2019-2021年高考数学（理）真题汇编-13 不等式、推理与证明

专题13不等式、推理与证明

x+l>0

1.【2021・浙江高考真题】若实数x,y满足约束条件卜一y«0,贝l]z=x—

-y的最

2x+3y-l<0

小值是（）

3人11

A.—2B.C.D.—

2210

【答案】B

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为y=2x-2z,求出过可行域点，且斜率为

2的直线在y轴上截距的最大值即可.

x+120

【详解】画出满足约束条件的可行域，

2jc+3y-1<0

如下图所示：

目标函数z=x_]y化为y=2x-2z,

尤=一1

解得彳设4—1,1),

2x+3y-l=0y=i

当直线y=2x—2z过A点时,

13

z=x--y取得最小值为一-.

故选：B.

2.【2020年新高考全国I】已知a>0,b>0,且4+3=1,则

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.>[a+\[b<0

【答案】ABD

【解析】对于A,a2+b2=a2+(\-a)2=2a2-2a+l=2(a-^}

'，[2)22

当且仅当a=b时，等号成立，故A正确；

2

对于B,a-b=2a-l>-l,所以2""〉2T='，故B正确;

2

'a+b,1c

对于C,log,+log=loglog=log24=-2，

a2b2ab<2、亍

当且仅当a=b=，时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为+=1+2旅41+。+匕=2,

所以&+扬4起，当且仅当a=b=g时，等号成立，故D正确；

故选：ABD.

【点评】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调

性，侧重考查数学运算的核心素养.

[x-3y+1<0

3.【2020年高考浙江】若实数x,y满足约束条件'.,则z=x+2y的取值范围是

[x+y-3>0n

A.(F4]B.f4,+oo)

C.L5,-KO)D.y,”)

【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在），轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：\.c八，可得点4的坐标为：A（2』），

据此可知目标函数的最小值为：ZmM=2+2xl=4

且目标函数没有最大值.

故目标函数的取值范围是［4,+8）.

故选：B

【点评】求线性目标函数Z=or+勿（4厚0）的最值，当。＞0时，直线过可行域且在y轴上

截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y

轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

4.【2020年高考全国I卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为

一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

由题意P02=J_a/,,即廿一三='0/,,化简得4（2>—2.2—1=0,

242aa

解得2=匕亚（负值舍去）.

a4

故选：C.

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道

容易题.

5.【2020年高考浙江】设集合5,T,SUN*,TUN*,S,7中至少有2个元素，且S,7满

足：①对于任意的X,ywS,若存y,则外道丁；②对于任意的X,yeT，若了勺，则上wS.

下列命题正确的是

A.若S有4个元素，则SU7有7个元素

B.若S有4个元素，则SU7有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有5个元素

D.若S有3个元素，则SUT有4个元素

【答案】A

【解析】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},则T={2,4,8},此时SUT={L2,4,8},包含4个元素，排除选项

D；

若取S={2,4,8},则7={8,16,32},此时SUT={2,4,8,16,32},包含5个元素，排除

选项C；

若取S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},此时SUT={2,4,8,16,32,64,128},

包含7个元素，排除选项8；

下面来说明选项A的正确性：

设集合5={口，。2，，3，。4}，且Pl<P2Vp3Vp4，Pl，P2，P3，P4CN*,

则P|P2<P2P4，且P|P2,P2P4G7，则&GS,

Pl

同理贲^S,5,&GS,

PIPi

若Pi=l,则p,N2,则上<小，吟=1%即P3=P；，

Pi

又"噜喷”故资=华=。2,所以〃4=H，

故5={1,「2，夕；,<},此时p；eT,P2eT,故矛盾，舍.

运4…久

若Pi22,则-Pi^~-P\即Pi=p；,p?=p；,

P\P\PiP\

又P4>△>%■>区>1,故更£=々=〃],所以“4=〃：，

PiP2P3P3Pl

故s=｛p,Pt，Pi，Pl｝，此时｛p：,Pi，Pi，pf,p：｝£T.

nq

若qeT,则"GS,故"=p；,i=l,2,3,4,故夕=p｝」=12,3,4,

PiPi

即qw{p；,p：,p：,p：,p：},故{P^,pt，P',pf,p；}=7，

此时SuT={〃|,p；,p：,〃:,〃：,户,〃；,〃:}即SUT中有7个元素.

故A正确.

故选：A.

【点评】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然

后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新

定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不

一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

6.[2020年高考全国II卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a。

满足q€{0,l}(i=l,2「.)，且存在正整数机，使得/„,=4"=1,2广.)成立，则称其为0-1周

期序列，并称满足4+„,=4«=1，2,…)的最小正整数由为这个序列的周期.对于周期为机的

1

0-1序列qo,…a〃…，。⑹=—之4%(左=1,2,%-1)是描述其性质的重要指标，下列周

期为5的0-1序列中，满足C(A)4%A;=1,2,3,4)的序列是

A.11010---B.11011---

C.10001---D.11001...

【答案】C

【解析】由4+,“=4知，序列对的周期为办由已知，机=5,

15

C(k)=£E生%,k=1,2,3,4

5/=1

对于选项A,

[5]111

C(l)二一)：4〃川二一+3+。3“4+”405+”5。6)=—(1+。+。+。+。)=———

5,•=]5555

[5]]2

C(2)=--一(4。3+。2。4+。3。5+。4。6+)=-(。+1+。+1+。)=一，不满

5：=]555

足；

对于选项B,

[5]j3

C(l)——〉:=一+。2。3++“4a5+。5。6)=—(1+0+。+1+1)=一,不满

5y_1555

足；

对于选项D,

[51]2

C(l)=—)：44+i=—(q2+出生+。3〃4+%的+a5a6)=—(1+0+0+0+1)=—,不满

5j=]555

足；

故选：C

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以

及数学运算能力，是一道中档题.

7.【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚

脐至足底的长度之比是正二!■（县口汉）.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”

22

便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是避二1.若某

2

人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其

身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】方法一：如下图所示.

依题意可知：

AC_V5-1AB_V5-1

~CD~2'~BC~2

①腿长为105cm得，即CD>105,

AC=CD>64.89,

2

A£>=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以169.89.

②头顶至脖子下端长度为26cm,

即4B<26,

AD

BC=-1=—<42.07,

V5-1

2

AC=AB+BC<6S.O7，

AC

CD=<110.15,

V5-1

2

AC+CZX68.07+110.15=178.22,

所以AO<178.22.

综上，169.89<AD<178.22.

Ar头顶

B-咽喉

DL足底

故选B.

方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则

生=型二=1二1,得%=42.07cm,ya5.15cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端

xy+1052

的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.

【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，

利用转化思想解题.

8.【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次

月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关

键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊

桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地

球质量为月球质量为M?,地月距离为R,4点到月球的距离为「，根据牛顿运动定律

MMMr

和万有引力定律，，满足方科—？+言=必「)言.设"乱,由于0的值很小，

3cc+3a"+CL

因此在近似计算中23a3,则r的近似值为

0+a)2

A尚

B膈R

3M,"

C.3-ZRD.

\陷

3-----K

\3M,

【答案】D

【解析】由a=/,得「=。7?

R

M.M,f、M

因为而r+^二力+^^'

MM,〃

所以+-=(l+a

/?2(l+a)2a2H2

即丝1=«2[(1+«)------~~]=优+3a4+3a3

?«3a3,

(1++)2

M](1+a)

【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意;

易错点之二是复杂式子的变形出错.

9.【2019年高考全国H卷理数】若则

A.ln(a-Z>)>0B.3"<3〃

Cd-加>0D.|a|>|fe|

【答案】C

【解析】取。=2*=1,满足a>。，ln3-0)=0,知A错，排除A；因为9=3“>34=3,

知B错，排除B；取。=1,。=一2,满足1=同<网=2,知D错，排除D,因为哥

函数y=》3是增函数，a>b,所以/>廿，故选C.

【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、基函数性质及绝对值意义，渗透

了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断.

10.【2019年高考北京卷理数】若x,y满足|x|Vl-y,且正-1,则3x+y的最大值为

A.-7B.1

C.5D.7

【答案】C

-1WV

【解析】由题意〈/I，作出可行域如图阴影部分所示.

y-[<x<\-y

设z=3尤+y,y=z-3x,

当直线％：y=z-3x经过点(2,-1)时，z取最大值5.故选C.

【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难

度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.

11.【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗

5E,

星的星等与亮度满足牝-如二；1g寸，其中星等为侬的星的亮度为反(61,2).已知太阳的

2J

星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.IO10-1B.

10.1

C.IglO.lD.10」°」

【答案】A

5.E

【解析】两颗星的星等与亮度满足，々一叫=7lgU，令啊=T45,g=-26.7,

Ll()l

=|(m2-/M1)=|(-l.45+26.7)=l0.l,^=l0.

故选：A.

【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理

解能力以及指数对数运算.

x+y-2<0,

x—y+2>0,

12.【2019年高考天津卷理数】设变量x,y满足约束条件〈，，则目标函数

,1,

z=-4x+y的最大值为

A.2B.3

C.5D.6

【答案】C

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.

目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距,

故目标函数在点A处取得最大值.

x-y+2=0,

由彳，'，得

x=-l

所以Zmax=-4X(-1)+1=5.

故选C.

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是

实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直

线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围.即：一画，

二移，三求.

13.【2019年高考天津卷理数】设xeR,则“炉_5%<0”是的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】化简不等式，可知0<x<5推不出忖―1|<1,

由忖一1|<1能推出0<x<5,

故-5%<0”是“Ix-l|<1"的必要不充分条件，

故选B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

x-3y+4>0

14.【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件<3x-y-4«0,则z=3x+2y的最大

x+yNO

值是

A.-1B.1

C.10D.12

【答案】C

【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

31

因为z=3x+2y,所以了二一^元+己%.

31

平移直线丁二—-x+—z可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.

22

x-3y+4=0x=2

联立两直线方程可得<，解得〈c

3x-y-4=0[y=2

即点A坐标为A(2,2),

所以Zmax=3x2+2x2=10.故选C-

【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影

响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

15.【2019年高考浙江卷】若a>0,b>0,则“a+6W4”是“必W4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a>0,人>0时，a+0225/茄当且仅当a=Z?时取等号，则当a+》W4时，

有+解得曲W4,充分性成立；

当a=l,反4时，满足"W4,但此时a+〃=5>4,必要性不成立，综上所述，

^a+b<4”是"必<4”的充分不必要条件.

【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活

的应用“赋值法”，通过特取a力的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

2x+y-2<0,

16.[2020年高考全国I卷理数】若x,y满足约束条件,x-y-l>0,则z=x+ly的最大值

>'+1>0,

为.

【答案】1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

2x+y-2=0/、

联立直线方程：，八，可得点A的坐标为：A（l,0）,

x-y-l=0

据此可知目标函数的最大值为：Zmax=1+7x0=1.

故答案为：1.

【点评】求线性目标函数Z="x+切（“以0）的最值，当〃>0时，直线过可行域且在y轴上

截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y

轴上截距最大时，z值最小，在），轴上截距最小时，z值最大.

x+y>0,

17.【2020年高考全国III卷理数】若x,y满足约束条件1x-yNO,则z=3x+2y的最大值为

x<1,

【答案】7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

3Yzz

因为z=3x+2y,所以y=-一+—，易知截距一越大，则z越大,

-222

3Y3尤7

平移直线y=-二，当＞=-二+—经过A点时截距最大，此时z最大,

222

y=2xX=]

由,x=r得'C，41,2),

[y=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生

数形结合的思想，是一道容易题.

18.【2020年高考江苏】已知5/〉2+寸=心,｝，€即，则"+12的最小值是_上

4

【答案】y

【解析】V5x2/+/=1

二"0且x?=二^

5y

1-/14y2£?=%当且仅当9=茅，即丁磊丫送

/.x2+y2=2

—5y^2-+‘y=5-y2542,

时取等号.

f+y的最小值为

,4

故答案为：二

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确

理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，

其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号

能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用之或4时等号能否同

时成立）.

11Q

19.【2020年高考天津】已知a>0,b>0,且"=1,则——十丁+—的最小值为

2a2ba+h

【答案】4

118abab8

【解析】>0,Z?>0,/.4?+Z?>0,ab=l,一十一+-------一十一+-------

2a2b。+b2a2ha+b

-+-^—>2.p^-x-^—=4,当且仅当a+Z?=4时取等号,

2a+bv2a+b

结合ab=l,解得a=2—=2+，或a=2+J^,。=2—时,，等号成、7..

故答案为：4

【点评】本题考查应用基本不等式求最值，"1”合理变换是解题的关键，属于基础题.

20.[2020年高考江苏】已知5/丁+V=l（x,yeR）,则x2+y2的最小值是▲.

4

【答案】y

［解析】V5x2/+/=1

.1_v4

“。且…可

.201-丁4214y2.警《当且仅当学=若

5/5y25

时取等号.

/.f+y2的最小值为：

4

故答案为：].

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确

理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，

其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号

能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用之或《时等号能否同

时成立）.

21.【2021•全国高考真题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条

对称轴把纸对折，规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到

10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和=240dm2,对折2次

共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和

2

S2=180dm,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对

折〃次，那么、＞*=dm2.

A=1

__._15（3+〃）

【答案】5720——匚一

2"-4

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）由对折2次共可以得至ij5dmx12dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的

图形，所以对着三次的结果有：一xl2,5x6,10x3；20x±,共4种不同规格（单位dn?）；

22

5533

故对折4次可得到如下规格：-X12,4x6,5x3,10x-,20x4,共5种不同规

4224

格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如

何，其面积成公比为g的等比数列，首项为120（dn?）,第〃次对折后的图形面积为

120x1,对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为

〃+1种（证明从略），故得猜想S,=l2；二+”,

J120x2120x3120x4,120（«+1）

则为=120x2120x3120«120(/?+1)

—n-----H

2c2+…+-^rr+~—

两式作差得:

入=240+12()3+…+上]-^^

2(22?T-')2"

.24oHH]20(〃+1)

112"

2

120120(〃+1)120(〃+3)

=30U---：---------=3OU---------,

2"''2"2"

240(/2+3)15(n+3)

因此,5=720---------=720——

2"2'1

故答案为：5；720」5(“：3)

2，i

【点评】方法点睛：数列求和的常用方法：

(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

(2)对于｛。也｝结构，其中｛%｝是等差数列，也｝是等比数列，用错位相减法求和；

(3)对于｛an+b„｝结构，利用分组求和法；

(4)对于‘一｝结构，其中｛%｝是等差数列，公差为则

」一==11———\利用裂项相消法求和.

4"，用八%a/J

22.【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一上|]

信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多

面体''(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数

学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面

上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.(本题

第一空2分，第二空3分.)

图1

【答案】26,V2-1

【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第

二层共有8个面，所以该半正多面体共有18+8=26个面.

如图，设该半正多面体的棱长为X,则AB=BE=X,延长CB与EE交于点G,延长

BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,,-.=2x走x+x=(