2024届福建省莆田市第二十四中学数学九上期末质量检测试题含解析

2024届福建省莆田市第二十四中学数学九上期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁2．当取下列何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根（）A．1. B．2 C．4. D．3．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（）A． B．C． D．图象的对称轴是直线4．下列式子中表示是的反比例函数的是()A． B． C． D．5．已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．取时的函数值小于0B．取时的函数值大于0C．取时的函数值等于0D．取时函数值与0的大小关系不确定6．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为πcm2，则扇形圆心角的度数为（）A．120° B．140° C．150° D．160°7．关于抛物线，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．与x轴有唯一交点C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小8．下列实数中，介于与之间的是()A． B． C． D．9．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为()A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm10．下列式子中最简二次根式是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝_____．12．计算：＝______.13．计算若，那么a2019＋b2020=____________．14．如图，直线交轴于点B，交轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（-1，a）在双曲线上，D点在双曲线上，则的值为_______.15．已知，则________16．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF的长为______．17．如图，在圆中，是弦，点是劣弧的中点，联结，平分，联结、，那么__________度．18．如图，的顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，AB中点P恰好落在y轴上，则的面积为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在正方形中，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点．（1）如图①，求证：；（2）如图②，连接为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长；（3）如图③，过点作于，当时，求的面积．20．（6分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意：B级满意；C级：基本满意：D级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是；（2）图①中，∠α的度数是，并把图②条形统计图补充完整；（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的户数约为多少户？21．（6分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），（1）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出E、F的坐标；（2）以O点为位似中心，将△AEF作位似变换且缩小为原来的，在网格内画出一个符合条件的△A1E1F1．22．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．（1）求的值；（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．23．（8分）在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.（2）如图2，若是轴正半轴上的动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.24．（8分）如图1，正方形的边在正方形的边上，连接.（1）和的数量关系是____________，和的位置关系是____________；（2）把正方形绕点旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形的边长为4，正方形的边长为，正方形绕点旋转过程中，若三点共线，直接写出的长.25．（10分）已知关于的一元二次方程．（1）请判断是否可为此方程的根，说明理由．（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，求sinB的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．【题目详解】∵甲中的三角形的三边分别是：，2，；乙中的三角形的三边分别是：，，；丙中的三角形的三边分别是：，，；丁中的三角形的三边分别是：，，；只有甲与丙中的三角形的三边成比例：，

∴甲与丙相似．

故选：C．【题目点拨】本题主要考查了相似三角形的判定方法、勾股定理等，熟记定理的内容是解题的关键．2、A【分析】根据一元二次方程的判别式判断即可.【题目详解】要使得方程由两个相等实数根,判别式△=(-2)2-4m=4-4m=0,解得m=1.故选A.【题目点拨】本题考查一元二次方程判别式的计算,关键在于熟记判别式与根的关系.3、D【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.【题目详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0.A选项错误；函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，x＝3即为函数对称轴，D选项正确；故选D【题目点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.4、D【解题分析】根据反比例函数的定义逐项分析即可.【题目详解】A.是一次函数，故不符合题意；B.二次函数，故不符合题意；C.不是反比例函数，故不符合题意；D.是反比例函数，符合题意；故选D.【题目点拨】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.5、B【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【题目详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=，设抛物线与x轴交于点A、B，∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y＞0，故选B．【题目点拨】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．6、C【解题分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．【题目详解】∵OB=10cm，AB=20cm，∴OA=OB+AB=30cm，设扇形圆心角的度数为α，∵纸面面积为πcm2，∴，∴α=150°，故选：C．【题目点拨】本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积=.7、D【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案.【题目详解】解：；A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意；B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有唯一交点，说法正确，所以本选项不符合题意；C、抛物线的对称轴是直线，说法正确，所以本选项不符合题意；D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.故选：D.【题目点拨】本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.8、A【解题分析】估算无理数的大小问题可解．【题目详解】解：由已知0.67,1.5,∵因为,,,>3∴介于与之间故选：A．【题目点拨】本题考查了无理数大小的估算，解题关键是对无理数大小进行估算．9、B【解题分析】首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，根据已知条件可得：OA=2OC，进而求出∠AOC的度数，则圆心角∠AOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长．【题目详解】解：如图，连接OC，AO，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，

∴OC⊥AB，

∵OA=6，OC=3，

∴OA=2OC，

∴∠A=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=120°，

∴劣弧AB的长==4π，

故选B．【题目点拨】本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．10、A【解题分析】根据最简二次根式的定义：被开方数是整数或整式，且不含开得尽方的因数或因式进行判断即可.【题目详解】A.是最简二次根式，符合题意；B.，不是最简二次根式，不符合题意；C.被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意；D.被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意；故选A.【题目点拨】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】由l1∥l2，根据根据平行线分线段成比例定理可得FG＝AC；由l2∥l3，根据根据平行线分线段成比例定理可得＝＝．【题目详解】∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l2∥l3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．【题目点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例是解题的关键．12、4【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.【题目详解】解：原式＝1+3＝4.故答案为：4.【题目点拨】此题主要考查了零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．13、0【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质可求出a、b的值，进而可得答案.【题目详解】∵，∴(a+1)2=0，b-1=0，解得：a=-1，b=1，∴a2019+b2020=-1+1=0，故答案为：0【题目点拨】本题考查二次根式和绝对值的非负数性质，如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数分别为0；熟练掌握非负数性质是解题关键.14、6【分析】先确定出点A的坐标，进而求出AB，再确定出点C的坐标，利用平移即可得出结论．【题目详解】∵A(−1,a)在反比例函数y=上，∴a=2，∴A(−1,2)，∵点B在直线y=kx−1上，∴B(0,−1)，∴AB=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=，设B(m,0)，∴，∴m=−3(舍)或m=3，∴C(3,0)，∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，∴点D(2,3),将点D的坐标代入反比例函数y=中，∴k=6故答案为：6.【题目点拨】本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题突破口是确定出点A的坐标.15、【解题分析】∵，∴8b=3(3a-b)，即9a=11b，∴，故答案为.16、【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【题目详解】，，，，解得，故答案为：．【题目点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．17、120【分析】连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出的度数．【题目详解】连接AC∵点C是的中点∴∵，∴AB平分OC∴AB是线段OC的垂直平分线∴∵∴∴△AOC是等边三角形∴∴∴故答案为．【题目点拨】本题考查了等边三角形的判定定理，从而得出目标角的度数．18、1【分析】过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，得到∠AED=∠BDP=90°，根据全等三角形的性质得到S△BDP=S△AED，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OBD=3，S△AOE=4，于是得到结论．【题目详解】解：过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，

∴∠AED=∠BDP=90°，

∵点P是AB的中点，

∴BP=AP，

∵∠BPD=∠APE，

∴△BPD≌△APE（AAS），

∴S△BDP=S△AED，∵顶点A在双曲线，顶点B在双曲线上，∴S△OBD=3，S△AOE=4，

∴△OAB的面积=S△OBD+S△AOE=1，

故答案为：1．【题目点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）；；（3）面积为.【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分线的性质得出MF=MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，证出∠AMF=∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出，求出AN=2，由勾股定理得出BN==4，由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=AN=，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出，求出OP=，即可得出结果；（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6=3，得出MH=3，MN=2，由勾股定理得出HN=，由三角形面积公式即可得出结果．【题目详解】（1）证明：过点作于，作于，如图①所示：，四边形是正方形，，，，，四边形是正方形，，，，，，在和中，，；（2）解：在中，由（1）知：，，，，，在中，，，，解得：，在中，，在中，是的中点，，，，，，，即：，解得：，；（3）解：过点作于，如图③所示：，，，，，，，在和中，，，在等腰直角中，，，，，，的面积为．【题目点拨】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．20、（1）60户；（2）54°；（3）1500户．【分析】（1）由B级别户数及其对应百分比可得答案；

（2）求出A级对应百分比可得∠α的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；

（3）利用样本估计总体思想求解可得．【题目详解】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数＝21÷35%＝60（户）故答案为：60户；（2）图1中，∠α的度数＝×360°＝54°；C级户数为：60﹣9﹣21﹣9＝21（户），补全条形统计图如图2所示：故答案为：54°；（3）估计非常满意的人数约为×10000＝1500（户）．【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21、（1）E（3，3），F（3，0）；（2）见解析.【解题分析】分析：（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，从而得到△AEF，然后写出E、F的坐标；（2）分别连接OE、OF，然后分别去OA、OE、OF的三等份点得到A1、E1、F1，从而得到△A1E1F1．详解：（1）如图，△AEF为所作，E（3，3），F（3，0）；（2）如图，△A1E1F1为所作．点睛：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．22、(1)见解析；（2）=﹣．【解题分析】（1）由得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；（2）根据已知可得，，从而即可得.【题目详解】（1）∵，∴，∵DE//BC，∴，又∵DF//AC，∴；（2）∵，∴，∵，与方向相反，∴，同理：，又∵，∴.23、（1）解：，3（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切.（3）①点的3倍相关圆的半径是3；②的最大值是.【分析】（1）根据点的倍相关圆的定义即可判断出答案；（2）设点的坐标为，求得点的倍相关圆半径为，再比较与点到直线直线的距离即可判断；（3）①先求得直线的解析式，【题目详解】（1）的1倍相关圆，半径为：，的1倍相关圆，半径为：，不符合，故答案为：，3；（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切，证明：设点的坐标为，过点作于点，∴点的倍相关圆半径为，∴，∵，∴，∴点的倍相关圆半径为，∴直线与点的倍相关圆相切，（3）①∵反比例函数的图象经过点，∴，∴点B的坐标为：，∵直线经过点和，设直线的解析式为，把代入得：，∴直线的解析式为：，∵直线与直线关于轴对称，∴直线的解析式为：，∵点在直线上，设点C的坐标为：，∴点的3倍相关圆的半径是：，故点的3倍相关圆的半径是3；②的最大值是.【题目点拨】本题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，点和圆的位置关系、直线和圆