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福建省漳州市万安中学高一数学文联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设,,,由的大小关系为(
)A. B. C. D.
参考答案:D2.设全集U=R,集合A={x|x<0},B={x|﹣1<x<1},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x<﹣1}B.{x|x<1}C.{x|0<x<1}D.{x|﹣1<x<0}参考答案:D3.在同一直角坐标系中,表示直线与正确的是()
A.B.C.D.参考答案:C略4.若向量,则等于
(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B5.函数(
)A.是偶函数,且在上是单调减函数B.是奇函数,且在上是单调减函数C.是偶函数,且在上是单调增函数D.是奇函数,且在上是单调增函数参考答案:D6.设,则满足方程的角的集合是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略7.已知一个实心铁质的几何体的主视图、左视图和俯视图都是半径为3的圆,将6个这样的几何体熔成一个实心正方体,则该正方体的表面积为.
.
.
.参考答案:A8.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为4m2,互相平行的两个侧面的距离为2m,则这个六棱柱的体积为()A.3m3 B.6m3 C.12m3 D.15m3参考答案:B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题意,设正六棱柱的底面边长为am;高为hm;从而可得2ah=4,a=2,求出a,h,从而求出这个六棱柱的体积.【解答】解:由题意,设正六棱柱的底面边长为am,高为hm,∵正六棱柱的最大对角面的面积为4m2,互相平行的两个侧面的距离为2m,∴2ah=4,a=2,解得,a=,h=,故V=Sh=6××()2×sin60°×=6(m3)故选:B.9.(5分)若函数f(x)=logax(0<a<1)在区间上的最大值是最小值的3倍,则a等于() A. B. C. D. 参考答案:A考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质.专题: 计算题.分析: 由函数f(x)=logax(0<a<1)不难判断函数在(0,+∞)为减函数,则在区间上的最大值是最小值分别为f(a)与f(2a),结合最大值是最小值的3倍,可以构造一个关于a的方程,解方程即可求出a值.解答: ∵0<a<1,∴f(x)=logax是减函数.∴logaa=3?loga2a.∴loga2a=.∴1+loga2=.∴loga2=﹣.∴a=.故选A点评: 函数y=ax和函数y=logax,在底数a>1时,指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数,当底数0<a<1时,指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数,而f(﹣x)与f(x)的图象关于Y轴对称,其单调性相反,故函数y=a﹣x和函数y=loga(﹣x),在底数a>1时,指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数,当底数0<a<1时,指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数.10.已知点满足条件则的最小值为()A.9 B.-6 C.-9 D.6参考答案:B试题分析:满足约束条件点的可行域,如图所示由图可知,目标函数在点处取得最小值,故选B.考点:线性规划问题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数,若方程仅有一根,则实数k的取值范围是
.参考答案:由分段函数y=f(x)画出图像如下图,方程变形为f(x)=k,仅有一根,即函数y=f(x)与y=k两个图像只有一个交点。由图可知或k=1。
12.设集合A={﹣1,1,2},B={2,3},则A∩B=.参考答案:{2}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:利用交集的性质求解.解答:解:∵集合A={﹣1,1,2},B={2,3},∴A∩B={2}.故答案为:{2}.点评:本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题.13.若,且,则__________参考答案:14.已知数列{an}满足,若{an}为单调递增的等差数列,其前n项和为,则__________,若{an}为单调递减的等比数列,其前n项和为,则n=__________。参考答案:
370,615.已知等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7·a14的最大值为_________.参考答案:2516.设的大小关系为
.参考答案:解析:令,
上均增函数,又在,由题设有
所以y3的零点在(0,)之中,y2的零点在(,+∞)之中,于是.
17.设函数的定义域为.如果对任意,都存在常数,使得,称具有性质.现给出下列函数:①;②;③;④.其中具有性质的函数序号是__________.参考答案:①②③对于①,可取;对于②,可取;对于③,可取;对于④,函数的值域为,故不存在满足题意,故正确答案为①②③.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.是否存在实数a,使函数f(x)=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为4,若存在,则求出对应的a值;若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】化简函数f(x),分a≤﹣1时,﹣1<a<1时,a≥1时,利用函数的单调性即可求出答案.【解答】解:f(x)=cos2x+2asinx+3a﹣1=1﹣sin2x+2asinx+3a﹣1=﹣sin2x+2asinx+3a=﹣(sinx﹣a)2+3a+a2,sinx∈[﹣1,1],令sinx=t,t∈[﹣1,1],∴f(t)=﹣(t﹣a)2+3a+a2对称轴为t=a,当a≤﹣1时,函数f(t)在[﹣1,1]上是减函数,∴f(x)max=f(﹣1)=a﹣1=4,解得a=5,舍去当﹣1<a<1时,函数f(t)在[﹣1,a]上为增函数,在(a,1)上为减函数,∴f(x)max=f(a)=3a+a2=4,解得a=1或a=﹣4,舍去,当a≥1时,函数f(t)在[﹣1,1]上是增函数,∴f(x)max=f(1)=5a﹣1=4,解得a=1,综上所述,存在实数a=1,使函数f(x)=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为419.(本小题满分10分)已知集合。(1)求,;(2)已知,求.参考答案:(1),(2)=20.(14分)经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t的函数,且销售量g(t)=80﹣2t(件),价格满足(元),(1)试写出该商品日销售额y与时间t(0≤t≤20)的关系式;(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.参考答案:考点: 函数模型的选择与应用.专题: 计算题.分析: (1)日销售额y=销售量g(t)×商品价格f(t),代入整理即可;(2)由(1)知,去掉绝对值,得到分段函数y=;在每一段上求出函数y的取值范围,从而得函数y的最大值与最小值.解答: (1)日销售量函数y=g(t)?f(t)=(80﹣2t)?=(40﹣t)(40﹣|t﹣10|)(2)y=当0≤t<10时,y=﹣t2+10t+1200,且当t=5时,ymax=1225,∴y∈;所以,该种商品的日销售额y的最大值为1225元,最小值为600元.点评: 本题考查了含有绝对值的函数的应用模型,在遇到含有绝对值的函数时,通常转化为分段函数来解答.21.(12分)A、B、C、D、E五位学生的数学成绩x与物理成绩y(单位:分)如下表:x8075706560y7066686462(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归方程=x+;(参考数值:80×70+75×66+70×68+65×64+60×62=23190,802+752+702+652+602=24750)(2)若学生F的数学成绩为90分,试根据(1)求出的线性回归方程,预测其物理成绩(结果保留整数).参考答案:考点: 线性回归方程.专题: 应用题;高考数学专题;概率与统计.分析: (1)分别做出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出b的值,再做出a的值,写出线性回归方程,得到结果;(2)x=90时,代入回归直线方程,即可预测其物理成绩.解答: (1)因为,(1分),(2分),(3分)(4分)所以,(6分).(7分)故所求线性回归方程为.(8分)(2)由(1),当x=90时,,(11分)答:预测学生F的物理成绩为73分.(12分)点评: 本题考查变量间的相关关系,考查回归分析的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.22.(本小题满分8分)
设是实数,(1)
证明:不论为何实数,均为增函数(2)
试确定的值,使
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