2020-2021学年江阴高级中学高一下学期3月学情检测数学试题（解析版）

2020-2021学年江苏省无锡市江阴高级中学高一下学期3月

学情检测数学试题

一、单选题

1.如图所示，下列四个几何体：

【答案】B

【解析】根据棱柱的定义直接判断出结果.

【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形

的公共边都互相平行.

由此可知②中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，

故选：B.

【点睛】本题考查棱柱的定义，主要考查学生对棱柱概念的理解，难度容易.

2.已知G、5是平面向量，下列命题正确的是（）

A.若一|=出|=1,则B.若修|＜出|,则

C.若4+5=。，则万//5D.零向量与任何非零向量都不共线

【答案】C

【分析】A,根据向量的定义判断；B.向量不能比较大小判断；C,若@+万=。，则5=v，

由共线向量定理判断；D,由零向量与任一向量共线判断.

【详解】对于A,向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；

对于B.向量不能比较大小，选项B错误；

对于C,若万+5=6，则5=-1，:.F//a＞选项C正确；

对于D,零向量与任一向量共线，选项D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基

础题.

-5/

3.在复平面内，复数z=/(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为()

3-4/

A.(3,4)B.(-1,3)。修-()口.3£-|)

【答案】D

【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.

5i_5;（3+4/）3;-443.

【详解】因为三=-------=-----h-Z所以Z=_《T,

3-4z-（3-4z）（3+4z）555

所以复数Z所对应的点的坐标为

故选:D

4.在△ABC中，若（〃+c）（a—c）=bS—c）,则A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根据余弦定理，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.

【详解】因为3+c)(〃-c)=A(b—c),所以X+c2—〃2=儿，所以cosA=〃二

2bc2

因为A三角形的内角，所以A=60。.

故选：B

rrr

5.已知向量1=(1,2),3=(3,0),若卜a-b)_La,则实数2=()

3

A.0B.-C.1D.3

5

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得久的值.

【详解】因为向量2=(1,2),6=(3,0),且卜4-h：，

所以凶』)』=0,即从一出=0，

3

所以有54—3=0,解得彳=),

故选：B.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：

(1)根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；

(2)根据向量数量积运算法则进行化简；

(3)利用向量数量积坐标公式求得结果.

6.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是在。点测得塔顶

4

•yrTT

A的仰角是看，水平面上的48=彳，CD=40m,则电视塔AB的高度为（）m

A.20B.30C.40D.50

【答案】A

【解析】设电视塔高为力，表示出BD,BC后由余弦定理列式可求得〃.

,、+痴»、-n.4n1=一~—=hBD=，一--=也〃

【详解】设AB=h，则间,n.7T,

tan—tan—

46

在ABCD中，ZBCD=-,CD=40m,

3

则BD2=CB-+CD'-2CB-DeosNBCD,

ap3h2=h2+402-2/JX40Xcos-=h2+402-80/Jx-,解得人=20（4舍去）.

32

故选：A.

【点睛】本题考查解三角形的应用，根据已知条件选择恰当的公式求解是解题关键.

7.已知正方形A8CO的内切圆的半径为1,点M是圆上的一动点，则凉.话的取值

范围是（）

A.[-1,0]B.[-1,3]C.[0,3]D.[-1,4]

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系：设历（cos，,sin6）,利用坐标表示丽.诙，再利用三

角函数的性质求解.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系:

贝IJ设M(cosasine),

则MA=(-l-cos^,-l-sin^),MB=(1-cos^,-l-sin^)

所以MA-MB=(-1-cos^)(1-cos^)+(-1-sin^)(-1-sin0),

=cos26?-1+1+2sin+sin20

=-2sin9+l

因为OGR,

所以-1Vsin64l,

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键是建立恰当的坐标系，设M(cosasinO),由数量积坐

标运算转化丽晨而不.

8.已知A45C为等边三角形，AB=2,AABC所在平面内的点尸满足口户-A月-前=1=1,

|福|的最小值为()

A.5/3—1B.2>/2—1C.2.y/3—1D.>/7—1

【答案】C

【解析】计算出I而+抚I的值，利用向量模的三角不等式可求得I而I的最小值.

【详解】v|A5+AC|2=AB2+AC2+2AB-AC=|AB|2+|AC|2+2|AB|.|AC|cosy=12,

所以，J通+k|=26,

由平面向量模的三角不等式可得

|AP|=|（AP-AB-AC）+（AB+AC）|>||AP-AB-AC|-|AB+XC||=2^-I.

当且仅当丽-而-而与通+/方向相反时，等号成立.

因此，网的最小值为26-1.

故选：C.

【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：

MH4I#±4第+屏

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

B.五棱锥只有五条棱

C.一个棱柱至少有五个面

D.棱台的各侧棱延长后交于一点

【答案】CD

【解析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义和结构特征即可判断.

【详解】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；

五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共10条棱，B错误；

一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；

棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.

故选：CD.

10.在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重

力均为G，两个拉力分别为耳耳，若忻卜园,M与E的夹角为凡则以下结论正确的

是（）

A.园的最小值为:恂B.。的范围为［0,兀］

C.当6=5时，园=立|6|D.当"券时，同=|引

223

【答案】ACD

【分析】根据同=|间,M与E的夹角为。，结合受力分析图象，逐一检验答案，得出选

项.

【详解】根据受力分析，如图所示：

对于A,当行李包处于平衡状态时，忻卜恒卜;同，正确；

对于B,当。="时，没有向上的分力，错误；

对于C,当。4时，闻正确；

对于D,当。=暂时，园=|©|,正确；

故选：ACD

11.锐角A43C中，三个内角分别是A、B、C,且A>8,则下列说法正确的是（）

A.sinA>sinBB.cosA<cosBC.sinA>cosBD.sinB<cosC

【答案】ABC

【分析】利用正弦函数、余弦函数在（0,上的单调性，结合诱导公式判断可得出结论.

TT

【详解】对于AB选项，由已知可知0<8<A<+，

正弦函数丫=$皿彳在（0,5上单调递增，故sinA>sin8,A对.

余弦函数y=cosx在（0,5）上单调递减，故cosAvcosB,B对；

对于C选项，由已知可得A+B〉],则所以，o<^-S<A<p

正弦函数丫=$出彳在（0,^）上单调递增，则sinA>sin[5-B）=cos8,C对；

对于D选项，取4=与，8=1，C=二,贝lJsin8=@>«^=cosC,D错.

123422

故选：ABC.

12.如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴，£晟分别是与苍丁轴

正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。仿射坐标系，若加=》3+理,则

把有序数对(x,y)叫做向量两的仿射坐标，记为两=(x,y),在6=7的仿射坐标系

中，L=(l,2),1=(2,-1)则下列结论中，正确的是().

A.a-^=(-l,3)B.同=6

C.a±bD.£在让的投影向量为总

【答案】ABD

【分析】利用运算可得[-万的仿射坐标，知A正确；

根据问=”,+2寸，利用平面向量数量积的运算律可求得B正确；

由4名=卜+2e-,y(2et-^2)=--|,知C错误；

ab

利用W可求得々在B上的投影数量，由投影向量定义计算可得D正确.

【详解】对于A,•/a=e}+2e2,h=2ei-e2,：.a—b=-e}4-3e2,即。一行二(一1,3),A

正确；

对于B,忖=1+26|=J(q+2々)=J1+4cos1+4=6，B正确；

又寸于C,•/Q♦Z?=(G+2eJ•(2q—5)=2,i1+3q,e,—-3cosw0,

.•二与坂不垂直，C错误；

对于D,・.・忖=[2可=,(2._卜、=^5-4cos-^=V7,

__3

.•二在石上的投影数量为詈=二2=-各且，

问7714

,35/7b3r3—3—，33、

.5在囚上的投影向量为-==一，4+174=[-亍，瓦]D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义运算的问题，解题关键是能够利用

表示所求内容，根据平面向量的加减、数乘以及数量积运算等知识来进行求解.

三、填空题

13.已知〃为实数，若复数Z=（a2—3a—4）+（“-4）,•为纯虚数，则复数。一切•在复平面

内对应的点位于第象限.

【答案】二

【分析】由纯虚数的定义，求出"=一1,即可求出结果.

【详解】若复数z=（〃2—3“-4）+3—4）i是纯虚数，

2

rllfa-3a-4=0

则IAN-'-a=-1,

［。一4.0

则复数“一ai=-l+i对应的点的坐标为（一1,1）,位于第二象限.

故答案为：二

14.平行四边形ABCD^,M为CQ的中点，点N满足BN=2NC，若AB=AAM+“AN•，则

工+〃的值为.

【答案】|

__1—.2—-

【解析】根据M为8的中点，点N满足BN=2近，得到DM=-DC,BN=再由

AB=AAM+/./AN整理得（1-•^-“48=（2+与）疝,由平面向量基本定理得：

；，解出2、〃，即可得到义+〃的值.

2+型=0

3

【详解】解：因为〃为C。的中点，点N满足丽=2近，

所以的、反，丽=§前，

又因为而=2而+〃而

所以A*=为(A/5+»〃)+〃(A月+BN)

旗=《而+:反）+〃（而+|而）

AB=AAD+^DC+juAB+^-BC@

又因为在平行四边形中通=反，而=心,

所以①整理得•:Aij=2A/»+(AZj+〃AZj+#A/i

即:(1-Q啊=0+与啊,

又因为通、而不共线，由平面向量基本定理得:

1---//=0A=-1

■；，解得：3,

2+2=0〃=5

3i4

所以；l+〃=g.

故答案为：y

【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理的应用,属于基础题.

15.在三角形A8C中，角A,8,C的对边分别为a,4c,A=30°,C=45°,c=3,点户是

平面ABC内的一个动点，若N8PC=60°,则AP5C面积的最大值是.

【答案】妪

8

【分析】由已知利用正弦定理计算得a,再在三角形P8C中用余弦定理结合不等式求出

BP与PC乘积的最大值，代入面积即可求解.

【详解】：A=30°,C=451c=3,

c-sinA_3*2_3夜

由正弦定理.八可得:

sinAsinCsinCy/22

~T

又4BPC=6G,

・••在三角形P8C中，令PB=m,令PC=n,

22^1

由余弦定理可得cos/BPC=m+n'~2=-，

2mn

:./n24-/72--=mn>2mn--,（当且仅当m=n=土色时等号成立）

222

mn<—,；・S=—mnsinNBPC=

228

故答案为外叵.

8

【点睛】本题主要考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式,

属于中档题.

16.在AABC中，=点Q满足瓶=|而，且对任意xeR,卜前"+而卜卜》-西

恒成立，则cosNA6C=.

【答案】勺叵

26

【解析】根据题意，设AD=2f,则AC=3f,由向量模的定义以及向量减法的几何意义

■JT

分析可得5。，AC,即NA£>B=5,进而可得A8、3c的值，结合余弦定理计算可得

答案.

—.?—•

【详解】根据题意，在AABC中，点。满足AD=§4C.

设A£>=2f,则AC=3f.

,-AD-AB=BD

对任意xeR,卜配+同目标-同恒成立，必有BZ〃AC,BRZADB=y,如图

所示.

VZA=-

3

/.AB=2AD^4t,BD=^AD=26

BC=dBD2+DC。=倔•

6+叱-心5713

cos/ABC=

2义ABxBC26

故答案为：巫

26

【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应

用，属于综合题.

四、解答题

17.已知向量4=(3,2),5=(-1,2),c=(4,1)

(1)^c=ma+nh,求相，〃的值；

(2)若向量2满足(一々)//(1+5)，\d-c\=2y/5,求2的坐标.

9

m=一

【答案】(1)5；(2)1=(2,3)或一二(6,5).

n=——

8

【分析】(1)利用向量线性坐标运算即可求解.

(2)根据向量共线的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程组即可求解.

【详解】解：(1)^c=ma+nh»则(4,1)=m(3,2)+n(-1,2)

9

=­

4=3m-n8

即所以

1=2m+2n5

n=——

8

(2)设)=(x,y)，则2-e=(x-4,y-1),a+b-(2,4)

(d-c)//(a+b),\d-c\=2y[5

'2(y-l)=4(x-4)

"4)2+(yT『=2逐

…或x=6

解得

,y=-3)=5

所以2=(2,-3)或2=(6,5)

18.已知复数z满足2（1+。=〃?-«其中［是虚数单位）.

（1）在复平面内，若复数z的共轨复数对应的点在直线x+y-7=0上，求实数m的值;

（2）若求实数机的取值范围.

【答案】(1)w=7；(2)[-1,U.

【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轨复数的概念求

得Z,由题意列关于加的方程求解;

（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于加的不等式得答案.

m-im-\m+\.

【详解】解：（1）由z（l+i）=M-i,得z=------

1+i(1+0(1-022

_m-\HZ+1.

z=---+---1

22

由题意,等+券-7=。，解得吁7；

⑵由得J(1)2+(—)2,,i,

解得:-掇物1.

,实数加的取值范围［T,II.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考

查复数模的求法，是基础题.

19.如图，在AABC中，AB=3,ZABC=60°,DE分别在边A3,AC上，且满足

鲁=詈=2,F为BC中点.

c

(1)^DE=AAB+^AC,求实数的值；

______3

(2)若A尸・。七=5，求边3c的长.

21

【答案】(1)"=一3，〃=§(2)6

【分析】(1)先由冬=管=2,确定向量而与而，衣与衣之间的关系，用福与前

DBEA

表示出诙，由对应系数相等，即可求出结果；

(2)用向量死，丽表示出向量衣和方g,再由向量数量积运算求解即可.

【详解】解：(1)因为二===2,所以AD=rA3,AE=；AC,

DBEA33

_____1__?—21

所以OE=AE_A°=]AC_§4B,所以几=—§,〃=§,

(2)因为通=/_丽」及-丽，

2

DE=-AC--AB=-(BC-BA+-BA=-BC-BA,

333、733+3

所以犷诙二(；阮—明).(；元+g丽卜、型2T交.丽丽2,

设BC=a,因为A8=3,ZA3C=60。，

^\^7LF-DE=-cT--a-?),又因为而•发=3,

642

11

所以，2_9_3=[,

642

化简得2a2一3“-54=0,

解得。=6(负值舍去)，所以8c的长为6.

【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即

可求解，难度不大.

20.在A4?C中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,A=B+3C.

(1)求sinC的取值范围；

(2)若c=66,求sinC的值.

【答案】(1)0,彳；(2)sinC=-.

k/

0<A<7U

TTrr

【分析】(1)利用三角形的内角和性质可得8=7-2。，A=-+C,由0<3<万，可

22

0<C<71

得0<C<£,从而可得sine的取值范围.

4

TT

(2)利用正弦定理的边角互化可得sinC=6sin8,由(1)可得8=,-2C,代入上式

即可求解.

【详解】(1)由A=B+3C及A+8+C=万，得23+4。=/,

所以8柠一2C,所以A=%

71

0＜一+C＜肛

0＜A＜乃2

71

由«0＜8＜乃得0＜——2C＜肛

2

Q＜C＜7T

0＜。＜肛

得0<C<9,故sinC的取值范围为0，+.

(2)若c=6〃，由正弦定理有sinC=6sin-①

由(1)知B=^|-2C,则sin8=sin(g-2c)=cos2c.②

由①②得-sinC=cos2C=l-2sin2C,

6

所以12sin2C+sinC-6=0,

23

解得3口。=；或5抽。二—二，

34

又sinCw0,学,所以sinC=Q.

21.在平面直角坐标系中，已知点A(l,0)和点3(—1,0),I反1=1,且NAOC=JG其

中。为坐标原点.

3UL1UUUU1

(1)若工=:万，设点。为线段0A上的动点，求IOC+ODI的最小值；

4

71

(2)若0,—,向量正=及，n=(1—cosx,sinx—2cosx),求汨工的最小值及对

应的x值.

【答案】(1)也；(2)加二的最小值为1-0,此时x=g.

28

【分析】（1）先求出说+历的坐标，利用模的定义和二次函数求最值即可;

（2）把肩.石用坐标表示出来，利用三角函数求最值即可.

%易知c（一冬冬_____.(72⑸

【详解】（1）设。a,o）（ow«i）,由》=AOC+OD=

\22/

,(02),

.•.当时，I无+而I最小，为与.

(2)由题意得C(cosx,m=BC=(cosx+\,sinx),

兀

贝IIm»n=l-cos2x+sin2x—2sinxcosx=1—coslx—sin2x=\一母sin(2x+—).

0,—,—<2x+—,，当2x+：=彳，即x="时，s%(2x+：)取最大

.2J4444284

值1,

••〃?•〃的最小值为1一及，此时x=—.

o

【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单.

22.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3

月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东

烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火,

和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮

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R处有一个路灯，经测量点R到区域边界抬、PB的距离分别为RS=4m,RT=6m