变量间的相关关系

2.3.2两个变量的线性相关A级基础巩固一、选择题1．设有一个回归方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝2－，则变量x增加1个单位时，y平均()A．增加个单位 B．增加2个单位C．减少个单位 D．减少2个单位解析：由于eq\o(b,\s\up11(^))＝－<0，故选C.答案：C2.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()\o(y,\s\up6(^))＝＋2\o(y,\s\up6(^))＝－＋2\o(y,\s\up6(^))＝－2\o(y,\s\up6(^))＝－－2解析：设回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，eq\o(a,\s\up6(^))>0，因此方程可能为eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋2.答案：B3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，回归系数eq\o(b,\s\up6(^))()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：当eq\o(b,\s\up6(^))＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但eq\o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.答案：C4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\o(x,\s\up11(－))＝3，eq\o(y,\s\up11(－))＝，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()\o(y,\s\up11(^))＝＋ \o(y,\s\up11(^))＝2x－\o(y,\s\up11(^))＝－2x＋ \o(y,\s\up11(^))＝－＋解析：因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.答案：A5．(2022·湖北卷)已知变量x和y满足相关关系y＝－＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关解析：因为y＝－＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝eq\o(b,\s\up11(^))y＋eq\o(a,\s\up11(^))，eq\o(b,\s\up11(^))>0，则z＝eq\o(b,\s\up11(^))y＋eq\o(a,\s\up11(^))＝－\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(b,\s\up11(^))＋eq\o(a,\s\up11(^))，故x与z负相关．答案：C二、填空题6．已知一个回归直线方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则eq\o(y,\s\up11(－))＝__________________．解析：因为eq\o(x,\s\up11(－))＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(eq\o(x,\s\up11(－))，eq\o(y,\s\up11(－)))，所以eq\o(y,\s\up11(－))＝×9＋45＝.答案：7．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．若已求得它们回归直线的斜率为，则这条回归直线的方程为__________________．x24568y3040605070解析：设回归直线方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))，则eq\o(b,\s\up11(^))＝.易知eq\o(y,\s\up11(－))＝50，eq\o(x,\s\up11(－))＝5，所以eq\o(a,\s\up11(^))＝eq\o(y,\s\up11(－))－eq\o(b,\s\up11(^))eq\o(x,\s\up11(－))＝50－＝，即回归直线方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝＋.答案：eq\o(y,\s\up11(^))＝＋8．某市居民2022～2022年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20222022202220222022收入x1315支出Y1012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________关系．解析：收入数据按大小排列为，，13，，15，所以中位数为13.从数据变化情况看出，两个变量是正相关的．答案：13正相关三、解答题9．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x(单位：年)与所支出的总费用y(单位：万元)有如下的数据资料：使用年限x23456总费用y若由资料知y对x呈线性相关关系．(1)试求线性回归方程eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))的回归系数eq\o(a,\s\up11(^))，eq\o(b,\s\up11(^))；(2)当使用年限为10年时，估计车的使用总费用．解：(1)列表：i12345xi23456yixiyixeq\o\al(2,i)49162536eq\o(x,\s\up11(－))＝4，eq\o(y,\s\up11(－))＝5，＝于是eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f－5×4×5,90－5×42)＝eq\f,10)＝；eq\o(a,\s\up11(^))＝eq\o(y,\s\up11(－))－eq\o(b,\s\up11(^))eq\o(x,\s\up11(－))＝5－×4＝.(2)线性回归直线方程是eq\o(y,\s\up11(^))＝＋，当x＝10年时，eq\o(y,\s\up11(^))＝×10＋＝(万元)，即当使用10年时，估计支出总费用是万元．10．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x/m280105110115135销售价格y/万元22(1)画出数据对应的散点图；(2)求回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)试预测90m2的房屋解：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：由图可见两者之间是线性相关的．i12345xi80105110115135yi22xiyi14722310237628523942xeq\o\al(2,i)640011025121001322518225故可求得：eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(12952－5×109×,60975－5×1092)≈2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－2×109＝2.所以，回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋2，回归直线如(1)中图．(3)把x＝90代入上述回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋2，即y＝2×90＋2≈(万元)，即这种90m2的房屋，销售价格约万元．B级能力提升1．(2022·湖北卷)根据如下样本数据：x345678y－－－得到的回归方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：作出散点图如下图所示：观察图象可知，回归直线eq\o(y,\s\up11(^))＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，eq\o(y,\s\up11(^))＝a>0.故a>0，b<0.答案：B2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝6＋.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为eq\o(y,\s\up11(^))1＝6＋，eq\o(y,\s\up11(^))2＝6＋，所以|eq\o(y,\s\up11(^))1－eq\o(y,\s\up11(^))2|＝|(x1－x2)|＝×50＝20.答案：203．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/℃－504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，解：(1)散点图