2023-2024学年江苏省南菁高中、梁丰高中高三上学期8月自主学习检测数学试题（含解析）

⑵若^⑵若^ABC的面积为¥,旦Q=l，求^ABC的周长.已知数列｛。“｝的首项=1,且满足On+i+0”=3X2n.(2)求数列｛oj的前项和如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA1平面ABC,平面PAB1平面PBC.P(1)证明：BC1平面P4B：(2)若PA=AB=6,FC=3,在线段PC上(不含端点)，是否存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为若存在，确定点/＞的位置；若不存在，说明理由.20.(本小题12.0分)元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况(“一般”或“激动”)，现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：--般激动总计总计200(1)填补上面的2x2列联表，并依据小概率值a=0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖-•次.抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球(形状、大小、质地完全相同)的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸所以圆锥的周为h所以圆锥的周为h=VI2—r2=2y/~~2，所以圆锥的轴截面的面积是S=?x2rx/i=2/7,故选：B【解析】【分析】根据同角关系可得tan（x+g=：,由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解：因为非即）所以X+^e（y,y）由-^VO得钓,因=-苗可得tan（2x+==5tan俘-2x）=-tan［zr-（^-2x=-tan修+2x）=-言,故选：B【解析】【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.解：根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有C招=4种选择，故概率为4xG）'（1Y）3=%，②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中，满足要求，则概率为仁（!）'（1—§2=思，综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为*+亮+着=号.故选：B.88.【答案】C【解析】【分析】令/(x)=sinx-x,比(0,切，利用导数判断其单调性，进而可得bva；令/i(x)=lnx-笼尹，工>1，利用导数判断其单调性，进而可得c>Q.解：令f(X)=sinx—x,x€(0,；),则广3)=cosx—1式0,则f(x)在(0,；)上单调递减,所以f(x)V/(0)=0,可知sinx<x对任意的*6(0,：)恒成立，可得sin务V务，即b<a；对于Q,C,由4P=/C*=ln芸一电.粉12110即令/i(x)=Inx-2^-12,x>1,贝ijh!{x)=-—=E)；>o,\/X+1■x(x+l)2x(x+l)2则fi(x)在(1,+8)上单调递增,所以喝)>h(l)=0,a>0,所以c>a.综上所述：c>a>b.故选：C.9.【答案】ABC【解析】【分析】由空间中线面位置关系可判断.解：由m,n是两条不重合的直线，a,。是两个不重合的平面，知：在A中，若m//a,m//p,n//a,n〃们则。与。相交或平行，故A错误；在B中，若mln,m//a,n1。,则。与。相交或平行，故B错误；在C中，若mln,mua,nc/?，则a与相交或平行，故C错误；在D中，若m//n,mla,nl们则由线面垂直，线线平行的性质可得a〃们故。正确.故选：ABC.10.【答案】ACD【解析】【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解：依题意，圆M:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心M(-1,2),半径r=2,对于A,点、4(1,2)在圆M上，圆心M到直线x=1距离为1,即过点4(1,2)与圆M相切的直线方程为x=l,A正确；对于B,对于B,圆N:(x+4)2+0-6)2=1的圆心n(-4,6),半径rr=1,则有|MN|=J[-1一(一4)]2+(2-6)2=5>r+k,即圆M与圆N外离，B不正确.对于C,点(1,1)在圆M外，则过点(1,1)可以作两条直线与圆M相切，C正确；」-|4x(-1)-3x2+5|对于D,圆心M(-1,2)到直线4x-3y+5=0的距离d=―|2…、2=1，J4+(-3)则圆M上的点到直线4x-3y+5=0的距离的最大值为d+r=3,D正确；故选：ACD11.【答案】ABD【解析】【分析】将点A的坐标代入抛物线C的方程，结合Q>0,求出Q的值，可判断A选项；将点B的坐标代入抛物线C的方程，结合b<0求出b的值，可判断8选项；求出以为直径的圆的方程，可判断C选项；根据kAF.k"的关系可判断D选项.解：对于4,因为4(矣,1)在抛物线C上，所以弟=1，又a>0,解得q=4,所以，抛物线C的方程为y2=4x,故A正确；对于B,因为B(a,b)(bvO)在抛物线C上，所以b2=a2=16,又b<0,解得b=—4,故B正确；对于C,刀(：,1)，^(4,-4),则以砧为直径的圆的圆心为(晋,一§,半径r=\\AB\=(4-i)2+(-4-1)2=登，所以，以刀B为直径的圆的方程是(x-y)2+(y+1)2=(登)2,即(%-t)2+(y+岁=警，故。错误；对于D,因为阳,1)、5(4,-4)>F(l,0),所以^AF=TT7=-3»*8F=，所以&AF=k"，所以A,F,B三点共线,故。正确.故选：ABD.12.【答案】BCD2【解析】【分析】利用导函数研究函数fM=x-^-sinx的大致图像判断ABC,利用对称性判断D即可.【解析】【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得代+。9=14,结合等差数列的求和公式，即可求解.解：因为+。7+。9=28,根据等差数列的性质，可得Qi+%==14，所以59=些羿2=琴=63.故答案为：63.15.【答案】2022【解析】【分析】首先求出函数的周期，再求出f(l)+/(2)+/(3)+/⑷+尸(5)+/(6),根据周期性计算可得.解：易知函数/(x)=l-sin(弘+£)的最小正周期T=华=6,而7(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+7(6)=(1-1)+(1-|)+[1-(-|)]+[1-(-1)]+[1-(Y)]+(1__：)=6,由周期性知，这样连续六项的和均为6,而/(I)+/(2)+/(3)+…+/(2023)共有2023项，2023=6X337+1,所以/(I)+/(2)+/(3)+…+/(2023)=337x6+/(I)=2022+(1-1)=2022.故答案为：202216.【答案】一1：[3-21n2,+oo)【解析】【分析】本题在求解X]+、2的取值范围时首先应确定两个变量的取值范围，根据等量关系将双变量问题消元，转换成单变量问题后构造函数，利用自变量取值范围即可求得结果.根据分段函数以及零点的定义，令/(%)=0即可解得函数的零点；由f(X1)+f(x2)=2可知工],为在1的左右两侧，分别代入计算得出》1，工2的关系式，将X1+X2消元之后构造函数即可求得其取值范围.解：令/(x)=0,即x>1,14-Inx=0,解得x=不合题意，舍去；或x<1=0,解得x=-1,符合题意；所以，函数f(x)的零点为一1.由X、比X2，且/(^1)+/(X2)=2可知，当xlfx2G[1,+8)时,f(xi)+f(x2)=14-Inxj+14-\nx2>2,不合题意;18.【答案】解：(18.【答案】解：(1)因为On+1+%=3x2",即0^+1=-%+3x2”，+W1W(1)]又因为Q]=1,可得㈤一2〔=—1装0,所以数列｛%-2n]表示首项为-1,公比为-1的等比数列.(2)由(1)知an-2n=-lx(-1)“T=(-l)n,所以an=(-l)n+2n.所以S”=Qi+a?+…+。?1=(—1+21)+(1+22)+■,■+[(—l)n4-2n]=⑵+22+…+2“)+[(-1)+1+…+(-1)”]==2(2W-1)~1~(~1)\当n为偶数时，可得Sn=2(2”一1)一号=2n+1-2:当n为奇数时，可得Sn=2(2n-l)-iyi=2n+1-3；2n+1-Ln为偶数综上所述：Sn=2"i-3,n为奇教【解析】【分析】(1)根据题意结合等比数列的定义分析证明；(2)先根据等比数列的通项公式可得an=(-l)n+2”，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.19.【答案】解：(1)过点A作AELPB于点、E,因为平面PAB1平面PBC,且平面PABn平面PBC=PB,AEc平面PAB,所以AE1平面PBC,又BCc平面PBC,所以AE1BCt又PA1平面ABC,BCu平面PBC,所以PALBC,又因为AEnPA=A,AE,P4u平面PAB,所以BC1平面PAB.p(2)假设在线段PC±(不含端点)p(2)假设在线段PC±(不含端点)，存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为以B为原点，分别以尻、瓦5为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则4(0,6,0),5(0,0,0),C(3,0,0),P(0,6,6),AC=(3,-6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,-6,-6)，~BA=(0,6,0)，设平面ACD的一个法向量为m=(xfy,z),m•芯=0,m•^4P=0,所以而=(2,1,0)为平面ACD的一个法向量，因为D在线段PC±(不含端点)，所以可设RD=APC=(3A,-6A,-6A)»0<A<1,所以AD=AP-^-PD=(3A,-6A,6-6A)，设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),(nBA=0tpa(6y=0tIn•^4D=0,〔3k-6Ay+(6-6A)z=0,'取x=2人一2,y=0,z=Af所以n=(2A-2,0,Q为平面ABD的一个法向量，2x(24-2)+lx0+0x4(242)2+/，,A<1,2x(2A-2)VTO解得A=|或；1=2(舍去),所以，存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为要，此时D是PC上靠近C的三等分点.【解析】【分析】【解析】【分析】(1)过点A作AELPB于点E,由面面垂直性质定理可得AE1.平面PBC,由此证明AELBC,再证明PALBC,根据线面垂直判定定理证明结论；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACD,平面ABD的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角,由条件列方程确定点D的位置；20.【答案】解：(1)补全的2x2列联表如下:零假设为比：性别与对活动的观感程度相互独立.根据表中数据，计算得到y2=200x(30x55—90x25)2=迎＜1V2.706.根据小概率值a=0.1的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立，因此我们可以认为Ho,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.(2)设一次摸球摸出2个红球的事件为4,摸出1个红球的事件为8,没摸出红球的事件为C,则P(4)=|=j,P(B)=譬蓦，P(C)=g=§,由题意，X可取200.150.100,50.0.P(X=200)=|x|=±,P(X=150)=2x|x|=A,P(X=100)=|x|+2x|x|=il,P(X=50)=2x|x|=A,^,P(X=o)=|x|=所以X的分布列为:总计一般30总计一般3055激动90总计80200g^x)>0恒成立g^x)>0恒成立，此时g(x)在(0,+oo)±单调递增;g'M>0即2ax2+l>0可得『v多，所以ovxv底，【解析】【分析】(1)写出零假设，补全2x2列联表，计算尤2的值，并与临界值比较，得出结论;(2)分别求出一次摸球摸出0,1,2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X的分布列并计算其数学期望.21.【答案】解:(1)f(x)的定义域为(0,+8),尸(x)=Q^x-lnx=«1-lnxg(x)=/(q_1=ax2+Inx—1,g\x)=2ax+?=之匕+^,当a>0W,当QV0时,E(X)=200x杀+150x亲+100x祭+50x备+0x嘉=100.由g'(x)<0即2心24-1<0可得”>孑,所以x>启，所以当a<0时g(x)在单调递减,综上所述：当a>0时，g(x)在(0,+8)上单调递增;当aV0时g(x)在在单调递减,(2)当a>^时，设牧)=打-客则心=土-略琴-守=O令心)=土疽+1心__1，则f(x)=ix+i>0,所以t(x)=+1心一1在(0,4-00)上单调递增；且t(V~e)=£'e+lnV~e-1=0,所以0vxv"时，t(x)<0即h'M<0,此时/i(x)单调递减，当x><7时，t(x)>0即/i'(x)>0,此时九3)单调递增，所以九(x)=土*-岑在(0,")上单调递减，在(",+8)单调递增，所以”(x)min=MC)=土XC-嗜=为一法=所以h(x)=土X-iy>0对于xe(0,+oo)恒成立，506XP200506XP20015001【解析】【分析【解析】【分析】(1)先计算广3)可得g(x)表达式，再计算g'(x),分别讨论a>0和qvO解不等式g'(x)>0和g'(x)V0即可求解；(2)当q2§时，设/i(x)=J-x-—,利用导数研究h(x)的单调性和最小值，证明h(x)>0即可.22.【答案】解：(1)设动点P(x,y),则直线04、的斜率分别为&,当，于是七土