浅谈利用极限思想分析函数图像获奖科研报告

浅谈利用极限思想分析函数图像获奖科研报告

【摘

要】极限思想不仅仅局限于大学数学分析等高等数学中的应用，在高中的函数及其图像问题中，也起到了很重要的作用。

【关键词】极限思想;函数图像;趋近于;变化趋势

“极限”是数学中的分支——微积分的基本概念，广义的“极限”是指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的指A就叫做“极限值”。这是百度百科对“极限”一词的描述。极限的英文名叫“limit”，在数学中的符号就是“lim”，主要应用于微积分。

而所谓极限思想，其实就是用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想。这是微积分的基本思想，在大学数学分析这门课中，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

用极限思想解决问题的一般步骤就是：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的“影响”趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限思想可以追溯到古代，例如，刘徽“割圆术”就是建立在直观图形研究基础上的一种原始可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

那么在数学史中占据如此重要地位的极限思想，是否仅用于大学数学分析等高等数学中的研究呢？它在我们高中数学教学中又有哪些重要的应用，就是我想阐述的本篇文章中我个人对极限思想在高中数学中的应用，尤其是在函数及其图像中的应用。

在高中数学的函数内容学习中，函数单调性是函数最重要的一个性质，等同于一个函数的灵魂，有了单调性，我们就把握住了一个函数的命脉，知道了它的走向。我们利用导数来分析函数单调性，有了单调递增和单调递减，或者恒等于某个值，这些都是我们可以通过函数的导数得到的。但是知道了一个函数单调性，我们离画出一个函数图像还存在一个难点，就是从哪开始，又到哪结束。这就好比于我们知道了一个函数走向，可是从哪走到哪我们并不清楚，画出的图像也是存在问题的。

用一个最简单的我们最熟悉的函数来看：反比例函数，我们通过求导发现，导数，是恒小于零的，意味着是一直單调递减的，那我们是否在定义域上就画出一条递减的曲线呢？那我们在画出它的图像中，还存在一个难点，就是从哪递减到哪，这也就是很多学生困惑的地方。虽说大家都对反比例函数图像很了解，但是为什么长这样，大部分同学还是停留在初中对它利用描点法画出的图像上。那么我们的极限思想，在这就对函数图像有一些新见解。我们发现，当值无限趋近于时，值仍然是正数，且接近于0;当值无限趋近于0但仍然为正数时，值就会趋近于。而在区间上，导数又是一直小于零的，所以我们能分析出来，这个函数在上单调递减，而且是从开始一直递减到接近0的，且一直为正数。

同样道理，在上，当值无限趋近于时，等于将会变成一个无限靠近0的负数;当值无限趋近于0且为负数时，值就会趋于。所以这个函数在上也是单调递减，而且是从接近0的负数开始一直递减到的，且一直为负数。

那么如此我们针对的图像就有了大概的形状，当然，这只是对一个简单函数的应用，极限思想的厉害之处不仅于此，我们来看一下下面一些题型，感受下极限思想的重要之处。

例1：函数的大致图像是（

）

这种函数图像的问题是高考热点题型，对于这个函数，我们发现它并没有奇偶性，求导分析又过于复杂，也没有任何一个特殊值的位置，那么分析起来就存在一定的难度，这时候我们可以借助极限思想来分析函数，当值从右边无限趋近于0时，即无限趋近于0且为正数时，分子为正数，也为正数，则为正数。所以排除选项。当无限趋近于时，分子为正数，也为正数，但是指数函数相对于二次函数来说增长性是最强的，（当无限趋近于时，函数增长性：指数函数>三次函数>二次函数>一次函数>对数函数），所以分母相对于分子来说特别地大，则函数值将会无限趋于0且为正数，则能选出正确选项。

例2：（2018全国2卷）函数的图像大致为（）

本题就是2018年全国2卷的一道高考题，首先通过判断奇偶性我们能够发现，函数为奇函数，排除选项，再利用特殊值法，当时，，所以排除选项。但是针对两个选项，要是没有用极限思想分析，只能通过求导分析单调性，但是我们会发现，当无限趋近于时，分子和分母都是趋于，但是因为指数函数增长性最强，分子要远远大于分母，所以函数值会趋于，选出答案。

例3：函数在上存在两个零点，求的范围。

将函数的零点转化为方程的根，即是函数与的交点问题。此时我们需要分析函数的图像。

，导数零点为，所以在上单调递减，在上单调递增。许多学生一分析出函数的单调性，又因为，就很容易直接画出错误的图像，以为在上也存在一个零点，从而导致找错范围。但是其实用极限思想分析一下，当无限趋近于时，趋于0，且一直为负数，图像并没有穿过轴跑到轴上方。

以上三道例题，充分体现了极限思想在函数的学习过程中起到了至关重要的作用。某些高考热门题型，利用极限思想就能够迅速得到答案。然而现在许多学生都只是停留在通过求导分析函数单调性的地步，某些基础好一