2020-2021学年华东师大版初中数学全部知识点大全

七年级上

第二章有理数

I比较切

1.相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。

2.正数和负数

1

像+一，+12,1.3,258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。

2

3

像-5,-2.8,-一等在正数前面加“一”（读负）的数叫负数。

4

【注】0既不是正数也不是负数。

3.有理数

（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类

1）按有理数的定义分类2）按正负分类

厂f正整数‘正整数

整数《0

正有理数T

有理数乂〔负整数

有理数、正分数

二负整数

正分数0

负有理数T

K负分数一负分数

1

4.数轴

(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

【注】1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。

2)数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.

(2)在数轴上比较有理数的大小

1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2)由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。

5.相反数

(1)只有符号不同的两个数称互为相反数，如一5与5互为相反数。

(2)从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。(几何意义)

(3)0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。

(4)相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

(5)数a的相反数是一a。

(6)多重符号化简

多重符号化简的结果是由“一”号的个数决定的。如果“一”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为

正。可简写为“奇负偶正

6.绝对值

(1)在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

(2)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.

a,a>0

|a|-<0,a=0

-a,a<0

(3)绝对值的主要性质

一个数的绝对值是一个非负数，即a>0,因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零.

(4)两个相反数的绝对值相等.

(5)运用绝对值比较有理数的大小

两个负数，绝对值大的反而小.

(6)比较两个负数的方法步骤是：

1)先分别求出两个负数的绝对值;

2

2)比较这两个绝对值的大小；

3)根据“两个负数，绝对值大的反而小'’作出正确的判断.

7.有理数的加法

(1)有理数加法法则

1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3)互为相反数的两个数相加得零。

4)一个数与0相加，仍得这个数。

(2)有理数加法的运算律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

8.有理数的减法

减去一个数等于加上这个数的相反数。

a-b=a+(-b)

9.有理数的加减混合运算

(1)省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+(+10)

+(-6)+(-4)写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8,正10,负6,负4的和”也可读作“负8加10

减6减4。

(2)适当的应用加法运算律。

10.有理数的乘法

(1)有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。

(2)几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个

数为偶数时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

(3)乘法运算律

乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac

11.有理数的除法

(1)倒数：乘积为1的两个数互为倒数。【注】0没有倒数。

(2)有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

3

【注】0不能做除数。

a+b=a」(b*0)

b

12.有理数的乘方

(1)求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

a'a'a......a=an

n个

(2)乘方的结果叫做幕，a叫做底数，n叫做指数。

(3)有理数乘方法则：

正数的任何次基都是正数，负数的奇次基是负数，负数的偶次基是正数，0的任何非0次暴都是零。

13.科学记数法

(1)一般的，10的n次幕，在1的后面有n的0。

(2)一个大于0的数就记成axlO"的形式。其中1<10,n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

(3)用科学记数法表示一个数时，10的指数等于原数的整数位数减k(或等于小数点向右移动的位数。

4

第三章整式的加减

1.用字母表示数

3.单项式

(1)如100t、6a、2.5x、vt、-n,它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个

字母也是单项式。

(2)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

(3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

【注】1)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。

2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。

4.多项式

(1)几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

(2)多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

2

(3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x+2x+18是一个二次三项式。

【注】1)多项式的次数不是所有项的次数和。

2)多项式的每一项都包括它前面的正负号。

5

6.升基排列与降基排列

为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。若

按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降基排列。

若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升累排列。

(3)角的分类

锐角0°v/a<9(T

直角Za=90°

钝角90°<Za<180°

平角Za=180°

周角Za=360"

(5)角的度量

1周角=360°1平角=180°1°=601=60”。

第五章相交线和平行线

直线1截直线a、b得到八个角。

—

b^5/

7

同位角：如/I与/5,N2与N6,N3与N7,/4与/8。

内错角：如N5与23,N6与N4。

同旁内角：如N3与N6,24与N5。

(4)平行线的判定

同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行

6

(5)平行线的性质

两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补

七年级下

第六章一元一次方程

1.解一元一次方程

(2)移项将方程的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。

(3)一元一次方程：一个未知数，是整式，未知数的次数是1

(4)解一元一次方程的一般过程

去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1

第七章一次方程组

(1)代入消元法

代入消元，即将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

解这个一元一次方程，求出未知数的值。

回代求解，即将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。

{x-a

把求得的未知数的值联立写成\,的形式。

।y=b

(2)加减消元法

[x-a

把求得的未知数的值联立写成\,的形式。

[y=b

7

第八章兀次不等式

1.不等式

用不等号或表示不等关系的式子，叫做不等式。

【注】常见的不等号有：“4"、五种。

2.不等式的解

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

【注】不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，大于向右，小于向左，有等号画实心圆，无等号画空心圆。

x>ax<a

4.不等式的基本性质

性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c»

性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。

性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc。

5.一元一次不等式

一个未知数，是整式，未知数的次数是1

6.一元一次不等式的解法

乘以或除以的数是负数，不等号需要改变方向。

7.一元一次不等式组把两个一元一次不等式和在一起，就得到了一元一次不等式组。解

集的确定方法

口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见。

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第九章多边形

三角形的分类

(1)按内角的大小分类

‘直角三角形

三角形T

、斜三角町锐角三角形

［钝角三角形

(2)按边分类

‘不等边三角形

三角形一

、等腰三角形r等边三角形(正三角形)

［底和腰不相等的等腰三角形

3.三角形的三种重要线段

(1)三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)三角形的中线

在三角形里，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

4.三角形内外角关系

(1)三角形的内角和是180°

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

(5)三角形的外角和是360°。

5.三角形的三边关系

(1)三角形的任意两边之和大于第三边。

(2)三角形的任意两边之差小于第三边。

6.多边形

(1)一般的，在一个平面内，有n条不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做n边形，又称为多边

形。

〃(〃一3)

(2)从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)对角线。所有对角线的数量是一-

2

(4)n边形的内角和是(〃一2>180°。

(5)任意多边形的外角和是360°。

9

7.用正多边形拼地板

（2）铺满平面的条件

当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形。用相同

的正多边形进行镶嵌时，可以实现镶嵌的正多边形有正方形、正三角形、正六边形。

第十章轴对称平移与旋转

1.轴对称图形

如果一个图形沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，我们称这样的图形为轴对称图形，这条直线

叫做这个图形的对称轴。

【注】一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条。

2.轴对称

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直

线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

3.轴对称的性质

（1）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）沿对称轴折叠后两部分是完全重合的，所以它的对应线段

相等，对应角相等。

（2）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（3）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（4）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。

4.简单的轴对称图形一一线段和角

（1）垂直平分线：把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。垂直平分线又称为中垂线。

（2）垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（3）线段的对称轴是本身所在的直线和它的垂直平分线。

（4）角的对称轴是它的角平分线所在的直线。

（5）角平分线上的点到角两边的距离相等。

5.画轴对称图形

（1）画某点关于某条直线的对称点的方法

1）过已知点作已知直线的垂线，标出垂足。

2）在这条直线的另一侧从垂足出发截取与已知点到垂足距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对

称点。

（2）画已知图形关于某直线的对称图形

1）画出图形的特殊点的对称点

2）连结对称点，即可。

6.等腰三角形

（1）两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和

底边的夹角叫做底角。

（2）等腰三角形的性质

1）等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线，底边的高线，底边的中线所在的直线是对称轴。

2）等腰三角形两底角相等。（等边对等角）。

3）等腰三角形的顶角的平分线，底边的高线，底边的中线重合。（三线和一）。

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7.等边三角形

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形。(正三角形)。

(2)等边三角形的性质

1)等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。

2)等边三角形是特殊的等腰三角形，有三条对称轴。

(3)等边三角形的判定

1)三条边都相等的三角形是等边三角形。

2)三个角都相等的三角形是等边三角形。

3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

1.平移：图形的平行移动，简称为平移。它由移动的方向和距离所决定。

如下图：把点A与点A'叫做对应点，把线段AB与线段A'B'叫做对应线段，NA与NA'叫做对应角。4ABC

平移的方向就是由点B到点B'的方向，平移的距离就是线段86'的长度。

2.平移的特征

(1)平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

【注】在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上。

(2)平移后对应点所连的线段平行并且相等。

【注】在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上。

3.旋转平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某一个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度，这样的图

形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角。显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的

旋转由旋转中心、旋转的角度、旋转的方向所决定。

4.旋转的特征

(1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度。

(2)对应点到旋转中心距离相等。对应线段相等，对应角相等。

(3)图形的形状与大小都没有发生变化。

5.旋转对称图形

如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫

做旋转对称图形的旋转中心。

6.中心对称

(1)在平面内，一个图形绕着中心点旋转180°后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形.这个中心

点叫做对称中心。

【注】中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形。

(2)把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称。，这

个点叫做对称中心，这两个图形的对应点，叫做关于中心的对称点。

7.中心对称的特征

(1)在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。反过来，如果两

个图形的所有对称点连成的的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对

11

称。

(2)在成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。

8.图形的全等

(1)能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

(2)一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过

上述变换后一定能够互相重合。

(3)全等多边形经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点。相互重合的边叫做对应边。相互重合的角叫

做对应角。

(4)符号“三”表示全等，读作“全等于”

(5)全等多边形的性质

全等多边形的对应边相等，对应角相等。

(6)判断全等多边形全等的方法

边、角分别对应相等的两个多边形全等。

(7)全等三角形对应边相等，对应角相等。

(8)如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

第十一章体验不确定现象

1.可能还是确定

(1)必然事件无需通过实验就能够预先确定他们在每一次试验中都一定发生的事件。发生的机会100%。

不可能事件在每一次实验中都一定不会发生的事件。发生的机会是0

确定事件指必然事件和不可能事件。

不确定事件(随机事件)无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件。发生的机会在0到100%之间。

(2)区别“很有可能发生与必然发生”、“不大可能发生与不可能发生”。

2.游戏的公平性

公平的游戏是指对游戏双方来说，参与游戏的成功的机会都相等，游戏是公平的，否则是不公平。

3.在反复实验中观察不确定现象

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(1)不确定事件发生的可能性有大有小，我们就用平稳时的频率估计这一随机事件在每一次实验时发生机会的

大小。

(2)通过实验方法用稳定时的频率估计机会的大小，必须要求实验在相同条件下进行，并且，在相同条件下，

实验次数越多，就越有可能得到较好的估计值。

八年级上

第十一章数的开方

1.平方根

(1)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。

(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

其中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数,

即-因此，正数a的平方根可以记作土右。a称为被开方数。

0的平方根只有一个，就是0,记作VO=0o

负数没有平方根。

nNO(aNO)

(3)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根

(1)如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。

(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

(3)数a的立方根，记作3匹，读作“三次根号a"，其中a称为被开方数，3称为根指数。

(4)任何数(正数、负数、0)都有立方根，并且只有一个。

正数有一个正的立方根。

负数有一个负的立方根。

0的立方根是0。

4.无理数无限不循环小数叫做无理数。

5.实数有理数和无理数统称为实数。

6.实数与数轴上的点一一对应。

第十二章整式的乘除

1.塞的运算

2.

幕的运算

<、

乘法除法13乘方

(1)同底数基相乘，底数不变，指数相加。

am-an=am+n(m、n为正整数)

(2)基的乘方

事的乘方，底数不变，指数相乘。

(a'")"(m、n为正整数)

(3)积的乘方

积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘。

(/)"=a"»'(n为正整数)

(4)同底数幕的除法

同底数基相除，底数不变，指数相减。(m、n为正整数，m>n,a/0)

2.整式的乘法

(1)单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的寨分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连

同它的指数一起作为积的一个因式。

(2)单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

(3)多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn

3.乘法公式

(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。

(a+b)(a-b)-a2-b'

(2)完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)这两数积的2倍。

(a+b)2-a2+lab+b~(a-b)2-a2-2ab+b2

4.整式的除法

(1)单项式除以单项式把系数、同底数塞分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它

的指数一起作为商的一个因式。

(2)多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

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5.因式分解

(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

(2)公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式。

(3)提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积，这种

因式分解的方法，叫做提取公因式法。

(4)公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。

(5)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(a、b是常数)

公式特点：1)右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。2)左边

是二次三项式，二次项的系数是1,一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。

第十三章全等三角形

1.命题

判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。

命题可以写成“如果……，那么……”的形式。

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2.定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样

的真命题叫做公理。

3.公理

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为

判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。

4.全等三角形的判定

一般三角形SSSSASASAAAS

直角三角形SSSSASASAAASHL

5.尺规作图

只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。

(1)作一条线段等于已知线段

(2)作一个角等于已知角

(3)作已知角的平分线

(4)经过一已知点(直线上、直线外)作已知直线的垂线

(5)作已经线段的垂直的平分线

6.逆命题

(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆

命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

(2)原命题为真，它的逆命题不一定为真

7.等腰三角形的判定

(1)利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)。

8.(1)直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半

(2在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半。

9.角平分线

到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

10.线段垂直平分线

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

第十四章勾股定理

1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有a2+b2^c2

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

2.常见的勾股数3.4.56.8.105.12.13

第十五章数据的收集与表示

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2.数据的收集

明确调查对象一确定调查对象凝麻调查方法展¥调查记录结果得出结论

3.一频数：表示每个对象出现的次数

4.频率：表示每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)。即频率=频数/数据总数。所有小组的频率之

和等于1

5.频数和频率都能够反映每个对象的频繁程度。

5.数据的表示

(1)扇形统计图：是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形的面积与圆面积的比来表示各组成部分在总

体中所占的百分比的统计图。它可以直观的反映出各部分数量在总量中所占的份额。

(2)条形统计图：是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图。它们可以直观的反映出数据的

数量特征。如果有两个研究对象，常常把两个对象的相应数据并列表示在同一张条形统计图中。

(3)折线统计图：是用折线表示数量变化规律的统计图。它能反映出各部分数据的变化趋势。

(4)统计图表：可以准确的反映出数据的不同特征。

八年级下

第十六章分式

1.分式

A

形如二(A、B是整式，且B中含有字母，8/0)的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分

B

式的分母。

【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。

2.有理式

整式和分式统称为有理式.

3.分式的基本性质

17

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

1.最简分式

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

6.最简公分母

各分母所有因式的最高次幕的积

7.分式的运算

（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约

分进行化简。

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。

（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。

（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

8.分式方程

（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘

的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。

（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。

（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了

方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。

9.零指数基与负整指数基

（1）任何不等于零的数的零次幕都等于1。

【注】0的零次舞没有意义。

（2）任何不等于零的数的-n（n为正整数）次累，等于这个数的n次基的倒数。

〃是正整数）

a

8.利用10的负整指数幕，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成。xl（T〃的形式，其中n是

正整数，1<|a|<10。

第十七章函数及其图像

1.变量与函数

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，

我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。

（3）表示函数关系的方法

1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式

法。

2）列表法

3）图像法

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。

（5）函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑1）在实际问题中，自变

18

量x的取值会受到实际意义的限制。2）使函数的解析式有意义。

2.函数的图像

（1）直角坐标系

1）在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其

中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的

交点0叫做坐标原点。

2）在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足

分别为M和N。这时，点M在x轴上对应的数字是m,称为点P的横坐标；点N在y轴上的坐标为n,称为点

P的纵坐标，得到一对有序实数（m,n）,称为点P的坐标，可记为P（m,n）.

3）在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成1、II、山、IV四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐

标轴上的点不属于任何一个象限。

4）在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。

y4

横坐标纵坐标

I

19

5）不同位置

点的标的特征

X轴0任意实数

第I象限++

第11象限—+

第H1象限——

第IV象限+—

y轴任意实数0

（2）函数的图像

1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标

（x,y）代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。

2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。

3.一次函数

（1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。

一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，kWO。特

别的，当b=0时，一次函数尸kx（常数kHO）,也叫做正比例函数。

（2）一次函数的图像

一次函数丫=1«+6（k、b是常数，kWO）的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b。特别的，正比例函

数丫=1«（k^O）的图像是经过原点（0,0）。

对于直线丫=1«+5（k、b是常数，kRO）,k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。

（3）一次函数的性质

当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。

当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。

当k>0,b>0时,函数经过I、II、III象限。

当k>o,b<o时，函数经过1、in、N象限。

当kvo,b>0时，函数经过I、II、IV象限。

当k<o,b<o时，函数经过n、in、iv象限。

（4）求一次函数的关系式

待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系

数，从而得出所求结果的方法，叫做待定系数法。

4.反比例函数

（I）一般的，形如歹=^伏工0,4是常数）的函数叫做反比例函数。

X

（2）反比例函数的图像时双曲线。

（3）反比例函数的性质

1）当k>0时，函数的图像在第I、in象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x

的增大而减小。

2）当k<0时，函数的图像在第H、IV象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x

的增大而增大。

5.二元一次方程组的图像解法

画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解

方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。

6.一次函数与一元一次不等式

20

使一次函数y=kx+b(kYO)的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集。

第十八章平行四边形

1.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。

平行四边形ABCD可以记作QABCD。

2.平行四边形的性质

(1)平行四边形两组对边分别平行。

(2)平行四边形对边相等，对角相等。

(3)平行四边形对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。

(4)平行线之间的距离处处相等。

【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间

的距离。

3.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

第十九章矩形菱形和正方形

1.矩形

(1)有一个角为直角的平行四边形。

(2)矩形特有的性质

1)矩形的四个角都是直角。

2)矩形的对角线相等且互相平分。

3)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。

2.矩形的判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

3.菱形

(1)有一组邻边相等的平行四边形。

(2)菱形特有的性质

1)菱形的四条边都相等。

2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

3)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。

4.菱形的判定

21

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

5.正方形

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角是直角的菱形是正方形。

(2)正方形的性质

1)四个角都是直角，四条边都相等。

2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

6.正方形的判定

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(2)有一个角是直角的菱形是正方形。

(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

7.梯形

(1)只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯

形。

(2)等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。

1)等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。

2)等腰梯形同一底边上的两个内角相等。

3)等腰梯形的两条对角线相等。

8.等腰梯形的判定

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形。

(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

第二十章数据的整理与初步处理

1.算术平均数--1

X,X,X..X=(X+X+X+---+X)

若一组数据为123”，它们的平均数为X,则X一123.。平均数反映了这组数

n

据中个数据的平均大小或者是集中趋势。

2.加权平均数

一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各指标乘以相应的权重后

所得的平均数就是加权平均数。

_f\X]+fzX2+'"+f>,X„

x~f+f+---+/,(<+，2+…+£=〃)

I2n

3.扇形统计图的制作

(1)先计算出各部分数量占总数量的百分比。

22

(2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角的度数。

(3)按照圆心角度数，在圆中画出各个扇形。

(4)在每个扇形中标出所表示各个部分数量名称和所占的百分比。

5.中位数

把一组数据按由小到大的顺序排列，若有奇数个数时，则处在正中间的数是中位数。若

有偶数个数时，则取中间两个数的平均数是中位数。

中位数也反映的是一组数据的集中趋势。

6.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据值。它也反映的是一组数据的集中趋势。

一组数据中可以不止一个众数，也可以没有众数。

7.极差=最大值一最小值，反映这组数据的变化范围。

8.方差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均。”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫

做方差。

-

表

数

差

的

示

据的

方

表示

组

数据

平

0均数

.X一

1Y/

-Y

S-VX1+X1I—

-一

1+lx

7•4L-

〃一=

9.标准差

九年级上

第二十一章二次根式

1.二次根式

6(。20)表示非负数a的算术平方根，也就是说，20)是一个非负数，它的平方等于a,即有：(1)

-Ja>0(a>0)(2)=a{a>0)

形如E(a>0)的式子叫做二次根式。

,fa(a>0)

二次根式的性质：向=彳,Q

I-a(a<0)

2.二次根式的乘法

两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。

4a•4b-y[ab(a>0,h>0)

23

3.积的算术平方根

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。

Jah=-Ja->0,b>0)

4.二次根式的除法

两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。

逅=F(a>0,Z>>0)

4b\b

2.商的算术平方根

商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二

次根式中不含有分母。

讲亲心0,…)

7.最简二次根式

被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幕的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式。

8.二次根式化简主要包括两方面

(1)如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。

(2)如果被开方数中含有完全平方的因式(或因数)，可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。

9.同类二次根式

像3石与-2百，36、-2〃■与4石这样的几个二次根式，称为同类二次根式。

二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第二十二章一元二次方程

1.一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式："2+bx+c=0(a,b,c是已知数，a00)。其中a,b,c分别叫做二次项的系数，一次项的系数,

常数项。

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法

(2)因式分解法

(3)配方法

(4)公式法X二(h-4ac>0)

i"'"4"V7

2a

3.一元二次方程的判别式，^=b2-4ac

当A〉0时，方程有两个不等的实根。

24

当△=()时，方程有两个相等的实根。

当△<()",方程没书实数根。

x+x=-X=

12—a12—a

第二十三章图形的相似

1.相似图形

把具有相同形状的图形称为相似图形。

2.成比例线段

对于四条线段如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如(a:b=c:d),那

bd

么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。

3.比例的基本性质

(1)如果』=:，那么ad=bco

bd

ac

(2)如果ad=bc,(a,b,c,d都不等于零)，那么_=_。

bd

aca+b_c+d

4.(1)如果=