【名师一号】（学习方略）高中数学 2.5.2等比数列习题课双基限时练 新人教A版必修5

PAGEPAGE1【名师一号】（学习方略）高中数学等比数列习题课双基限时练新人教A版必修51．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前3项和为21，那么a3＋a4＋a5＝()A．33 B．72C．84 D．189解析∵a1＝3，a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21，∴1＋q＋q2＝7.解得q＝2，或q＝－3(舍去)．∴a3＝a1q2＝12.∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.答案C2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝()A．80 B．90C．95 D．100解析∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝40，a3＋a4＝a3(1＋q)＝60，∴q2＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(3,2).∴a5＋a6＝q2(a3＋a4)＝eq\f(3,2)×60＝90.答案B3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零的常数)，那么数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列解析由Sn＝an－1，知当a＝1时，Sn＝0，此时{an}为等差数列(an＝0)．当a≠1时，{an}为等比数列．答案C4．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于()A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2C．2n－n D．2n解析解法1：当a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，an＝2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝eq\f(22n－1,2－1)－n＝2n＋1－2－n.解法2：取n＝2，那么S2＝4，排除A，C，取n＝3，那么S3＝11，排除D.答案B5．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，那么实数a的取值范围是()A．a≠1 B．a≠0或a≠1C．a≠0 D．a≠0且a≠1解析由等比数列的定义，知a≠0，且a≠1.答案D6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，那么{an}的公比为________．解析依题意，有4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，即a2＝3a3，∴q＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)7．假设{an}是等比数列，以下数列中是等比数列的序号为________．①{aeq\o\al(2,n)}；②{a2n}；③{eq\f(1,an)}；④{lg|an|}答案①②③8．求数列eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，eq\f(25,8)，eq\f(65,16)，…的前n项和．解Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,22)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,23)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,24)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2n)))＝(1＋2＋3＋…＋n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(n1＋n,2)＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(n2＋n,2)＋1－eq\f(1,2n).9．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.解设数列{an}的公差为d，那么a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d，由a3，a6，a10成等比数列，得a3·a10＝aeq\o\al(2,6)，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，解得d＝0，或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4当d＝1时，a1＝a4－3d＝7.于是S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)×d＝20×7＋190＝330.10．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴q＝2.因此{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题意Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＋n×1＋eq\f(nn－1,2)×2＝2n＋1＋n2－2.11．已知公差不为0的等差数列{an}的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝n×2an，求数列{bn}的前n项和，并判断是否存在n(n∈N*)，使得Sn＝1440成立？假设存在，求出所有n的解；假设不存在，请说明理由．解(1)设{an}的公差为d，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝20，,a\o\al(2,2)＝a1·a4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3d＝10，,d2＝a1d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2.))∴an＝2n.(2)∵bn＝n×22n＝n×4n，∴Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，两式相减，得－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n×4n＋1∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)－\f(1,9)))4n＋1＋e