新教材高中人教B版数学选择性学案第4章4-1-1条件概率

4.1条件概率与事件的独立性4学习任务核心素养1．在具体情境中，了解条件概率．(难点)2．掌握条件概率的计算方法．(重点)3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点)1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养．高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员．问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？[提示]eq\f(2,5)．问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？[提示]eq\f(1,2)．知识点1条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)P(A|B)与P(B|A)相同吗？[提示]不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率．一般情况下，它们也不相等．提醒：当题目涉及“在……前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件．1．(对接教材P43例3)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．0.5[根据条件概率公式知P＝eq\,0.8)＝0.5．]知识点2条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1． ()(2)P(B|A)≠P(A∩B)． ()[答案](1)×(2)√类型1利用定义求条件概率【例1】(对接教材P44练习T3)一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；(2)求P(B|A)．[思路点拨]首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(2×1＋3×2,5×4)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(A∩B)＝eq\f(2×1,5×4)＝eq\f(1,10)．(2)P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4)．1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)．2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．eq\o([跟进训练])1．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A，P(B，P(A∩B，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．eq\f(2,3)eq\f(3,5)[由公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,5)．]类型2利用基本事件个数求条件概率在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？[提示]法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为eq\f(8,9)．法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，则P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A∩B)＝eq\f(2×8,10×9)＝eq\f(8,45)，所以P(B|A)＝eq\f(\f(8,45),\f(1,5))＝eq\f(8,9)．【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路点拨]第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30，根据分步乘法计数原理n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3)．(2)因为n(A∩B)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq\f(nA∩B,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)．(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5)．法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)．(变结论)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C．n(A)＝Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,5)＝20，n(A∩C)＝Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,2)＝8，∴P(C|A)＝eq\f(nA∩C,nA)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)．1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)，计算求得P(B|A)．类型3条件概率的综合应用【例3】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．[思路点拨](1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对；(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解．[解]设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(eq\o(A,\s\up16(－))1A2)表示不超过2次按对密码．(1)因为事件A1与事件eq\o(A,\s\up16(－))1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(eq\o(A,\s\up16(－))1A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,5)．(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\o(A,\s\up16(－))1A2)|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(2,5)．1．利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．eq\o([跟进训练])2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．[解]设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C．则P(A)＝eq\f(1,10)，P(A∩B)＝eq\f(1×2,10×9)＝eq\f(1,45)，P(A∩C)＝eq\f(1×3,10×9)＝eq\f(1,30)．所以P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,45)÷eq\f(1,10)＝eq\f(2,9)，P(C|A)＝eq\f(PA∩C,PA)＝eq\f(1,30)÷eq\f(1,10)＝eq\f(1,3)．所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)．所以所求的条件概率为eq\f(5,9)．1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33A[记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\,0.15)＝0.2，所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2．]2．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,5)B[抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件，所求概率为eq\f(1,3)．]3．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,10)B[记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到不合格高尔夫球}，事件AB＝{第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球}．由题意可得事件AB发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝4×2＝8，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝4×5＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)．]4．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________．eq\f(1,2)[∵P(A∩B)＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(1,2)．]5．某种元件用满6000小时未坏的概率是eq\f(3,4)，用满10000小时未坏的概率是eq\f(1,2)，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，则它能用到10000小时的概率为________．eq\f(2,3)[设“用满6000小时未坏”为事件A，“用满10000小时未坏”为事件B，则P(A)＝eq\f(3,4)，P(A∩B)＝P(B)＝eq\f(1,2)，所以P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3)．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．求解条件概率应注意哪些问题？[提示](1)在具体问题中，必须弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪个事件发生的条件下，求哪个事件的概率；(2)重点抓住“把事件A发生作为条件”还是“把事件B发生作为条件”和“A与B同时发生”这两件事；(3)正确理解事件A∩B，准确求出P(A∩B)．(4)要注意结合题意分析事件A与B的关系，有时可从集合知识的角度来分析，若事件A发生时B一定发生，而B发生时A不一定发生，则有A⊆B，且P(A∩B)＝P(A)．2．如何理解条件概率公式？[提示](1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(\f(nA∩B,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PA∩B,PA)．(教师用书独具)概率论的起源概率论渗透到现代生活的方方面面．正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题．你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我