面直线，所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为故选：B【例33】（2023·山西·校联考模拟预测）将一个四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：若将四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，有5种颜色可供使用，则有以下情况：若5种颜色都使用上，则四棱锥的五个顶点的颜色都不一样，共有种不同涂色的方法；若只使用5种颜色中的4种，则四棱锥的五个顶点中与同色或与同色，共有种不同涂色的方法；若只使用5种颜色中的3种，则四棱锥的五个顶点中与同色且与同色，共有种不同涂色的方法，综上，一共有种涂色方法，其中共使用4种颜色的涂色方法有240种，则共使用4种颜色的概率.故选：C【例34】（2023春·江苏无锡）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?(4)在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?【答案】(1)24(2)36(3)36(4)第54个【解析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有个；（2）在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排.所有奇数的个数有个；（3）在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排，则有个；（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.从小到大排列，30421排第54个.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（

）A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【答案】AD【解析】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；则偶数有（个），故C错误；将这些“凸数”分为三类：①十位为，则有（种），②十位为，则有（种），③十位为，则有（种），所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．故选：AD．2．（2023浙江）如图，用5种不同的颜色给图中的、、、、、6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.【答案】1920【解析】依题意，完成涂色问题，至少用3种颜色，则计算不同的涂色方法种数可以有3类办法：用5种颜色涂，有一组