2020-2021学年高三四校联考试卷数学

2020—2021学年高三四校联考试卷

数学（正题）皿。1

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13

题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，

请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定住

置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米

黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={幻》＜1},B={x|log2A;,0）,则AB为

A.（0,1）B.（0,1]C.（-oo,l）D.（-oo,l]

2.复数4=2+"Z2=l-3i,其中i为虚数单位，则z=z「Z2在复平面内的对应点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.现有语文、数学、英语、物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求

每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为

A.18B.24C.30D.36

4.在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究

函数的性质，下列函数的解析式（其中e=2.71828为自然对数的底数）与所给图象

最契合的是

5.已知0>0,*eR,函数/(x)=sin(&x+*)图象相邻的两个对称中心之间的距离为4,

函数g(x)=2tan(w+s)图象相邻的两个对称中心之间的距离为人,则有

A.4B.&=&C.4=24D.&=44

22

6.已知双曲线C：4-二=1(〃>0,6>0)的上、下顶点分别为A，4,点P在双曲线C

a~b~

3

上(异于顶点)，直线出，尸4的斜率乘积为：，则双曲线C的渐近线方程为

4

A.y—i—xB.y=+^^-xC.y=±2"^xD.y—i2x

2'2’3

7.已知A43C为等边三角形，AB=2,AABC所在平面内的点P满足|AP-A8-4C|=1,

贝IIIAP|的最小值为

A.V3-1B.2x/2-lC.273-1D.77-1

8.若e'FNlnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是

A.^-oo,-B.(-oo,l]C.(-00,2]D.(-00,e]

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分.

9.2020年1月18日，国家统计局公布了2020年度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼

图，已知2020年度和2019年度居民在“其他用品及服务”中人均消费支出大约分别为

462元和524元，现结合2019年度居民人均消费支出情况，下列结论中正确的是

(2020年全国居民人均消费支出及构成)(2019年全国居民人均消费支出及构成)

A.2020年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率比2019年度的高

B.2019年度居民人均消费支出约为21833元

C.2019年度和2020年度居民在“生活用品及服务”项目上的人均消费支出相等

D.2020年度居民人均消费支出比2019年度居民人均消费支出有所降低

10.已知实数〃满足a2-ab+b=0(a>l),下列结论中正确的是

A.B.勿+8>8

11,,、27

C.—+—>1D."62—

ab4

11.己知四边形ABC。是等腰梯形（如图1）,43=3,DC=\,ZBAD=45\DEYAB.

将△ADE沿DE折起，使得(如图2),连结AC,AB,设M是9的中点.

下列结论中正确的是

图1图2

B.点石到平面的距离为当

X.BCLAD

C.〃平面AC。D.四面体43CE的外接球表面积为5万

12.若/(x)在区间可上有了⑶2M恒成立，则称M为/(x)在区间可上的下界，且

下界M的最大值称为/(x)在区间句上的下确界，简记为叫,闾.已知f(x)是R匕的

奇函数，S./(x+8)=/(-x),当xe［o,4］时，有F(x)=-x.若Z>0,A>0,不等式

M|on,AM«2恒成立，下列结论中正确的是

A.直线x=8是函数y=/(x)图象的一条对称轴

B.若&=7,则X的最大值为4

C.当xw［100,116］时,/(x)=4-|x-108|

4

D.若几=］，则％e［5,9］是不等式叫°制，义叫&.2对恒成立的充分不必要条件

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中，常数项为.(用数字作答)

14.已知数列｛%｝的前〃项和S“=即±(〃eN*),则数列J」一!的前10项和为___.

21。/“+/

15.在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得

2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为」，且答题相互独立，那么甲作答两局的

4

得分期望为.

16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为E,点P是抛物线C上一点，以F为圆心，半

径为p的圆与P尸交于点。，过点P作圆尸的切线，切点为A,若|用|=4,且△OP。

的面积为弓，则P=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

BB

在①Gcos5=2—2sin5cos万，②®sinC=ccos3，③S+aXb-a)=cGc这三个

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：已知△ABC的三边6,c所对的角分别为A8,C,若a=4,c=®.

求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题满分12分)

如图所示，在四棱锥S-中，底面ABCD是正方形，对角线AC与及)交于点尸,

侧面S3C是边长为2的等边三角形，点E在棱8s上.

SF

(1)若〃平面AEC,求一的值；

EB

(2)若平面SBC，平面ABC。，求二面角B—AS—C的余弦值.

19.（本小题满分12分）

己知数列｛%｝中，%>1,q=log23,且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记a„所有

可能取值的集合为A“，其元素和为S“（〃eN*）.

（I）证明为为单元素集，并用列举法写出人,&；

（2）由（1）的结果，设keN*,归纳出4*+2（只要求写出结果），并求S2m，指

出$2*+2与S2M的倍数关系•

20.（本小题满分12分）

我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.

某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为

了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额）（单位：亿元）的影响，研究了

“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额为和年盈利额》的数据.

通过对比分析，建立了两个函数模型：®y=a+/3x2,②丫=/"',其中a,p,A,t

均为常数，e为自然对数的底数.令%=x,2,匕=lny,（i=l,2「、10）,经计算得如下数据:

£2

XyuV

i=li=\

262156526805.36

102

z、Z(v.-v)2

火(%-祖R-y)

i=\/=!/=1i=\

1125013()2.612

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立》关于x的回归方程；（系数精确到0.01）

（ii）若希望2021年盈利额y为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额x为多少

亿元？（结果精确到0.01）

S（x，T（M-3）

附：①相关系数，=，，，

Z"）2m

Vi=l1=1