柱体横截面内任一点均为二向均压应力状态课件

第7章应力状态和强度理论第7章应力状态和强度理论7.1应力状态概述前面,在研究轴向拉伸(或压缩)、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题时已经知道,这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应力,并建立了相应的强度条件

在一般情况下,受力构件内的一点处可能既有正应力,又有切应力。若需对这类点的应力进行强度计算,则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件,而需综合考虑正应力和切应力的影响。

7.1应力状态概述前面,在研究轴向拉伸(或压缩)、扭转

此外,构件在拉压、扭转、弯曲等基本变形情况下,并不都是沿构件的横截面破坏的。例如,在拉伸试验中,低碳钢屈服时在与试件轴线成45º的方向出现滑移线;铸铁扭转时,试件却沿着与轴线成45º的螺旋面破坏。这表明杆件的破坏还与斜截面上的应力有关。

因此必须研究通过某点各个不同方位截面上应力的变化规律,从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。如何研究？7.1应力状态概述

此外,构件在拉压、扭转、弯曲等基本变形情况是围绕该点取一个无限小的正六面体—单元体来研究。单元体的边长为无穷小量(且一般不考虑重量)，故可以认为单元体各个面上的应力均匀分布，且任意一对平行平面上的应力大小、性质完全相同。当单元体三对相互垂直面上的应力已知时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确定该点的应力状态。应力状态的研究方法——单元体是围绕该点取一个无限小的正六面体—单元体来研究。应力状态的研截取单元体的基本原则三对平行平面上的应力应该是给定的或经过分析后可以求得的，而构件在各种基本变形时横截面上的应力分布及计算前面已学过，故单元体的三对平行平面中通常常有一对平行平面是构件的横截面。截取单元体的基本原则应力的标注t

xyτxy表示与x轴垂直的面上沿y方向的切应力。σx

表示外法线方向为x方向的正应力。τzxxyzs

xs

zs

y应力的标注txyτxy表示与x轴垂直的面上沿y方向的切应力例7-1画出下列图中A、B两点的原始单元体。t

xzt

zxＭxyzBP例7-1画出下列图中A、B两点的原始单元体。txzt主平面、主应力、主单元体：

、主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体。

、主平面：切应力为零的截面。

、主应力：主平面上的正应力。xyz主平面、主应力、主单元体：、主单元体：、主平面：

、主应力排列规定：按代数值大小

、三向应力状态三个主应力都不为零的应力状态。主平面、主应力、主单元体：、主应力排列规定：按代数值大小、三向应力状态主平面、主

、二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态。

、单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。

主平面、主应力、主单元体：、二向应力状态：、单向应力状态：主平面、主应力、主单若单元体有一对平行平面上的应力等于零,则称为二向（平面）应力状态。abxdsxysysxsytxytyxtyxtxycxysysytyxtyxtxytxysxsxabcd7.2二向应力状态若单元体有一对平行平面上的应力等于零,则称为二向（平面）应设一平面应力状态如图所示。为求任一斜截面上的应力,可应用截面法。7.2.1斜截面上的应力xysysytyxtyxtxytxysxsxabcdefana设斜截面ef的外法线n与x轴间的夹角为a,简称为a截面,并规定从x轴到外法线n逆时针转向的方位角为正值。设一平面应力状态如图所示。为求任一斜截面上的应力,可应用截a截面上的应力分量用sa和ta表示。对正应力sa,规定以拉应力为正,压应力为负;对切应力ta,则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正,反之为负。

yx

y

x

xyxysysytyxtyxtxytxysxsxabcdefanaa截面上的应力分量用sa和ta表示。yxyxefbαdAdAsin

dAcos

efbαdAdAsindAcos由切应力互等定理,txy＝tyx,则上式可简化为又由三角关系:将其代入前式,可得由切应力互等定理,txy＝tyx,则上式可简化为又对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为efbαdAdAsin

dAcos

对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为efbαdAdAsin由切应力大小互等,txy＝tyx,则上式可简化为由三角关系化简得由切应力大小互等,txy＝tyx,则上式可简化为由三角利用这两个公式,就可以从单元体上的已知应力sx、sy、txy(tyx),求得任意斜截面上的正应力sa和切应力ta。并且由此两式出发,还可求得单元体的极值正应力和极值切应力。所以,这两个方程也称为应力转换方程。

利用这两个公式,就可以从单元体上的已知应力sx、sy、tx7.2.2求极值正应力令:以a0表示主平面的法线n与x轴间的夹角,由上式可得7.2.2求极值正应力令:以a0表示主平面的法线n与x以a0和a0±90º确定两个互相垂直的平面,这表明,两个主平面是相互垂直的;同样,两个主应力也必相互垂直。

a0a0±90º两主平面上的极值正应力为:以a0和a0±90º确定两个互相垂直的平面,这表明,两个当sx≥sy时,由上式直接求出的较小a0角对应较大正应力的方向。注意:主应力按代数值大小排列，在二向应力状态中,有一个主应力为0。

a0a0±90º当sx≥sy时,由上式直接求出的较小a0角对应较大正应力的7.2.3极值切应力:由于书中公式7-87.2.3极值切应力:由于书中公式7-87.2.4两个特例FFkkaFkkpasataaxn1单向应力状态——轴向拉压7.2.4两个特例FFkkaFkkpasataaxn12.二向应力状态——圆轴受扭分析过程：确定危险点并画其原始单元体

求极值应力Ct

xyt

yxt

xyt

yx2.二向应力状态——圆轴受扭分析过程：确定危险点并画其原

扭转破坏分析（剪坏）（拉坏）

xy45°

1

3扭转破坏分析（剪坏）（拉坏）xy45°13上节公式复习上节公式复习例7-2已知单元体上的应力，求主应力、最大切应力及画主单元体。解:例7-2已知单元体上的应力，求主应力、最大切应力及画主单元画出主单元体如右图最大切应力画出主单元体如右图最大切应力txy思考题：已知单元体上的应力，求，。解:txy思考题：已知单元体上的应力，求，由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单元体上的应力sx,txy和sy,tyx(＝-txy)时,任一a截面上的应力sa和ta均以2a为参变量。从上两式中消去参变量2a后,即得*7.2.5二向应力状态分析----图解法由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单元体上的应力sx,stO圆心位于横坐标轴上。其坐标为半径为C7.2.5二向应力状态分析----图解法由上式可见,当斜截面随方位角a变化时,其上的应力sa

,ta在s－t直角坐标系内的轨迹是一个圆,其圆心位于横坐标轴(s轴)上,该圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔(O.Mohr)应力圆。stO圆心位于横坐标轴上。其坐标为半径为C7.2.5二向应应力圆的作法sysytyxtyxtxytxysxsxabcd在

-

坐标系内,选定比例尺;stO量取OB1＝sx,已知应力sx,txy和sy,tyx(＝-txy);sxB1B1D1＝txy得点D1;量取OB2＝sy,B2D2＝tyx得点D2;syB2连接D1D2两点的直线与

轴相交于点C,以C为圆心,CD1或CD2为半径作圆;CtyxD2D1txy应力圆的作法sysytyxtyxtxytxysxsxabcdsysytyxtyxtxytxysxsxabcd该圆的圆心C到坐标原点的距离为stOsxB1D1txysytyxD2B2C半径为该圆就是对应于该单元体应力状态的应力圆。点D1的坐标为(

x,

xy),因而点D1代表单元体x平面(即横截面)上的应力。同样,点D2的坐标为(

y,

yx),因而点D2代表单元体y平面(即横截面)上的应力。sysytyxtyxtxytxysxsxabcd该圆的圆心C利用应力圆求单元体上任一

截面上的应力从应力圆的半径CD1按方位角

的转向转动2

,得到半径CE。圆周上点E的

¸

坐标就依次为斜截面上的正应力

,切应力

。sataE2

stOsxB1D1txysytyxD2B2Cxysysytyxtyxtxytxysxsxabcdefana利用应力圆求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD1按点E的横坐标为FstOsxB1D1txysytyxD2B2CE2

sata2

0点E的横坐标为FstOsxB1D1txysytyxD2B2C同样可证点E的纵坐标为FstOsxB1D1txysytyxD2B2CE2

sata2

0同样可证点E的FstOsxB1D1txysytyxD2B2C应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标。stOsxB1D1(sx,txy)txysytyxD2(sy,tyx)B2CE2

sataxysysytyxtyxtxytxysxsxabcdeanasata应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:单元体某一面上的从应力圆上可见,A1和A2两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy平面各截面上正应力中的极大值和极小值,在这两个截面上的切应力(即A1,A2两点的纵坐标)均等于零。stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A1正应力中的极大值和极小值从应力圆上可见,A1和A2两点的横坐标分别为该单元体垂直于stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A1stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A1由于圆上点D1和点A1分别对应于单元体上的x平面和s1主平面,∠D1CA1为上述两平面间夹角a0的两倍,所以单元体上从x平面转到s1主平面的转角为顺时针转向,按规定应为负值。因此,由应力圆可得从而解得主平面方位角stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A12

0由于圆上点D1和点A1分别对应于单元体上的x平面和s1主平面stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A12

0主平面方位角由CD1顺时针转2

0到CA1。所以单元体上从x轴顺时针转

0(负值)即到

1对应的主平面的外法线。

0确定后,

1对应的主平面方位即确定。sysytyxtytxtxysxsxabcdx

0s1s1s2s2stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A1例7-5(习题7-7)用应力圆求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)例7-5(习题7-7)用应力圆求图示单元体的主应力及主平面20satao(MPa)(MPa)CAB解建立应力坐标系如图

在坐标系内画出点

、AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆AB20satao(MPa)(MPa)CAB解建立应力坐AB

1

2

0

、主应力及主平面如图20satao(MPa)(MPa)CABAB120、主应力及主平面如图20satao解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO例7-4

:图示矩形截面简支梁,试分析任一横截面m-m上各点的主应力,并进一步分析全梁的情况。解:1.截面上各点主应力xyq＝q(x)Oabcdemm在截面m-m上,截面上、下边缘的点a和e处于单向应力状态;中性轴上的点c处于纯剪切状态;而在其间的点b和d则同时承受弯曲正应力和弯曲切应力。mm例7-4:图示矩形截面简支梁,试分析任一横截面m-(a)(b)式(a)和(b)表明,在梁内任一点处的两个主应力中,其一必为拉应力,而另一则必为压应力。可知,梁内任一点处的主应力及其方位角可由下式确定:(a)(b)式(a)和(b)表明,在梁内任一点处的两个主应2.主应力迹线mm根据梁内各点处的主应力方向,可在梁的xy平面内绘制两组曲线。在一组曲线上,各点的切向即该点的主拉应力方向;在另一组曲线上,各点的切向则为该点的主压应力方向。由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直,所以,上述两组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。2.主应力迹线mm根据梁内各点处的主应力方向,可在梁的受均布载荷作用的简支梁的主应力迹线如图所示。实线表示主拉应力

1

的迹线,虚线表示主压应力

3的迹线。受均布载荷作用的简支梁的主应力迹线如图所示。实线表示主拉应力

当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力状态(图a)。7.3三向应力状态当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的最一般形式的空间应力状态中有9个应力分量。但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy

，txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx，sy，sz，txy，tyz

，tzx。xyz最一般形式的空间应力状态中有9个应力分量。但根据切应力互等定根据一般形式的空间应力状态6个应力分量为sx，sy，sz，txy，tyz

，tzx，可求出主单元体和三个主应力。

当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。根据一般形式的空间应力状态6个应力分量为sx，sy，sz，t

例如图a中所示平行于s3的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而表示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。例如图a中所示平行于s3的斜截面，其上的应力由图b所

同理，表示与s2(或s1)平行的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。同理，表示与s2(或s1)平行的那类斜截面上

进一步的研究证明*，表示任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)(c)进一步的研究证明*，表示任意斜截面(图a中的abc截据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1，即上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,只需将具体问题的主应力求出,并按代数值

1≥2≥3的顺序排列。而最大切应力为据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应例7-6单元体的应力如图所示,求出主应力和最大切应力值。xyz20MPa40MPa20MPa20MPa例7-6单元体的应力如图所示,求出主应力和最大切应力值。xyz20MPa40MPa20MPa20MPa因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z无关，可采用解析法求出另外两个主应力。也可画出应力圆求解(不鼓励)。解:该单元体有一个已知主应力xysysytyxtyxtxytxysxsxabcdxyz20MPa40MPa20MPa20MPa因此与得另外两个主应力为46MPa,-26MPa该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为:得另外两个主应力为46MPa,-26MPa该单元体的单向拉压时，当正应力低于比例极限时,正应力与正应变成正比,即拉压胡克定律7.4应力和应变的关系7.4.1单向拉压时应力和应变的关系单向拉压时，当正应力低于比例极限时,正应力与正应变成正比,纯剪切时，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比，即剪切胡克定律7.4应力和应变的关系7.4.2纯剪切时应力和应变的关系纯剪切时，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变对于各向同性材料,沿各方向的弹性常数E,G,μ均分别相同。在线弹性范围、小变形条件下,正应力只引起线应变,而切应力只引起同一平面内的切应变。可用叠加原理,分别计算出sx,sy,sz单独存在时x,y,z方向的线应变ex,ey,ez,然后代数相加。7.4应力和应变的关系7.4.3广义胡克定律对于各向同性材料,沿各方向的弹性常数E,G,μ均分别相sx单独存在时sy单独存在时sz单独存在时x方向的线应变在sx,sy,sz同时存在时,x方向的线应变ex为7.4.3广义虎克定律xyzsx单独存在时sy单独存在时sz单独存在时x方向的线应变在依此类推，

y,z方向的线应变e为切应变gxy,gyz,gzx与切应力txy,tyz,tzx间的关系分别为依此类推，y,z方向的线应变e为切应变gxy,gyz,

一般空间应力状态下,在线弹性范围内、小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律7.4.3广义胡克定律一般空间应力状态下,在线弹性范围内、小变形若已知空间应力状态下单元体的三个主应力,则沿主应力方向只有线应变,而无切应变。与主应力s1,s2,s3相应的线应变分别记为e1,e2,e3,称为主应变。主应变若已知空间应力状态下单元体的三个主应力,则沿主应力方向只有每单位体积的体积变化,称为体积应变,用q表示。

1

2

3a1a2a3如图,设单元体的三对平面为主平面,三个边长为a1,a2,a3。变形后的边长分别为a1(1+e

,a2(1+e2,a3(1+e3

。变形后单元体的体积为7.4.4体积应变每单位体积的体积变化,称为体积应变,用q表示。12由体积应变的定义,并在小变形条件下略去线应变乘积项的高阶微量,可得由体积应变的定义,并在小变形条件下略去线应变乘积项的高阶微在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关。令K为体积弹性模量，σm为平均主应力。在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通物体受外力作用而产生弹性变形时,在物体内部将积蓄有应变能,每单位体积内所积蓄的应变能称为应变能密度。在单轴应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为应变能密度的计算公式*7.4.5复杂应力状态下的应变能密度物体受外力作用而产生弹性变形时,在物体内部将积蓄有应变能,在同一比例加载时,对应于每一主应力,其应变能密度等于该主应力在与之相应的主应变上所作的功,而其它两个主应力在该主应变上并不做功。因此,同时考虑三个主应力在与其相应的主应变上所作的功,单元体的应变能密度应为在同一比例加载时,对应于每一主应力,其应变能密度等于该主经整理得经整理得在一般情况下,单元体将同时发生体积改变和形状改变。可将主单元体分解为图示两种单元体的叠加。其中sm称为平均应力,即

m

m

m(b)

1-

m

2-

m

3-

m(c)

1

2

3(a)在一般情况下,单元体将同时发生体积改变和形状改变。可将主单在平均应力作用下(图b),单元体的形状不变,仅发生体积改变,故其应变能密度就等于图a所示单元体的体积改变能密度,即

m

m

m(b)在平均应力作用下(图b),单元体的形状不变,仅发生体积改图c所示单元体的三个主应力之和为零,故其体积不变,仅发生形状改变。于是,其应变能密度就等于图a所示单元体的形状改变能密度(畸变能密度)。

1-

m

2-

m

3-

m(c)图c所示单元体的三个主应力之和为零,故其体积不变,仅发生应变能密度vε等于体积改变能密度vV与畸变能密度vs之和。应变能密度vε等于体积改变能密度vV与畸变能密度vs之和。例7-7已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

x=24010-6，

y=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。根据广义胡克定律,有:解：在自由面上，有一个主应力等于０。例7-7已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变柱体横截面内任一点均为二向均压应力状态课件例7-8边长a=0.1m的铜质立方体置于刚性很大钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载F=300kN时，铜块内的主应力、最大切应力。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比

＝0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。(a)例7-8边长a=0.1m的铜质立方体置于刚性很大钢块解：1.铜块水平面上的压应力为2.铜块在sy作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez＝0，可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在(图b)。(b)解：1.铜块水平面上的压应力为2.铜块在sy作按照广义胡克定律及ex＝0和ez＝0的条件有方程：从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然sx＝sz。于是解得(b)按照广义胡克定律及ex＝0和ez＝0的条件有方程：从以上二个由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是主应力，且3.铜块内的最大切应力为(b)由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是例7-9一直径d＝20mm的实心圆轴,在轴的两端加力偶矩Me＝126N·m。在轴的表面上某一点A处用应变仪测出与轴线成-45º方向的应变

＝5.010-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。解:包围点A取一单元体A-45ºMeA45ºxMe例7-9一直径d＝20mm的实心圆轴,在轴的两端加力偶A-45ºMeA45ºxMeA-45ºMeA45ºxMe例7-10

在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，μ=0.30。F例7-10在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mmpFpp在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体横截面内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p。解：pFpp在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，②考虑到柱与凹座之间的间隙，可得半径方向的应变er的值为：①在柱体横截面上的压应力为F/App②考虑到柱与凹座之间的间隙，可得半径方向的应变er的值为：④柱内各点的三个主应力为：

求得：③由广义虎克定律：F/App④柱内各点的三个主应力为：求得：③由广义虎克定律：解：建立坐标系如图习题:一边长为a＝200mm的正方体混凝土块，无空隙的放在刚性凹槽内，受到压力P=300kN作用，

=1/6，求混凝土各面上的应力。解：建立坐标系如图习题:一边长为a＝200mm的正方体混凝7.5材料破坏的形式

7.5.1材料破坏的基本形式

在前面的实验中,曾接触过一些材料的破坏现象,如果以低碳钢和铸铁两种材料为例,它们在拉伸(压缩)和扭转试验时的破坏现象虽然各有不同,但都可把它归纳为两类基本形式,即塑性屈服和脆性断裂。7.5材料破坏的形式7.5.1材料破坏的基本形式铸铁拉伸或扭转时,在未产生明显的塑性变形的情况下就突然断裂,材料的这种破坏形式,叫做脆性断裂。石料压缩时的破坏也是这种破坏形式。低碳钢在拉伸、压缩和扭转时,当试件中的应力达到屈服点后,就会发生明显的塑性变形,使其失去正常的工作能力,这是材料破坏的一种基本形式,叫做塑性屈服。

7.5材料破坏的形式

铸铁拉伸或扭转时,在未产生明显的塑性变形的情况下就突然断裂7.5.2应力状态对材料破坏形式的影响材料的破坏形式是呈脆性断裂,还是呈塑性屈服,不仅由材料本身的性质所决定,还与材料的应力状态有很大关系。试验证明,同一种材料在不同的应力状态下,会发生不同形式的破坏。也就是说,不同的应力状态将影响材料的破坏形式。7.5材料破坏的形式

7.5.2应力状态对材料破坏形式的影响材料的破坏形式是带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，一般不会发生脆性断裂。7.5材料破坏的形式

带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。7.5材料破坏的形式

圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的很多试验证明,在三向拉伸应力状态下,即使是塑性材料也会发生脆性断裂。若材料处于三向压缩应力状态(如大理石在各侧面上受压缩),即使是脆性材料,却表现为有较大的塑性。这说明材料所处的应力状态,对其破坏形式有很大影响。

7.5材料破坏的形式

很多试验证明,在三向拉伸应力状态下,即使是塑性材料也会发

在长期的生产实践中,人们通过对材料破坏现象的观察和分析,对材料发生破坏的原因,提出了各种不同的假说。经过实践检验证明,在一定范围内成立的一些假说，通常称为强度理论,或称破坏理论。7.6常用强度理论在长期的生产实践中,人们通过对材料破坏现象的观7.6常用强度理论

工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为:Ⅰ.研究脆性断裂的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ.研究塑性屈服的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。7.6常用强度理论工程中常用的强度理论按认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸时的强度极限时，构件就发生了断裂。1、破坏依据：2、强度准则：3、应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。7.6.1最大拉应力（第一强度）理论认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就发生了破坏。1、破坏依据：2、强度准则：3、应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。7.6.2最大伸长线应变（第二强度）理论认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到混凝土压缩时的破坏解释混凝土压缩时的破坏解释认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。1、破坏依据：3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：7.6.3最大切应力（第三强度）理论认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏依据：2、强度准则:3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。7.6.4形状改变比能（第四强度）理论认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验表明,对于塑性材料,例如钢材、铝、铜等,这个理论与实验结果基本上是符合的。在二向应力状态下,一般地说,畸变能密度理论较最大切应力理论更符合试验结果。由于最大切应力理论是偏于安全的,且使用较为简便,故在工程实践中应用较为广泛。7.6常用强度理论试验表明,对于塑性材料,例如钢材、铝、铜等,这个理论与相当应力把各种强度理论的强度条件写成统一形式式中的[s]为根据拉伸试验而确定的材料的许用拉应力;sr为复杂应力状态下s1、s2、s3按不同强度理论而形成的某种组合,称为相当应力。对于不同的强度理论,它们分别为：7.6常用强度理论相当应力把各种强度理论的强度条件写成统一形式式中的[s]为根第一类强度理论-----脆性断裂的理论第一强度理论----最大拉应力理论第二强度理论----最大伸长线应变理论第二类强度理论-----塑性屈服的理论第三强度理论----最大切应力理论第四强度理论----畸变能密度理论第一类强度理论-----脆性断裂的理论第一强度理论----第解：危险点A的单元体如图例7-10

直径为d=0.1m的铸铁圆杆受力如图，T=7kN·m，P=50kN，[

]=40MPa，试用第一强度理论校核杆的强度。安全。解：危险点A的单元体如图例7-10直径为d=0.1m的例7-11两种应力状态分别如图所示,试按第四强度理论,比较两者的危险程度。(

)(a)(b)

解:图(a)可视为二向应力状态例7-11两种应力状态分别如图所示,试按第四强度理论,图(b)为空间应力状态

y＝

为主应力之一

,另两个主应力为则

1＝

,

2＝t,

3＝-t

即根据第四强度理论，两种情况下的危险程度相同。如按第三强度理论则(a)较(b)危险。(a)(b)

图(b)为空间应力状态y＝为主应力之一,另两个主应例7-12根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的

可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的

。（P66的公式）解:纯剪切应力状态下

1=

,

2=0,

3=–

按第三强度理论得强度条件为：

另一方面,剪切的强度条件是:所以[t

]=0.5

例7-12根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的所以

按第四强度理论得强度条件为：按第三强度理论得到按第四强度理论得到[

]=0.5

[

]≈0.6

由所以按第四强度理论得强度条件为：按第三强度理论得到按第例用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪切单元体的比能为：

纯剪切单元体比能用主应力表示为：

xyA

1

3例用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪切单元体的比*7.6.5莫尔强度理论一、莫尔强度理论莫尔（ChristianOttoMohr）是一位著名的德国土木工程师。他1868－1873年之间在德国斯图加特工学院任工程力学教授。*7.6.5莫尔强度理论一、莫尔强度理论莫尔（Chris

莫尔强度理论并不简单地假设材料的破坏是某一个因素(例如应力,应变,比能)达到了其极限值而引起的。它是以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据,建立起来的带有一定经验性的强度理论。

莫尔在力学上的主要贡献有：求梁的挠度问题类比为求梁的弯矩问题，后人称之为虚梁法；为了简化计算平面上不同方向上的应力，引进了利用它们满足一个圆的方程的性质的计算方法，后人称之为莫尔应力圆。莫尔强度理论并不简单地假设材料的破坏是某一个莫尔认为,根据试验所得到的在各种应力状态下的极限应力圆(以失效应力为直径所作的应力圆)具有一条公共包络线。一般地说,包络线是条曲线。stO

3

1包络线与材料的性质有关,不同材料的包络线不一样;但对同一材料则认为它是唯一的。莫尔认为,根据试验所得到的在各种应力状态下的极限应力圆(以

对一个已知的应力状态

1,

2,

3,如由

1和

3确定的应力圆在上述包络线之内,则这一应力状态不会引起失效。如恰与包络线相切,就表明这一应力状态已达到失效状态。stO

3

1对一个已知的应力状态1,2,3工程上用单轴拉伸和单轴压缩两种应力状态下通过试验所得到的两个极限应力圆为依椐,以此两圆的公切线作为近似的公共包络线。为了进行强度计算,还应引进适当的安全因数。于是可用材料在单轴拉伸和压缩时的许用拉应力[

t]和许用压应力[

c]分别作出单轴拉伸和单轴压缩时的许用应力圆,并作此两圆的公切线。然后以这两条公切线来求得复杂应力状态下按莫尔强度理论所建立的强度条件。工程上用单轴拉伸和单轴压缩两种应力状态下通过试验所得到的两个柱体横截面内任一点均为二向均压应力状态课件式中[

c]用绝对值,

3若为压应力仍应用负值。式中[c]用绝对值,3若为压应力仍应用负值。相应的强度条件是由上式可知,按莫尔强度理论所得的相当应力表达式为当材料在单轴拉伸和压缩时的许用拉、压应力相等时,上式右边成为(sl-s3),而与第三强度理论的相当应力一致。由此可见,莫尔强度理论可看作是第三强度理论的推广,考虑了材料在单轴拉伸和单轴压缩时强度不等的因素。相应的强度条件是由上式可知,按莫尔强度理论所得的相当应力表

莫尔理论是以实验资料为基础,经合乎逻辑的综合得出的,并不像前面的强度理论以对失效提出假说为基础。无疑,莫尔理论的方法是比较正确的。譬如,今后如能提出更多更准确的实验资料,就可进一步修正包络线,提出更切实际的强度条件。莫尔理论是以实验资料为基础,经合乎逻辑的综

1、脆性材料：在二向拉伸应力状态下，应采用最大拉应力理论；在复杂应力状态的最大、最小主应力分别为拉、压时，由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论。7.6.6各种强度理论的适用范围

2、塑性材料（除三向拉伸外），宜采用形状改变比能理论（第四强度理论）和最大切应力理论（第三强度理论）。1、脆性材料：在二向拉伸应力状态下，应采用最大

3、三轴压缩状态下，无论是塑性和脆性材料，均采用形状改变比能理论。各种强度理论的适用范围

4、在三轴拉伸应力状态下，不论是脆性或塑性材料，均会发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论（第一强度理论）。

3、三轴压缩状态下，无论是塑性和脆性材料，均采例7-12

有一铸铁零件，已知其危险点处单元体上的应力如图所示。铸铁的许用拉应力为50MPa，许用压应力150MPa。试用莫尔强度理论校核其强度。例7-12有一铸铁零件，已知其危险点处单元体上的应力如图解：（1）计算危险点处的主应力代入公式，得主应力为：（2）强度校核所以，该零件是安全的。解：（1）计算危险点处的主应力代入公式，得主应力为：（2）强例7-13图示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器的表面用电阻应变片测得环向应变为。若已知容器的内直径D=500mm，壁厚，容器材料的E=210GPa，

=0.25。

1.导出容器横截面及纵截面上正应力表达式。

2.计算容器所受的内压力。p+(a)lzyDx例7-13图示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压解：1.容器的环向和纵向应力表达式薄壁容器承受内压后，在横截面和纵截面上都将产生应力。作用在横截面上的正应力沿着容器轴向方向，故称为轴向应力或纵向应力，用σx

表示；作用在纵截面上的正应力沿着圆周的切向方向，故称之为环向应力，用σy表示。p+(a)lzyDx解：1.容器的环向和纵向应力表达式薄壁容器承受内压后，在横截因为容器壁较薄，若不考虑端部效应，可认为上述两种应力均沿着容器厚度均匀分布。因此，可以采用平衡方法和由流体静力学得到的结论，导出纵向和环向应力与D、δ、p的关系式。用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程psxsxxD图b因为容器壁较薄，若不考虑端部效应，可认为上述两种应力均沿着容取长为l的一段，用纵截面将容器截开，进行研究，受力如图c所示:ypsyDqdqz图cOsy取长为l的一段，用纵截面将容器截开，进行研究，受力如图c所2.根据应变确定容器的内压力将上面的公式代入后解得：

在径向方向，内压引起的应力较小，因此容器内部各点均可看作处于二向应力状态，如图所示。所测得的环向应变不仅与环向应力而且与纵向应力有关。根据广义胡克定律：2.根据应变确定容器的内压力将上面的公式代入后解得：例7-14薄壁圆筒受最大内压时，测得表面一点A的

x=1.8810-4，

y=7.3710-4，已知钢的E=210GPa，[

]=170MPa，泊松比

=0.3，试用第三强度理论校核其强