行列式的计算方法研究毕业论文

前言在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵，值域为一个标量，写作。在本质上，行列式描述的是在维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用.如判断矩阵的可逆性,行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有个方程和个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。

当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。

若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。第一章普通法求行列式1.1利用行列式定义直接计算例1计算行列式解中不为零的项用一般形式表示为该项列标排列的逆序数等于，故.总结：对上面的例题，可以看出，行列式中0元素比较多的，那么用定义法计算比较简略。对于这一类型行列式形状，我们为了方便计算逆序数，最好把它的个数做成等差或等比数列。1.2利用行列式的性质计算例1：，一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式。证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由知，即故行列式可表示为，由行列式的性质，当为奇数时，得，因而得1.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化为三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。1.3.1直接化为阶梯形例1计算行列式．解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．1.3.2相同去项化上三角形例题2：计算n阶行列式．解：这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．第二章特殊法求行列式阶法2.1按行（列）展开法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。2.1.1先简再展例1:计算20阶行列式[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：2.1.2按第一行（列）展开例2：计算n阶行列式解将按第1行展开.例3：计算n（n≥2）阶行列式．解按第一行展开，得．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到．2.2递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。有时也可以找到与,的递推关系，最后利用...得到的值。注意:用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。2.2.1等差数列递推例1:计算行列式.解：将行列式按第列展开,有,得。同理得,例2：计算解：同理联立解得当时,2.2.2“一路直推”例1:计算阶行列式．解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：这里与有相同的结构，但阶数是的行列式．现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：因，故．最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．当时，显然成立．设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．2.2.3对角直递例1：证明n阶行列式．证明:按第一列展开，得．其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作．这样，就有递推关系式：．因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．当时，，结论正确．当时，，结论正确．设对的情形结论正确，往证时结论也正确．由可知，对n阶行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．分析:此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。2.3利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；...)把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。2.3.1变形范德蒙行列式例1计算行列式解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2：计算阶行列式．其中．解:这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即例3：计算行列式.解：2.3.2系数范德蒙行列式例1：计算行列式解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式=易知等于中的系数的相反数,而中的系数为,因此,2.3.3利用行列式性质凑范德蒙行列式例1:计算n阶行列式解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：第三章其他方法求行列式3.1加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求：1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为个元素的倍数的情况。3.1.1“0”“字母”加边例1：计算阶行列式解：3.1.2"0"和"1"加边例1：计算阶行列式，其中．解：先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：．显然，．将的第一行乘以后加到其余各行,得．因，将上面这个行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得：3.2数学归纳法当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。3.2.1第一数学归纳法例1:计算行列式解：用数学归纳法.当时，假设时，有则当时，把按第一列展开，得由此，对任意的正整数，有3.2.2第二数学归纳法例1：计算行列式.解：,于是猜想.证明：对级数用第二数学归纳法证明.时,结论成立.假设对级数小于时，结论成立.将级行列式按第行展开.3.2.3猜测归纳例1：计算行列式

解：猜测：证明（1）时，命题成立。假设时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。3.3拆开法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。3.3.1对角拆例1：计算行列式解：=……3.3.2按列（行）拆例1：计算阶行列式．解：将按第一列拆成两个行列式的和，即．再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到当n≥3时，．当时，．小结：计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。参考文献[1]线性代数--方法导引[m].屠伯埙.上海科大出版社.1994[2]高等代数[m].王萼芳.石生明.高等教育出版社.1995[3]高等代数全程导学及习题全解[m].杜炜.马訾伟.中国时代经济出版社.1998.[4]高等代数辅导及习题全解（北大第三版）[m].王勇.科学技术文献出版社.1995.[5]高等代数习题集（上下册）[m].杨子胥.山东科学技术出版社.2004.[6]高等代数习题课参考书[m].张均本.高等教育出版社.2003.[7]高等代数[m].上海财经大学数学系主编.复旦大学出版社.2008.[8]高等代数[m].王住登.国防工业大学出版社.2005.[9]IntroductionToHigherAlgebra[m].Doverpublications2004.[10]HigherEngineringMathematics[m].JohnBird.Newnes.2004.谢辞本论文设计在老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择到具体的写作过程，无不凝聚着老师的心血和汗水，在我的毕业论文写作期间，刘老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，没有这样的帮助和关怀，我不会这么顺利的完成毕业论文。在此向刘老师表示深深的感谢和崇高的敬意。在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予了我帮助和指导的所有老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文。同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有关的作者表示谢意。我还要感谢同组的各位同学，在毕业设计的这段时间里，你们给了我很多的启发，提出了很多宝贵的意见，对于你们帮助和支持，在此我表示深深地感谢。基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系