2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷02（人教A版必修3+必修4）（解析版）

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷02

（人教A版）

一、单选题（每小题5分，共60分）

1.采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，

高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生的人数为（）

A.1350B.675

C.900D.450

【答案】C

【分析】

先求出抽样比，即可求出学生总数.

【详解】

45-20-1011

由题意可得抽样比为-----------=——，所以学生总数为45+—=900,即这个学校共有高中学生900

3002020

人.

故选：C.

2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,

甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（）

A.70,75B.70,50

C.75,1.04D.65,2.35

【答案】B

【分析】

由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差.

【详解】

因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为S2,由题意得，

S2=[（XI-70）2+（X2-70）2+…+（80—70）2+（70—70）2+…+（X48—70）2],而更正前有：

48

75=—[（XI—70）2+（X2—70）2+…+（50—70）2+（100—70）2+...+（X48—70）2],

48

化筒整理得S2=50.

故选:B.

3.已知>与x之间的线性回归方程为3=L6x+21,其样本点的中心为叵,37）,样本数据中x的输出取

值依次为2，8，6,14，加，则"?=（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】D

【分析】

先求出或，由于回归直线过样本点的中心（另歹），所以把（月刃代入回归直线方程中可求出切的值

【详解】

解：•.•元=:（2+8+6+14+m）=6+],.•・样本点的中心为（6+晟,37）.由于回归宜线过样本点的中

m）

[64--I+21,解得m=20.

故选：D

4.执行如图所示的程序框图，若输出的S=」~,判断框中的整数。=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

又循环结构运算规则求解.

【详解】

1=2,T=l，S=15：

1=3,T=2,S=3；

s=3；

z=4,T=3,

7

i=5,7=4,

因为输出的结果是所以。=4.

21

故选:B

5.在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合再任意排成一行，则得到的数能被2或5

整除的概率是（）

A.0.2B.0.4

C.0.6D.0.8

【答案】C

【分析】

由题可得只需个位数字满足即可.

【详解】

解析：一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字，而由I,2,3,4,5组成的五位数中，个位数是1,

2,3,4,5是等可能的，

“被2或5整除”这一事件等价于个位数字为2,4,5,

3

所求概率为g=0.6.

故选：C.

6.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】B

【分析】

利用几何概型的长度类型概率计算公式求解.

【详解】

如图所示;

DB

线段AB=1,若剪成两段，其中一段的长度小于0.2米，

贝ijAC=0.2或DB=0.2,

所以其中一段的长度小于0.2米的概率是p=丝产=0.4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的求法，属于基础题，

.、，八“—l/乃、2V52sincz+3cosa、

7.已知a为锐角，且cosa--='-，则一;------------=（）

<2）5sincu-costz

A.-8B.7C.±8D.±7

【答案】B

【分析】

利用诱导公式求得sina,再根据同角三角关系得cosa,然后代入所求式子计算即可.

【详解】

由cos（a—工］=述得S皿&=拽，又因为a为锐角得cosa==亚

I2；555

02V5

2sina+3cosax5x5

则—------------=——~4=7

sina-cosa275J5

5-5

故选：B

8.已知向量£=（1,2）,B=（2,-2）,"=（机,1）.若"，（2日+"，则”?=（）

c11

A.2B.—2C.—D.

22

【答案】D

【分析】

先求得2M+B=（4,2）,根据A（2£+5）=0,利用向量的数量积的坐标运算即可求解.

【详解】

由题意，向量;=（1,2）,1=（2,—2）,可得2£+5=（4,2）,

因为cJ_（2Q+B）,所以C・（2Q+5）=0.

一.1

又c=（加,1），所以4/〃+2=0,解得加二一万，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及向量

数量积的坐标运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

JT

9.已知函数/（x）=sin2x+acos2x的图象的一条对称轴是直线x=二，则函数g（x）=-asin2x-cos2x

的图象（）对称

jr关于点（专,）对称

A.关于直线》=一对称B.0

12

D.关于点0）对称

C.关于直线x=g对称

2

【答案】A

【分析】

根据三角函数的和差公式、辅助角公式将函数进行化简求值，利用二角函数的对称性的性质即可求解.

【详解】

/（x）=sin2x4-6/cos2x=Jl+＞，sin（2x+0）（其中tancp-a）,

因为直线X=£是函数的对称轴，

6

jrjr

所以石2•%•+0=Z乃+万（左wZ）,

所以0=左乃+不（kEZ）,a=tan（p-»

g（,x）、=---6---si・n24x-cos20x=---2-----6cos（2、x---*-,

33I6

TT

所以g(x)关于直线”=一对称，故A正确，B错误:

所以g(x)不关于直线x='对称，也不关于点(胃,称，

故C,D错误.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数变换公式、三角函数的性质是解题关

键.

10.已知。是AABC所在平面内的一定点，动点尸满足丽=丽+力(篇+筏j),/le(0,+8),则

动点P的轨迹一定通过AABC的()

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】

n

闩表示的是］方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点「在N84。的角平分线上，故动点P必过三角

形的内心.

【详解】

AB

如图‘设网AF

1国’

已知衣，衣均为单位向量,

E

D

A

B

故四边形AEDF为菱形，所以AD平分44C,

———IABAC]

由OP=QA+X+,2e(0,+oo)

1河\AC\)

得Q=/l而，又而与而有公共点A，故A。,尸三点共线，

所以点P在N84c的角平分线上，故动点P的轨迹经过AA3c的内心.

故选：A.

11.已知圆心角为60,的扇形内部有一一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为万时，该扇形的

面积为()

【答案】D

【分析】

根据圆C面积为万，求得其半径，然后连接。C,设圆与OA切于点。，然后在AOCD中，由sin30=j

求得扇形的半径即可.

【详解】

设扇形的半径为R,圆C的半径为r,

因为圆C的面积为力，

所以兀户=7T，解得r=1，

如图所示：

D,

03

在AOCD中，sin3O=—=—*—=1,

OCR-r2

所以R=3r=3

所以扇形的面积为S="%Kx9x?=与’

故选：D

7171

12.不等式y/2sin—cos—+76cos2----一加20对于无£一-，恒成立，则实数机的取值范围是

2222L6T3_

()

(-8,0]

1」1」

【答案】B

【分析】

利用二倍角正余弦公式有也sinx+"•”匚

-m>0,结合辅助角公式，将问题转化为

22

&sin|尤+王|之"2对Vxw恒成立，

进而求加的范围.

13jL63」

【详解】

由题设，有——sinx+V6-COS%-/n>0>

22

J5sin（x+工］2加对Vxw恒成立71712jl

,而1+二■£-,

13）63363

.,.夜sin[x+巴]w—,V2,即机＜@.

I3j2J一2

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：应用三角恒等变换，有/（x）=0sin[x+£]2nuq-Vxe-恒成立，由加4/富/耐

k3JL63.

求参数范围.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩的面积等于其它10个小矩形面积和的1,

4

且样本容量为160,则中间一组数据的频数为.

【答案】32

【分析】

1

设中间一个小长方形的面积为x,其他io个小长方形的面积之和为y,列出方程组彳x=4—y解方程即可.

x+y=i

【详解】

设中间一个小长方形的面积为x，其他io个小长方形的面积之和为y,

-1

x=—V

则有：i4-,解得：x=0.2,...中间一组的频数=160x0.2=32.

x+y=l

故答案为：32.

【点睛】

本题主要考查频率、频数的概念及其关系.属于简单题，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和

等于1.频率、频数的关系：频率=频数十数据总和.

14.住在同一城市的甲、乙两位合伙人，约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他

们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去，则这两人能相见的概率为.

【答案4

【分析】

将甲、乙到达时间设为乂丁（以4:00为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：|y—耳410画出图像,

根据几何概型公式得到答案.

【详解】

根据题意：将甲、乙到达时间设为（以4：oo为o时刻，单位为分钟）

则相见需要满足：|了一可410画出图像：

根据几何概型公式:

c,250011

P-1_________—____

3600-36

【点睛】

本题考查了儿何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力.

15.已知在△MC中，A8=3,8C=5.。为所在平面内的一点，满足d+2方+反=6，则

BOAC=________

【答案】4

【分析】

由&+2办+女=3找到。点是AC边上中线的中点，利用平行四边形法则结合向量点积求得结果.

【详解】

取AC的中点。，联结8。

B

由&+2办+次=6，知2而+2加=6，则。为BD的中点,

—1—>—

因此60=W(5A+BC),

->f1->->->->[->2—2।

故80AC=—(BA+8C>(3C—54)=—(BC-BA)=-(52-32)=4.

444

故答案为：4.

sinx+cosx+tanx+cotx

16.函数y的值域是.

|sinx||cosx\|tanx\|cotx|

【答案】{一2,0,4}

【分析】

先求函数的定义域，然后分象限讨论正负，即可.

【详解】

sinxcosxtanxcotxk7i

y=丽+国+扃+时的定义域为俨

2

当x为第•象限角时，sinx>0,cosx>0,tanx>0,cotA:>0,

sinxcosxtanxcotx,

・♦・y=--------1---------1---------1--------=4.

|sinx||cosx||tanx\|cotx\

当x为第二象限角时、sinx>0,cosx<0,tanx<0,cotx<0,

sinxcosxtanxcotx3

/.y=------7+]------7+1j------7+l------7——2.

|sinx\|cosx||tanx\|cotx\

当x为第三象限角时，sinx<0,cosx<0,tan%>0,cotx>0,

sinxcosxtanxcotx八

y=--------1---------1---------1--------=0.

|sinx||cos^||tanx||cotx\

当x为第四象限角时，sinx<0,cosA:>0,tanx<0,cotx<0,

_sinx+cosx+tanx+cotx_1

|sinx\|cos^||tanx||cotx|

故答案为：{—2,0,4}

三、解答题（共6小题，共70分）

17.（10分）从2020年1月起，我国各地暴发了新型冠状病毒肺炎疫情，某市疫情监控机构统计了2月11

日到15日每天新增病例的情况，统计数据如下表:

2月x日1112131415

新增病例人数y2526292831

其中2月11日这一天新增的25人中有男性15人，女性10人.

(1)为了调查病毒的某项特征，对2月11日这一天的25人按性别分层抽取5人，求男性、女性分别被抽

取的人数；

(2)疫情监控机构从这五天的数据中抽取四天的数据作线性回归分析，若抽取的是12,13,14,15日这

四天的数据，求y关于x的线性回归方程$=邑:+a；

(3)根据(2)中所求的线性回归方程，从2月16日至少到2月几日，这几日新增病例人数之和开始超过

90?

【答案】(1)男性被抽取的人数为3,女性被抽取的人数为2；(2)》=1.4x+9.6；(3)从2月16日至

少到2月180.

【分析】

(1)先计算抽样比卷，再利用男性与女性人数乘以抽样比即可求解；

(2)先由表格中的数据计算；、亍，再由公式计算方和°的值，即可求出回归直线的方程；

(3)将x=16、17、18代入所求的线性回归方程，得出y值之和与90比较，即可求解.

【详解】

(I)由题意知2月11日这一天新增的25人中有男性15人，女性10人，

按性别分层抽取5名，则男性被抽取的人数为15x9=3,

25

女性被抽取的人数为10x—=2.

25

(2)由题可知工=13.5,亍=28.5,

6=(-1.5)X(-2.5)+(-0.5)x0.5+0.5义(-0.5)+1.5x2.54

”(-1.5>+(-0.5)2+O.52+I.52-'，

a=y—5x=28.5-1.4x13.5=9.6，

所以，关于x的线性回归方程为9=L4x+9.6.

（3）由（2）可知，当x=16时，3=1.4x16+9.6=32,

当x=17时，3=1.4x17+9.6=33.4,

当x=18时，2=1.4x18+9.6=34.8,

因为32+33.4=65.4<90,32+33.4+34.8=100.2>90.

所以从2月16日至少到2月18日，这三日新增病例人数之和开始超过90.

18.（12分）某学校高一年级组，在本学期期中考试之后，为了制定更好、更切合实际的教学计划，需对该

年级学生本次考试成绩作详尽分析.故按频率组距男女比例，使用分层抽样的方法随机抽取了该年级总人

数的1学生数〃作样本，将他们的总分换算为百分制后，最低分20分，最高分90分，现在以10分为组距

3

分组，并整理绘制成了频率分布直方图（如图）.已知该年级学生男女比例为13:12,样本中人数最多的分

数一组有200人.

（1）①从抽取的〃人中随机抽取一人，估计其分数低于50分的概率；

②求"的值和估计该年级的男生、女生人数；

（2）若前三组学生人数比例为5：9：11,由样本估计总体，用各组的中间值代替该组的平均值，试估计该

高一年级本次期中考试的平均成绩（换算后的百分制成绩）（精确到个位）.

【答案】（1）①0.1；②500；（2）69.

【分析】

（1）由频率分布直方图可计算出分数低于50分的概率，由最高频率一组的人数可计算出；

（2）先求出前3组的频率，然后由每组中间值乘以频率相加可得平均成绩.

【详解】

（1）①由频率分布直方图知分数不低于50分的概率为0.1+0.2+0.4+0.2=0.9,所以低于50分的概率

为P=l—0.9=0.1；

②由已知〃=期=500.

0.4

（2）因为前三组学生人数比例为5:9:11,前三组频率和为0.1,

59

所以笫一组频率为一--x0.1=0.02,第二组频率为---x0.1=0.036,第三组频率为

5+9+115+9+11

11

x0.1=0.044,

5+9+11

估计平均值为25x0.02+35x0.036+45x0.044+55x0.1+65x0.2+75x0.4+85x0.2^69.

19.（12分）如图，已知在AOCS中，A是C3的中点，。是线段08的靠近点3的三等分点，QC和OA

交于点E，设双=7丽=5.

（1）用力和B表示向量无，床.

(2)若of=aOA,求实数2的值.

__5-4

【答案】(1)OC=2a—b»DC=2a——b；(2)/I=~.

【分析】

____2__

(1)根据向量运算法则可得反=2砺一砺，=—即可表小；

(2)设尻=〃反(〃>0),通过向量运算可化简得出0£=2〃&+(§-§〃明，即可求出.

【详解】

(1)•••OC=OB+BC=OB+2BA=OB+2(OA-OB)=2OA-OB,

OA=a,OB-h,OC=2d-b>

——--►—►—►2­►----一2一5-

•••DC=OC-OD=OC——OB,：.DC=2G—b一一b=2G一一b.

333

(2)设诙=(〃:>0),

OE=OD+DE=OD+/nDC=OD+〃(0。-OD)=(1-〃)0方+juOC

__2__2____25

•••OD=-bB=-b,OC=2a-b,：.OE=2pa+(---p)b

又OE=20A=，且ZB不共线.

所以由平面向量基本定理知：2=2//,--^=0,

33

/.A=-.

5

【点睛】

关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是根据向量的运算法则将向量用规定的基底表

示出来.

7T

20.(12分)已知函数/(x)=Asin(0x+e)(A>O,。>0,|°|<乃)，在同一周期内，当％=一时，/*)取

12

7万

得最大值4；当％=—时，f(x)取得最小值T.

12

(1)求函数/。)的解析式；

777FA

(2)若xer，工时，函数心)=7/(#+1一有两个零点，求实数f的取值范围.

【答案】(1)/(x)=4sin(2x+1J；(2)re(-27,1-14^]U(1+1473,29).

【分析】

(1)根据正弦型函数的性质得出A=4,T=万，由周期公式得出。=2,由函数的最大值得出

-+(p=-+2k7C,keZ,结合|同〈万，整理得出该函数的解析式；

62

⑵将函数〃(x)的零点转化为方程4sin(2x+(1=—在区间W)上有两个实根，由xe-鼠)

兀「2乃2乃、,「2乃2乃、t—\

得出+--—,结合函数丫=$抽》在区间一-丁上的单调性，确定----的范围，整理

3L33J33J7

得出实数r的取值范围.

【详解】

(1)由题意知A=4，--------=一,得周期T=TF,co——-2

212122T

71

当x=2时，f(x)取得最大值4,即4sin|2x=+。|=4,得sin+(p=1,

12112J

JTTTjr

得一+0=—+2k兀,%£Z,得夕=§+2攵肛Z£Z,

62

7T

又Q|0|<»,.•.当人=0时,69=—,

3

即/(x)=4sinf2x+yj.

—,~7j上有两个实根，即方,程4sinf2x+--j=-在区间

(2)由已知〃(x)=7/(x)+l-，=0在区间

7171

~2~6上有两个实根.

2乃71（7171[71

由于函数y=sinx在区间一--上单调递减,在区间一彳,二上单调递增,在区间不~7■上单

32122123J

调递减,

又当2、+会音忖，4T号卜-2B当2X+A4时,4吁升_4

当2%+巳=匹时，4sin-=4,当2x+^=Z生时，4sin—=2A/3,如图所示:

又方程有两个实根，.•.宁行]或—e（2g,4）

得闻-27,1-1响或阿1+14后291

即实数f的取值范围是：Ze（-27,l-1473］U（1+146,29）

【点睛】

易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性侦求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运

算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题.

21.（12分）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点A（1,O）

同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过。角，黑蚂蚁每秒爬过夕角（其中0°<&</?<180°）.如果两只

蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限.

（1）求a,0的值.

（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变,若红蚂蚁从点A苧町针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A飒町砂匀速爬行,

求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离.

【答案】（1）a理］，£=（理］;（2）-n:cm.

\77I7J5

【分析】

（1）根据题中条件，先设14a=公360°（%eZ）,14/7=加召⑨乂加6Z），再由两只蚂蚁在第2秒时均

位「第：象限.0<«</?<180.列出不等真求解.得租加向俏，即可得出结果；

（2）先设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为/秒，根据题中条件求出f,根据弧长的计算公式,

即可求出结果.

【详解】

（1）由题意可得，14a与14月都是360的整数倍，

不妨设14a=A>360°(左eZ),14^=m-360°(/neZ),

kryi

则a=t/80°(左wZ),^=--ISO^meZ),

乂两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，

-2k[77

f90<2a<18090<T•18。'<18。。(丘Z)-<k<^k.Z)

所以V「即〈c，所以〈:r

90<2/?<180cc-2"?/\77/、

【90<----180<180(mZ)—<zw<一wZ)

[7v7[42V7

因为0°<a<£<180",所以左<加，所以％=2,m=3.

360540、°

即&=I，B=

(2)两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行,

设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为f秒,

36054014

则(。+4)=360°,即+”360°,解得『=不，

所以红蚂蚁爬过的角度为ar=144°，

因为圆的半径为1cm,

14404

所以红蚂蚁爬过的距离为匕一-2万-1==万cm.

36005

【点睛】

关键点点睛：

求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到14a与14月都是360°的整数倍，利用题

中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.

22.(12分)已知万=(2cosx,l),B=(bsinx+cosx,-l),函数=

71

(1)求函数/(X)在区间0,-上的最大值和最小值;

/\87171

(2)若/(%)=二,又0£—,求cos2%的值;

712万

(3)若函数y=