安徽省铜陵市狮子山区西湖中学高三数学文联考试题含解析

安徽省铜陵市狮子山区西湖中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的(

) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可．解答： 解：若k=﹣2，则=（1，﹣2），=（﹣2，4），满足=﹣2，即，共线，充分性成立，若，共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立，故“k=﹣2”是“，共线”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础．2.取棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为。以上结论正确的是

（

）A．①②⑤

B．①②③C．②④⑤

D．②③④⑤参考答案：A3.已知向量，，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A4.6．设函数则不等式的解集是（）Ａ．

B．C．D．参考答案：A略5.命题“?n∈N，f（n）?N且f（n）≤n”的否定形式是（）A．?n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n B．?n0∈N，f（n0）∈N且f（n0）＞n0C．?n∈N，f（n）∈N或f（n）＞n D．?n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?n∈N，f（n）?N且f（n）≤n”的否定形式是：?n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：?x∈M，p（x）；特称命题?x∈M，p（x）．6.在等差数列{an}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（）A．32 B．39 C．46 D．78参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}中，a3+a11=6，∴其前13项的和：S13==．故选：B．7.若函数（0且）在（）上既是奇函数又是增函数，则的图象是（

）参考答案：C8.从1，2，3，4，5中随机取出二个不同的数，其和为奇数的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：C9.若αR，则“α=0”是“sinα<cosα”的

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：A10.双曲线的左、右焦点分别是、，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M点，若x轴，则双曲线的离心率为A.

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的焦点为椭圆

的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为

▲

．参考答案：由椭圆方程可知，所以，即，所以椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以，所以。所以抛物线的方程为。12.设等比数列的公比为q，前n项和为S-n，若Sn+1,S-n，Sn+2成等差数列，则q的值为

.参考答案：13.已知函数有零点，则的取值范围是

参考答案：【知识点】函数与方程

B9解析：由，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故该函数的最小值为因为该函数有零点，所以，即，解得故的取值范围是.【思路点拨】根据函数的导数找出函数的单调区间，再根据最小值求出a的取值范围.14.设tanα=3，则=

．参考答案：2【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tanα=3，则=====2，故答案为：2．15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．参考答案：100【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．16.已知是球面上三点，且，若球心到平面的距离为，则该球的表面积为__________.参考答案：略17.已知数列，满足，，（），则_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若y=F（x）在x=﹣1处取得极大值2，求函数y=F（x）的单调区间；（Ⅱ）若使g（x）=0的x值满足，求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）求F（x）的解析式，只需得到含两个a，b的等式，根据函数F（x）在x=﹣1处有极大值，可知，函数在x=﹣1处导数等于0，根据极大值为2，可知，x=﹣1时，函数值等于7，这样，就可求出a，b．对函数求导，再令导数大于0，解出x的范围，为函数的增区间，令导数小于0，解出x的范围，为函数的减区间．（Ⅱ）由题意，f（x）=ax2﹣2bx+c=ax2﹣（a+c）x+c，，g（x）=2ax﹣2b=2ax﹣（a+c），联立可得ax2﹣（3a+c）x+a+2c=0，利用韦达定理，可求线段AB在x轴上的射影长．从而可求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．解答：解：∵F（x）的图象过原点，∴d=0．又f（x）=F'（x）=ax2﹣2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）（Ⅰ）由y=F（x）在x=﹣1处取得极大值2知：f（﹣1）=a+2b+c=0，…②，…③…（4分）由①②③得解：a=3，b=0，c=﹣3，∴F（x）=x3﹣3x．…（5分）由f（x）=3x2﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣1；由f（x）=3x2﹣3≤0，得﹣1≤x≤1．∴F（x）的单调递减区间为[﹣1，1]，单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）．…（7分）（Ⅱ）f（x）=ax2﹣2bx+c=ax2﹣（a+c）x+c，，g（x）=2ax﹣2b=2ax﹣（a+c），由，得ax2﹣（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）设A，∴线段AB在x轴上的射影长．…（9分）由．…（（10分）∴当，∴．…（12分）点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查曲线相交，有一定的综合性．19.（13分）如表，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1，a2，…，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，…，bn．记=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．a1a2…anb1b2…bn

（Ⅰ）当n=3时，若a1=1，a2=3，a3=5，写出S3的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n．试给出a1，a2，…，an的一组取值，使得无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．参考答案：【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）根据新定义计算即可，（Ⅱ）ai=i（i=1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有，根据新定义求出即可，（Ⅲ）方法一：交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变，不妨设ai＞bi，记，，求出Sn=A﹣B，即可证明，方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，①若在两种填法中k都位于同一行，②若在两种填法中k位于不同行，即可证明【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a2=3，a3=5，∴b1，b2，b3值为2，4，6∴S3=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|=|1﹣b1|+|3﹣b2|+|5﹣b3|，∴S3的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅱ）令ai=i（i=1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有．因为ai=i，所以bi∈{n+1，n+2，…，2n}，（i=1，2，…，n）．因为ai＜bi（i=1，2，…，n），所以．注：{a1，a2，…，an}={1，2，…，n}，或{a1，a2，…，an}={n+1，n+2，…，2n}均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变．不妨设ai＞bi，记，，其中i=1，2，…，n．则．因为，所以A+B与n具有相同的奇偶性．又因为A+B与A﹣B具有相同的奇偶性，所以Sn=A﹣B与n的奇偶性相同，所以Sn的所有可能取值的奇偶性相同．解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，，，不妨设ai＜bi，a'i＜b'i，其中i=1，2，…，n．a1a2…an

…b1b2…bn

…．对于任意k∈{1，2，…，2n}，①若在两种填法中k都位于同一行，则k在Sn+S'n的表达式中或者只出现在中，或只出现在中，且出现两次，则对k而言，在Sn+S'n的结果中得到±2k．②若在两种填法中k位于不同行，则k在Sn+S'n的表达式中在与中各出现一次，则对k而言，在Sn+S'n的结果中得到0．由①②得，对于任意k∈{1，2，…，2n}，Sn+S'n必为偶数．所以，对于表格的所有不同的填法，Sn所有可能取值的奇偶性相同．【点评】本题考查了新定义的应用，以及数列求和问题，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于难题．20.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）

…………2分

……………4分所以函数的最小正周期为.

…………6分由，，则.则函数单调减区间是，.

………………9分

(Ⅱ)由，得.

………11分则当，即时，取得最小值.…13分

21.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD?平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．22.已知函数．（Ⅰ）若，求