新线性代数课件

第3章线性方程组线性方程组是线性代数研究的主要对象之一.在这一章里，我们首先介绍线性方程组概念,然后介绍线性方程组的高斯消元法，进而讨论一般线性方程组解的存在性，最后讨论解的结构和求解方法.第3章

目录第3.1节线性方程组的概念第3.2节n元线性方程和n元线性方程组第3.3节高斯消元法第3.4节线性方程组解的结构引例对于某种宠物的喂养,专家建议,每天的饮食中应当含有100单位蛋白质，200单位碳水化合物和50单位的脂肪,一个宠物食物专卖店出售4种不同的食品A,B,C,D.其对蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表（单位：盎司）.如何搭配这四种食品才能够使该宠物的饮食符合专家的建议标准？食品蛋白质碳水化合物脂肪A5202B4252C71010D1056这是线性方程组的求解问题.第3.1节线性方程组的概念1.二元线性方程2.二元线性方程组3.例题

返回第3.1节线性方程组的概念1.二元线性方程定义3.1.1称ax+by=c

为二元线性方程.其中x为变量，a，b，c

为常量.定义3.1.2定理3.1.1方程ax+by=c当a,b不同时为零时有解且有无穷组解.

当a,b同时为零时，如果c

0，则方程无解；若c=0则

方程有无穷组解.例1解对任一变量取值，如

x=

2，将其代入方程类似可得为该方程的二个特解.

方程图形该方程的图形为一条平面直线.例2解确定二元一次方程y=3三个解.对变量x取值，如

x=

2，0，1将其代入方程故（-2，3），（0，3），（1，3）均为该方程的解.红线为该方程图形2.二元线性方程组

设二元线性方程组(*)下面用图示和例子说明方程组(*)有解、无解的各种情形.已知当系数行列式不为零时，二元线性方程组

有惟一解,即图示例如方程组有惟一解情形方程组有无穷解情形方程组无解情形例3.1.2

a,b为何值时,下面线性方程组无解,有惟一解,有无穷解?解a=6,b≠-15时无解.这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点.a≠6时,由克莱姆法则,该方程组有惟一解,此时两个方程表示的平面直线有一个交点;a=6,b=-15时,显然一个方程的任意一组解均为该方程组的解，即该方程组有无穷多组解;这时方程表示的两条直线重合.注二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到三元或n元线性方程组.为求该方程组的一般解，只须求x-2y=5的全部解即可.当a=6,b=-15时,该方程组有无穷多组解.不妨取y=c，c为任意常数，解得x=5+2c，故对应该方程组

的一般解为第3.2节n元线性方程组和n元线性方程组本节介绍n元线性方程，

n元线性方程组及相关基本概念，给出特殊的三角形线性方程组和梯形线性方程组及其解法以备后用.返回第3.2节n元线性方程组和n元线性方程组1.n元线性方程2.n个变量m个方程的线性方程组方程组的初等变换3.三角形方程组和梯形方程组三角形方程组梯形方程组

返回定义3.2.1其中

xi为变量，ai为常量（i=1，2，…，n）.定理3.2.1（1）对j

p的任一组值xj,可以得到方程的一个特解；这里称变量xj为自由变量，自由变量即可以任意取值的变量；（2）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合，这个解集合称为方程的通解或一般解.定义3.2.2对j

p的一组自由变量xj，可以任意取值xj＝

cj,cj为任意实数，则这里,当cj为一个定值时,（*）为特解;当cj∈R是任意实数时,（*）为方程的通解或一般解.即证明见教材P83例1（1）求这个线性方程的三个特解.（2）求这个线性方程的一般解（通解）解

（1）这里x1为非零首项变量，x2,x3为自由变量，给x2,x3取任意值，可以解得x1.对自由变量常用如下取值方法:为原线性方程的通解其中c1,c2为参数.参数形式通解向量形式通解(2)为求得线性方程的一般解，需要给自由变量x2,x3取任意值，这里不妨设x2=c1;x3=c2,c1,c2∈R,得故有2.n个变量m个方程的线性方程组

定义3.2.3

n个变量m个方程的线性方程组称作n元线性方程组,形如其中

xj

为变量，aij

为第i个方程变量xj的系数，bi为第i个方程的常数项,这里i=1，2，…,m;j=1，2，…，n.设n元线性方程组当常数项bi不为0时,称为非齐次线性方程组;

常数项bi全为零时,我们称之为齐次线性方程组,也称作非齐次线性方程组的导出组.称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作列向量(列矩阵)形式为注(1)当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解.(2)当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的.(3)“解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程.“解线性方程组”常用方法为高斯消元法.消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换.定义3.2.4以下三种变换统称为线性方程组的初等变换

(以Li,Lj表示第i和第j个方程)：(1)

交换两个方程，记作以上初等变换的逆变换分别为(2)

第i个方程乘以非零常数k，记作(3)以非零常数k乘以方程Lj加到方程Li，记作:（2）第i个方程乘以非零常数1/k，记作；（3）以非零常数

k乘以方程Lj加到方程Li，记作（1）交换两个方程，记作；说明如果线性方程组（Ⅰ）经过一次初等变换化为线性方程组（Ⅱ），则称方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）是同解方程组，也称方程组（Ⅰ）与方程组（Ⅱ）等价.线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性.线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价.经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程：

当b

0时，方程L没有解，因此方程组没有解;如果b=0

，则任一n维向量均满足L，所以运算中可以将方程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.3.三角形方程组和梯形方程组定义说明称形如以下的方程组为三角形方程组，(1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相等，且akk

xk

为第k个方程的非零首项（k=1,2,…,n）.(2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解;(3)利用克莱姆法则容易判定，其解惟一.定义

称以下形式的方程组为梯形线性方程组说明(1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n.

(2)当r=m=n

时上式即为三角形线性方程组.(3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量.(4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.例2确定线性方程组的自由变量.方程组中首项非零元是自由变量是定理3.2.2梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当r<n时，对n

r个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解.依据上述定理，当r<n时，我们可以很容易地求出梯形线性方程组参数形式的通解.

例3

求线性方程组的通解

这个梯形方程组首项非零元分别是x1,x3

，则x2,x4为自由变量，解得令即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1,c2

为参数.得第3.3节

高斯消元法

本节介绍线性方程组和矩阵的高斯消元法，进而讨论线性方程组解的存在性及判别方法.返回第3.3节高斯消元法

1.高斯消元法2.矩阵形式的线性方程组3.利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性返回1.高斯消元法高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法.高斯消元法的具体步骤：（1）

交换方程，使第一个方程第一个变量x1

的系数a11不为零，（2）

以a11为主元，运用初等变换消去方程组中除第一个以外

各个方程中的x1；（3）

检验每个方程是否退化,即①

若有形式为0=0的方程，则从方程组中删除；②

若有形式为0=b（b0）的方程，则方程组无解.(4）对第一个方程以外的方程重复（1），（2），（3）步骤；(5）上述过程继续到将方程组化为梯形或三角形方程组为止.例1解首先用高斯消元法将方程组化简，

这是梯形方程组，最后一个方程0y+0z=3是一个退化方程，该方程无解，所以该方程组无解.例2用高斯消元法解线性方程组解

首先用高斯消元法将方程组化简，

这是一个梯形方程组，z为自由变量，令z=c，回代解得方程组参数形式通解定理3.3.1任一线性方程组必满足以下三项中之一项：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷组解.实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组,

即可判断出无解的情形；当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变

量（为三角形方程组），则方程组有惟一解，若方

程组中有自由变量（一般为梯形方程组），则方程

组有无穷解.注对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.2.矩阵形式的线性方程组(Ax=b)已知线性方程组:称为线性方程组的增广阵系数阵未知量阵常数阵矩阵运算与解线性方程组对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.例3得得观察知:线性方程组和矩阵的初等变换一一对应.故解线性方程组可以利用其增广阵进行.例4注由增广矩阵经初等变换化成的行阶梯形矩阵可以看出:

除了元素全为零的行向量，当阶梯形矩阵的末行出现形如(0,0,

,0,b),b≠0的行向量时，则方程组对应出现退化方程0=b（b

0），此时方程组无解；如果阶梯形矩阵的末行没有形如(0,0,

,0,b)，b≠0的行向量，则方程组必然有解.进一步可以看出，如果将系数阵A化成上三角形矩阵或单位阵，此时系数行列式|A|0时可以利用克莱姆法则求得唯一解,或直接求得该方程组惟一解；如果系数阵A化作与增广阵非零行数相等的行阶梯形矩阵，则方程组有无穷组解.例5当a、b为何值时一下线性方程组有解？有解时求出通解.解对增广阵进行初等行变换，得3.利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性

已知如下结果:方程组系数阵和增广阵化为行阶梯形矩阵后容易判断出它们的秩恰为其各自非零行向量的行数；矩阵经过一系列初等变换其秩不变,系数阵A和增广阵(A

b)的秩分别等于其对应行阶梯形中非零行的行数.结论利用系数阵A和增广阵(A|b)的秩可以直

接判定线性方程组解的存在情况.Ⅰ.非齐次线性方程组Ax=b解存在性判别方法

证（反证）

若r(A)≠r(A|b)，那么方程组的增广阵化简的行阶梯形矩阵中包含有形如(0,0,

,0,b),b≠0的行向量，显然方程组是不相容的.故方程组无解，与已知矛盾.定理3.3.2

任一线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即r(A)=r(A

|

b).线性方程组Ax=b解的存在性判别方法：

若r(A)≠r(A

|b)，则方程组无解；若r(A)=r(A|b)=r=n时，则方程组有惟一解；若r(A)=r(A|b)=r<n时，则方程组有无穷多解.若干推论判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解例6解对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断和求解.解例7解Ⅱ.齐次线性方程组Ax=0解存在性判别方法注意齐次线性方程组系数阵A和增广阵(A|0)的秩总是相等的.定理3.2.3

n元齐次线性方程组Ax=o恒有解，且当r=n时有惟一零解；当r<n时有非零解.推论1m×n齐次线性方程组Ax=o，当m<n时有非零解.推论2n×n齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式|A|=0；有惟一零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式|A|

0.例8解第3.4节线性方程组解的结构本节讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构，对线性方程组问题给出初步理论总结.并从线性方程组向量形式出发给出向量组线性无关及线性组合的概念.返回第3.4节线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的结构2.非齐次线性方程组解的结构3.n元线性方程组的向量形式返回1.齐次线性方程组解的结构已知齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=o总是相容的，即它恒有解，x=o就是它的一个解，称为零解.问题：齐次线性方程组除了零解之外是否还存在非零解，如果有非零解，其解具有怎样的结构?(*)的矩阵形式为Ax=o,它是Ax=b对应的导出组.（*）齐次线性方程组解的性质例1解利用矩阵初等行变换解方程组.因为齐次线性方程组常数项均为零,故增广矩阵的末列元素均为零，所以只须化系数矩阵A为行最简形即可.得是方程组惟一零解.例2求五元齐次线性方程组的通解解对线性方程组系数阵进行初等行变换.还原为同解方程组

方程组中含有两个自由变量x3,x5.令得方程组的通解:称向量组

1,

2为这个齐次线性方程组的基础解系.

为基础解系的线性组合,

为该方程组的通解.称例3求以下齐次线性方程组的基础解系并用以表示通解.还原为同解方程组

解对系数阵进行初等行变换直至化为行最简形方法1先求通解后求基础解系得方法2先求基础解系,再求通解结果与方法1相同.例4续上节例8解返回说明1如果一般齐次线性方程组Ax=o化为梯形方程组具有s个自由变量，那么如上例，令

1,

2,…,

s依次为这样的解：分别取一个自由变量为1，其余均为零，则

1,

2,…,

s构成齐次线性方程组Ax=o的一个基础解系，Ax=o的任何一个解都可以表示为这个基础解系的线性组合.这就是齐次线性方程组解的结构.练习求下面齐次线性方程组的全部解.方程组的全部解为

说明2如果在后一种运算过程中，所确定的自由变量不同（这是可能的！）或是对自由变量取值不同，也可能有不同的基础解系的线性组合形式作为通解，但是基础解系所含向量个数总是相同的.如果方程组中未知量个数为n和系数矩阵A的秩为r，进一步讨论可知其基础解系包含向量个数为n-r（A）.

非齐次线性方程组解的性质证明非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解相加而成.此即非齐次线性方程组解的结构.例5解首先用高斯消元法将方程组化简.由这是一个梯形方程组，最后一个方程是b＝30的退化方程，所以该方程组无解.此时不必再讨论方程组的结构问题.例6求非齐次线性方程组的通解特解导出组通解续非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解相加而成.此即非齐次线性方程组解的结构.例7续前节解例8解课堂练习3.n元线性方程组的向量形式与线性组合（1）n元非齐次线性方程组的向量形式也即n元非齐次线性方程组表示成向量方程形式为

(2)

n个向量构成向量组的线性组合称向量

为向量

1,

2,…,

n的线性组合.例9将向量

写成向量

1,

2,

3的线性组合.其中

解

设

故得线性方程组解得则向量

为向量

1,

2,

3,的线性组合.（2）n元齐次线性方程组的向量形式n元齐次线性方程组定义3.4.2(向量组的线性相关与线性无关)以xi(i=1,2,…n)为变量的向量方程解有非零解时，称n个向量线性相关；如果只有零解，则称这n个向量