2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件 同步测试

北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件同步测试（原卷版）

一.选择题

1.已知。。的半径为4,点P到圆心0的距离为4.5,则点P与。。的位置关系

是（）

A.P在圆内B.P在圆上C.P在圆外D.无法确定

2.给定下列图形可以确定一个圆的是（）

A.已知圆心B.已知半径C.已知直径D.已知三个点

3.如图，圆0是AABC的外接圆，连接OA、OC,Z0AC=20°,则NABC的度数

为（）

A.140°B.110°C.70°D.40°

4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1,4）、（5,4）、

（1,-2）,则^ABC外接圆的圆心坐标是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（1,3）D.（3,1）

7

5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）

A.三边的垂直平分线的交点B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点

6.下列语句中正确的是（）

A.直径是弦，弦是直径.

B.相等的圆心角所对的弦相等

C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

1

D.三点确定一个圆

7.直角三角形两直角边长分别为“和1,那么它的外接圆的直径是（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知等边三角形的外接圆半径为2,则该等边三角形的边长是（）

A.2B.4C.V3D.2相

9.如图，AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圆。0的直径，且AC=5,DC=3,

AB=4&

,则。0的直径AE=（）

A.5也B.5C.4后D.3加

10.下列说法正确的是（）

A.任意三点可以确定一个圆

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧

C.相等圆周角所对的弧也相等

D.等弧所对的圆周角相等

11.如图，AABC中，NA、/B、/C所对的三边分别记为a,b,c,0是AABC

的外心，OD±BC,OE±AC,OF±AB,贝UOD：OE：0F=（）

A.a：b：cB.一：一：-C.cosA：cosB：cosCD.sinA：sinB：

abc

sinC

12.如图，AABC是。。的内接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,AD是直径，AD

=8,则AC的长为（)

2

A.4B.473C.173D.2b

3

二.填空题

13.如图，点A,B,C均在6X6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接

圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为一.

14.平面直角坐标系内的三个点A(1,0)、B(0,-3)、C(2,-3)确

定一个圆(填“能”或“不能”).

15.如图，△48。是。。的内接三角形，/C=45°,4?=6,则。。的半径

为.

16.在坐标系中，以。为圆心，5为半径的。。与点尸(-4,4)的位置关系是：

点尸在(填”内”、"上”或“外”).

17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图，在RtAABC和比△

ACD中，NACB=NACD=90°,点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3,那么△

ABC和4ACD的夕卜心距是.

3

18.在中，Z6^90°,AC=5,BC=3,则其外接圆的直径为.

三.解答题

19.小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意

两点PNx”y,),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：

PR=J(x2-Xi)2+(y2-yi)2；他还证明了线段PR的中点P(x,y)的坐标公

式

是：y=勺22

22

启发应用

请利用上面的信息，解答下面的问题：

如图，在平面直角坐标系中，已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),。乂经

过原点0及点A、B.

(1)求。M的半径及圆心M的坐标；

(2)判断点C与。M的位置关系，并说明理由.

4

20.已知：如图，BD、CE是aABC的高，M为BC的中点.试说明点B.C.D.E

在以点M为圆心的同一个圆上.

21.“不在同一直线上的三点确定一个圆”.请你判断平面直角坐标系内的三

个点A(2,3),B(-3,-7),C(5,11)是否可以确定一个圆.

22.如图，在aABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圆，AE_LAB交BC于点D,交

3

。0于点E,F在DA的延长线上，且AF=AD.若AF=3,tanZABD=-,求。0的直

4

径.

5

23.如图1,。。是AABC的外接圆，连接A0,若/BAC+N0AB=90°.

(1)求证：AB=BC

（2）如图2,作CD_LAB交于D,A0的延长线交CD于E,若A0=3,AE=4,求

线段AC的长.

24.如图，△力比'内接于。0,是。。的直径，。是俞中点，弦出1/8于点区

连结A9,分别交区8c于点只Q,连结物.

（1）求证：尸是线段力0的中点；

（2）若。。的半径为5,〃是它的中点，求弦力的长.

6

25.如图，。。是△/劭的外接圆，46为直径，点。是弧49的中点，连接0C,

a'分别交/〃于点EE.

(1)求证：NABD=24C.

(2)若48=10,BC=8,求劭的长.

26.如图，在△/a'中，ZC=90°,AB=lQcm,BC=6cm,点."从。点开始以

lcWs的速度沿％向6点运动，点A，从4点开始以2cWs的速度沿〃1向。点运

动，点瓶N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动.

(1)2秒时，△就邪的面积是；

(2)求经过几秒，△助冰的面积是3/；

(3)试说明△放不外接圆的半径能否是炎谶.

7

北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件同步测试（解析版）

一.选择题

1.已知。。的半径为4,点P到圆心0的距离为4.5,则点P与。。的位置关系

是（）

A.P在圆内B.P在圆上C.P在圆外D.无法确定

解：Vr=4,d=4.5,

d>r,

...点P在。0外.

故选：C.

2.给定下列图形可以确定一个圆的是（）

A.已知圆心B.已知半径C.已知直径D.已知三个点

解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；

B,不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；

C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题

意；

D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆.故不符合题意；

8

故选：c.

3.如图，圆0是AABC的外接圆，连接OA、OC,Z0AC=20°,则NABC的度数

为()

A.140°B.110°C.70°D.40°

解：在优弧AMC上任取一点P,连接AP,CP,

V0A=0C,

.".Z0AC=Z0CA=20o,

ZA0C=180°-2X20°=140°,

：.ZP=70°,

VZABC+ZP=180°,

.,.ZABC=110°,

故选：B.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)、(5,4)、

(1,-2),则aABC外接圆的圆心坐标是()

A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)

解：如图：

9

根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点a即为圆心，且坐标

是（3,1）.

故选D.

5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）

A.三边的垂直平分线的交点

B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点

D.三条中线的交点

解：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段

两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个

顶点的距离相等.

故选：A

6.下列语句中正确的是（）

A.直径是弦，弦是直径.

B.相等的圆心角所对的弦相等

C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

D.三点确定一个圆

解：A、直径是圆中特殊的弦，它经过圆心，但弦不一定是直径，故本选项不符

合题意；

B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项

不符合题意；

C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；

D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意.

故选：C.

7.直角三角形两直角边长分别为正和1,那么它的外接圆的直径是（）

10

A.1B.2C.3D.4

解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=｛（晶）2+/=2,

,它的外接圆的直径是2,

故选：B.

8.已知等边三角形的外接圆半径为2,则该等边三角形的边长是（）

A.2B.4C.V3D.273

解：如图所示：是等边△/a'的外接圆，0B=2,

：.40BD=3G,

过点。作皿BC于点、D,则BD=LBC,OD=^OB=\,

22

在Rt△物中，

物=UOB2-OD2=«，

：.BC=2BD=243,

故选：D.

9.如图，AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圆。0的直径，且AC=5,DC=3,

AB=4夜

,则。0的直径AE=（）

A.572B.5C.472D.3及

解：如图:

11

A

连接BE,则NBEA=NACB,且三角形ABE是直角三角形.

在RtAACD中，AC=5,DC=3,

则AD=4AC1-DC2=752-32=4

sinZBEA=sinZACB=—=-

AC5

故。0的直径AE=AB5夜

sinDBEA

故选A.

10.下列说法正确的是()

A.任意三点可以确定一个圆

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧

C.相等圆周角所对的弧也相等

D.等弧所对的圆周角相等

解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误；

B、平分弦的直径，垂直于弦并且平分弦所对的弧，此弦不能是直径，故本选项

说法错误；

C、在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误；

D、等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确.

故选:D.

11.如图，^ABC中，NA、NB、NC所对的三边分别记为a,b,c,0是4ABC

的外心，OD±BC,OE±AC,OF±AB,则OD：OE：0F=()

12

A.a：b：cB.—:—C.cosA：cosB：cosCD.sinA：

ahc

sinB：sinC

解：设三角形的外接圆的半径是R.

连接OB,OC.

•；0是AABC的外心，且ODLBC.

/.ZB0D=ZC0D=ZA

在直角△OBD中，0D=0B・cosNB0D=R・cosA.

同理，OE=R・cosB,0F=R,cosC.

/.OD：OE：0F=cosA：cosB：cosC.

故选C.

12.如图，Z^ABC是。。的内接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,AD是直径，AD

=8,则AC的长为（）

C.D.2T

解：连接CD,

VAB=BC,ZBAC=30°,

AZACB=ZBAC=30°,

.*.ZB=180°-30°-30°=120°,

.,.ZD=180°-ZB=60°,

VAD是直径,

13

ZACD=90°,

VZCAD=30°,AD=8,

.-.CD=1AD=4,

2

*'-AC=VAD2-CD2=V82-42=46

故选：B.

二.填空题

13.如图，点A,B,C均在6X6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接

圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为5.

解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为0,

与

,0

\/

D*乂G

EF**

以。为圆心、0A为半径作圆，则。0即为过A,B,C三点的外接圆，

由图可知，。。还经过点D、E、F、G、H这5个格点，

故答案为：5.

14.平面直角坐标系内的三个点A(1,0)、B(0,-3)、C(2,-3)确

定一个圆(填“能”或“不能”).

解：VB(0,-3)、C(2,-3),

，BC〃x轴,

而点A(1,0)在x轴上，

14

...点A、B、C不共线,

三个点A(1,0)、B(0,-3)、C(2,-3)能确定一个圆.

故答案为：能.

15.如图，是。。的内接三角形，NC=45°,AB=6,则。。的半径为3

V2_.

VZACB=45°,

:./AOB=2/ACB=g。。,

'：OA=OB,

仍是等腰直角三角形，

：.OA=OB=J^AB=3r,

即。。的半径是3我，

故答案为：3&.

16.在坐标系中，以。为圆心，5为半径的。。与点尸(-4,4)的位置关系是:

点P在。。外(填“内”、"上”或“外”).

解::点尸(-4,4),

•••。-日1=4加,

.••0尸大于圆的半径5,

...点尸在。。外，

15

故答案为：外.

17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图，在RtaABC和

ACD中，NACB=NACD=90°,点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3,那么△

ARtAABC和RtAACD分别是AB,AD的中点，

两三角形的外心距为AABD的中位线，即为gBD=3.

故答案为：3.

18.在Rt△力回中，Z(7=90°,AC=5,BC=3,则其外接圆的直径为

V34_.

解:在Rt△力比'中,

•.•//%=90°,AC=5,BC=3,

AB=VAC*2+BC2=VS2+32=飒'

•••直角三角形的外心为斜边中点，

，Rt△力优的外接圆的直径为技.

故答案为：V34-

三.解答题

19.小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意

两点R(x”y,),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：

22;

P1P2=^(x2-x1)+(y2-y1)他还证明了线段PR的中点P(x,y)的坐标公

式是：x=3y=U

22

启发应用

请利用上面的信息，解答下面的问题：

16

如图，在平面直角坐标系中，已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),。11经

过原点0及点A、B.

(1)求。M的半径及圆心M的坐标；

(2)判断点C与。M的位置关系，并说明理由.

解：⑴VZA0B=90°,

...AB是。M的直径，

VA(8,0),B(0,6),

AB=V(O-8)2+(6-O)2=1°，

.•.(DM的半径为5,

由线段中点坐标公式x=2B,y=*22,得x=4,y=3,

22

AM(4,3),

(2)点C在。M上，

理由：VC(1,7),M(4,3),

CM=V(l-4)2+(7-3)2=5'

.,.点C在。M上.

20.已知：如图，BD、CE是AABC的高，M为BC的中点试说明点B.C.D.E

在以点M为圆心的同一个圆上.

证明：连接ME、MD,

17

•；BD、CE分别是AABC的高，M为BC的中点,

，ME=MD=MC=MB=工BC,

2

...点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上.

21.“不在同一直线上的三点确定一个圆”.请你判断平面直角坐标系内的三

个点A(2,3),B(-3,-7),C(5,11)是否可以确定一个圆.

解：设经过A,B两点的直线解析式为y=kx+b,

由A(2,3),B(-3,-7),

得(2k+b=3,

1-3k+b=_7

解得，k=2.

lb=-l

.•.经过A,B两点的直线解析式为y=2x-1；

当x=5时y=2x-1=2X5-1=9^11,

所以点C(5,11)不在直线AB上，

即A,B,C三点不在同一直线上，

因为“两点确定一条直线”，

所以A,B,C三点可以确定一个圆.

22.如图，在AABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圆，AE_LAB交BC于点D,交

3

。0于点E,F在DA的延长线上，且AF=AD.若AF=3,tanZABD=-,求。0的直

解：如图，连接BE.

18

VAF=AD,AB_LEF,

ABF=BD.是直径

VAB=AC,

/.ZFBA=ZABC=ZC=ZE.

*.*tanZABD=—,

4

3

tanE=tanZFBA=—.

4

在Rt^ABF中，ZBAF=90°.

Af3

VtanZFBA=——=-，AF=3,

AB4

AAB=4.

VZBAE=90°,

ABE是。0的直径.

3

VtanE=tanZFBA=—，AB=4,

4

...设AB=3x,AE=4x,

；.BE=5x,

V3x=4,

20

/.BE=5x=——，

3

即。0的直径是2手0.

23.如图1,。。是AABC的外接圆，连接A0,若/BAC+N0AB=90°.

19

(1)求证：AB=BC

(2)如图2,作CD_LAB交于D,AO的延长线交CD于E,若A0=3,AE=4,求

线段AC的长.

(1)证明：连B0并延长B0交AC于T.

VA0=B0,

AZ0AB=Z0BA,

又•；NBAC+N0AB=90°,

.,.ZBAC+Z0BA=90°,

.,.ZBTA=90°,

/.BT±AC,

AB=BC.

(2)延长AO并交。。于F,连接CF.

VCD1AB于D,

.,.ZCDA=90°,

/.Z0AB+ZAED=90°,

VZ0AB+ZBAC=90°,

/.ZAED=ZBAC=ZFEC,

lAF为。0直径,

.,.ZACF=90°,

同理：ZFCE=ZBAC,

...ZFEC=ZFCE,

/.FE=FC,

VA0=3,AE=4,

.,.OE=1,FE=FC=2,

20

在RtAFCA中

.,.AC=47=4我

B

24.如图，△4阿内接于。0,4?是。。的直径，。是俞中点，弦见48于点，,

连结分别交四、8c于点只Q,连结物.

(1)求证：尸是线段/0的中点；

(2)若。。的半径为5,〃是它的中点，求弦位的长.

(1)证明：•••血/8,48是直径，

・・AC=AE，

又••,前=而

：.ZCAD=ZACE,

：.AP=CP,

•.36是。。的直径，

，ZACB=90°,

：.^ACE+ZBCP=^°,ZC4ZXZ(7e4=90°,

：.ABCP=ACQA,

：.CP=PQ,

：.AP=PQ,

21

即P是线段40的中点；

（2）VAC=CD=DB>是直径，

：.ZACB=^O°,ZABC=30°,

又：46=5X2=10,

：,AC=5,BC=5«,

：.CH=^BC=^^,