2023-2024学年江苏省南京市高三学情调研联考(零模)数学试题（含解析）

A*TA*TC.§+；>0D.(a-l)(10.有一组样本数据Xi，x2,x3,x4,x5,已知£?=1豹=10,Z?=i好=30,则该组数据的()A.平均数为2B.中位数为2C.方差为2D.标准差为2在2gD是AB的中点.将4ACD沿CD翻折，得到三棱锥4-BCD,则()B.当4D1时，三棱锥4一BCD的体积为?C.当A'B=2>T3时，二面角Ar-CD-B的大小为学D.当lA'DB=夺时，三棱锥4-BCD的外接球的表面积为20汗12.函数/'(x)及其导函数/(X)的定义域均为R,若/(x)-/(-x)=2x,尸(1+工)+尸(1一x)=0,则()A.y=，(x)+x为偶函数B./'(x)的图象关于直线x=1对称C.尸(0)=1D.F(x+2)=尸(X)+2三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知角。的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4),则sin(7r+a)=.14.某批麦种中，一等麦种占90%,二等麦种占10%,一、二等麦种种植后所结麦德含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为.S8=.4-4=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,P是C右支上一点，线段PFi与C的左支交于点M.若匕FiPF2=?,且\PM\=|PF2|,则C的离心率为.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题10.0分)20.(本小题12.0分)如图，四边形4BCD是圆柱OE的轴截面20.(本小题12.0分)如图，四边形4BCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆。上，OA=BF=C线段BF的中点.(1)证明：EG//平面DAF;P(KA。)如(2)若q=3,sinBsinC=某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本.将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好.已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人.nEN',证明尹｝是等差数列.(1)根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的4学科良好与B学科良好有关;8学科良好B学科不够良好合计A学科良好人学科不够良好(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A,B学科均良好的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.附:K2麟Me其中”=q+b+c+d.解法2:因为sinBsinC=:,B=n-A-C=^-Cf所以sin(?—C)sinC=?化简得cos(2S?)=l,因为CE(0,凯所以2C-耘(一？,?)，故C=l，因此b=?-c=§进而可解得b=c=e所以△ABC的面积为s=!Xcx"xsin¥=半.y又的+。4=18,所以竹=?或件=：6，.又q>l,所以竹二；2所以"=8,q=2.因此a”=Qiq"T=2n.(2)由⑴得&=2bn一2n,所以&+1=2bn+1-2n+1,两式作差可得bn+1-2bn=2n,neN\所以福一分=3即抖__*=§(化寸)18.【答案】解：(1)由正弦定理，得sinAsinB+VJsinBcosA=0.因为B6(O,tt),sinB。0,所以sin4+y/~~3cosA=0，即tan/l=—V"3.因为/lG(0,7r),所以4=孚⑵解法1:由正弦定理斋=&=盅，所以总=盅=号=2厂，所以be=(2>/~3)2xsinBsinC=3.19.【答案】解：(1)由直方图可得19.【答案】解：(1)由直方图可得A学科良好的人数为100x(0.040+0.025+0.005)x10=70,假设他：A学科良好与B学科良好无关，所以2x2列联表如下：1725所以X的分布列为XP23所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关.(2)屉学科均良好的概率P=翠=§X的可能取值为0，1,2,3,且所以P0=0)=C：.(务。(|)3=备，P(x=1)=曷.(I)'.(|)2=浪,P3=2)2.③•(|/=覆,P3=3)=展y.(|)°=&0所以E(X)=3x|=|.4学科应好4学科不够良好合计4学科应好4学科不够良好合计4050B学科不够良好302050合计7030^,所以30尸=60。，因此F(|,|,0).因为点G是线段BF的中点，所以G(j,罕,0),因此面=(%罕,3).因为平面ABF,BFc平面ABF,所以BF1AD.又BF1AF,AFCiAD=A,",时u平面DAF,所以BF1平面DAF,因此丽=(一§决,。)是平面DAF的一个法向量.因为*词=+凄X共2+0x3=0，又EG仁平面DAF,所以EG//平面DAF.(2)解：法一：以0为坐标原点，的中垂线为x轴，0B为y轴，OE为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,C,0),E(0,0,3).因为AB为底面圆0的直径，点F在圆。上，所以BFLAF.又OA=OB=BF=穴，所以匕8。尸=60°,因此F(|,^,0).因此牖，$°)，粉=(牝决，-3).因为AD上平面ABF,BPu平面所以BF1AD.又BFLAF,AFDAD=A,AF,ADu平面ZZ4F,所以BP1平面DAF.因此而=(-|,^,0)是平面D4F的一个法向量.设EF与平面眼F所成角为0,所以时与平面D时所成角的正弦值为?处理法1:因为SO,所以Xp处理法1:因为SO,所以Xp=-^―=i—\—6(0,：).因为匕POQ=£PMF=90°,所以Q,。，M,F四点共圆，因为xP6(0,i),且函数、=标一好在(0,§)上递增，所以|PM||PQ|=Xp-必6(0,壬).处理法2:易得△OPQ小MPF,所以器=舞，所以PMPQ=POPF.Jl+^Xm-XplJ1+H冲|令/=4/c2+3>3,则|PM|•\PQ\=③切蒙=；气"=畚[__3(1)2__21+1]>因此|PM|•\PQ\=却—3(护-2§+1]E(0,土).法二：易得F(l,0),设直线AB:x=my+1.,0,所以Xp=3血因为匕POQ=£PMF=90°,所以Q,0,M,F四点共圆，因为xPe（0,^）,且函数、=标一好在（o,§)上递增，所以|PM||PQ|=Xp-必6（0,壬）.处理法2:易得△OPQ小MPF,所以常=保，所以PMPQ=POPF.x2y2__消去x并整理得(3m2+4)y2~4+~3=1,设B(X2，y2)，则yi+无=幕刍，X1+X2=m(y】+无)+2=嘉卤，则岷嘉，滁).于是线段的垂直平分线的方程为y=-m(x-说上)一煮彳令C=3m2+4>4,则"构『。|=^§5=导=一!+!6(0,土).处理法4:|PM|.|PQI=§^.饥=3四+1)>3,则|PM|•|PQ|=黔=点=亦£(0&22.【答案】解：(1)证明：若a=l,贝i]/(x)=ex-x-l,f(x)=ex-l,令f(x)=o,得x=0.在(一8,0)上，f(x)<0,f(x)单调递减；在(0,+8)上，f(x)>0,f(x)单调递增;fe/(x)>/(0)=0.(2)解：g(x)=axex—x2-ax,g'(x)=q(x+l)e*—2x—q=a[(x+1)。工一1]一2x.当x>0时，易得(x+l)ex-l>0,所以由(1)可得，若q>1,则g'(x)=a[(x+l)ex—1]—2x>(x4-l)ex—2x—1>(x+l)2-2x—1=x2>0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递增，这与x=0为函数g(x)的极大值点相矛盾.若0<a<1,g'(x)=a(x+2)ex-2,因为g0"title="latexlmg"/>对x>一3恒成立，所