人教版九年级数学上册 （二次函数的图像和性质）教育教学课件

22.1.2二次函数的图像和性质人教版数学（初中）（九年级上）第二十二章二次函数

前言学习目标1.会用描点法画出y=ax^2的图像。2.通过图像了解二次函数图像的性质。重点难点重点：二次函数的图像和性质。难点：能够熟练画出二次函数的图像，理解并掌握二次函数的性质。你还记得如何画出一次函数的图像吗？描点法画函数图像的一般步骤如下：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。描点法你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？一次函数知识点回顾

…-2-1012………41012【列表】二次函数𝑦=𝑎𝑥^2的图像

根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点【描点】369yO-33x

【连线】

二次函数𝑦=𝑎𝑥^2的图像

369yO-33x特征：开口向上的曲线

形状：类似于投篮时，篮球在空中所划过的路线。

事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.二次函数𝑦=𝑎𝑥^2的性质

369yO-33x

交点坐标（0,0），观察图像，当二次函数的x=0时，y=0（最小值）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点．P(-1,1)P’(1,1)二次函数𝑦=𝑎𝑥^2的性质

369yO-33x

二次函数𝑦=𝑎𝑥^2的性质解：1）列表x···-4-3-2-101234······84.520.500.524.58···x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=2x2···84.520.500.524.58···

y=2x2y=x22）描点（略）3）连线（略）情景思考

y=2x2y=x2

1）开口都向上（a>0），对称轴都是y轴。2）当x<0时，y随x增大而减小；

当x>0时，y随x增大而增大。3）顶点是原点（最小值）。4）a值越大抛物线开口越小。情景思考

y=-2x2y=-x2

1）开口都向下（a<0），对称轴都是y轴。2）当x<0时，y随x增大而减小；

当x>0时，y随x增大而增大。3）顶点是原点（最大值）。4）a值越小抛物线开口越小。情景思考抛物线y=ax2的图象性质:（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.（3）|a|越大，抛物线的开口越小.（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.归纳小结1.填表：抛物线y=ax2（a>0）y

=ax2（a＜0）顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0.当x=0时，最大值为0.当x<0时，y随着x的增大而减小.当x>0时，y随着x的增大而增大.当x<0时，y随着x的增大而增大.当x>0时，y随着x的增大而减小.课堂测试

分析：|a|越大，抛物线的开口越小.课堂测试

课堂测试感谢聆听与指导人教版数学（初中）（九年级上）二次函数与一元二次方程

问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t－5t2考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2

当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．

球的飞行高度达不到20.5m．20m（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c

深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2＋x－2（2）y=x2－6x＋9（3）y=x2－x＋1（1）抛物线y=x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）抛物线y=x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数的值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y=x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．xyO1y=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2例

利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．(精确到0.1)[解析]

欲估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根，必须先画出二次函数y＝x2＋2x－10的图象，确定根的大致范围，再进一步估算．解：作二次函数y＝x2＋2x－10的图象，如图．由图象可知方程的一个根在－5与－4之间，另一个根在2与3之间．

我们先求－5与－4之间的根，利用计算器探索如下：x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56∴一个根约为－4.3，即x1≈－4.3.同理可求得x2≈2.3.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．一般地，从二次函数y=ax2+bx+c

的图象可知（1）如果抛物线y=ax2+bx+c

与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根．归纳1.不与x轴相交的抛物线是（）A.y=2x2–3B.y=－2x2+3C.y=－x2–3xD.y=－2(x+1)2

－32.若抛物线y=ax2+bx+c=0，当a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（）

A.无交点B.只有一个交点

C.有两个交点D.不能确定随堂练习3.如果关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=