2020-2021学年人教A版（2019）高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷六（人教A版（2019））解析版

2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷六

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中

高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（）

A.900B.1200C.1500D.1800

【答案】B

【解析】由题意知，高三年级抽取了：100—26—24=50人，

高三年级抽取的人数占总抽取人数的比例数为：包=0.5

所以该校学生总人数为：上二=1200人,故选：B.

0.5

2.若复数Z满足z（i-l）=2i（?,是虚数部位）,则下列说法正确的是（

A.z的虚部是一，B.Z是实数c.|z|=V2D.z+z=2i

【答案】C

对选项A,z的虚部是一1，故A错误.

对选项B,z=l-i为虚数，故B错误.

对选项C,同=J12+（_］）2=叵，故c正确

对选项D,z+5=l—i+l+i=2,故D错误.故选：C

3.在平行四边形力及力中，点后为切的中点，龙与〃1的交点为£设丽=G,AD^b）则向量丽=

B.—ci-----b

3333

——a+—b

33

【答案】C

【解析】如图:

DEC

所以丽=2而=2（就+屈）=2]日_]_7]=_]_汗+25

故选：C.

33312）33

4.某5个数据的均值为10,方差为2,若去掉其中一个数据10后，剩下4个数据的均值为输，方差为

则()

A.x=10，/<2B.%=10，s2>2

C.x>10»s2<2D.%>10，s2>2

【答案】B

【解析】设原数据的均值和方差分别为工,设10是第5个数据，

所以玉=演+电+；+%+10=10,..，入]+W+X3+X4=40.

由题得x=-——-——--=—=10.

44

22222

由题得sj=([(为_10)+(x2-10)+(x3-10)+(x4-IO)+(10-10)]=2,

所以s：=([(玉-10)2+(%-IO/+(X3—IO)?+(%-10)2]=2，

所以=][(X]—10)-+(工2—1°)~+(£—1°)-+(犬4—1。)-]>2,故选：B.

5.已知一个圆锥的母线长为4,且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()

71

n3万62九z

AA.71B.—C.—D.—

232

【答案】A

【解析】不妨设圆锥的底面半径为人母线长为/，高为〃，

।hjr

根据题意，则4x-x2〃?=;r/7,所以一=一,

2I4

解得力=乃.故选：A.

6.在平面直角坐标系xOy中，点将向量而绕点。按逆时针方向旋转]后得到向量而，则点

。的坐标是（）

A.^2,ljB.（-C.（―\/3,ljD.卜1,6)

【答案】D

【解析】由P（6,l）,得「（2cos^,2si吟），

___7T----

•••将向量OP绕点。按逆时针方向旋转彳后得到向量。。，

Q（2cos任+A，2sin任+工]],

I162）[62））

£.'n7TKA/3

sin--1■=cos—=——>

21(6262

2（-l,V3）,故选：D.

7.已知平面。与£所成锐二面角的平面角为80°,P为明£外一定点，过点一的一条直线与。和£所成的

角都是30。，则这样的直线有且仅有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【解析】如图，过尸作a，尸的垂线PCP。，其确定的平面与棱/交于Q,若：血角为80"，A3与平面

a,月成30。角，则NCP0=1（X），AB与尸CP。成60角，因此问题转化为过2点与直线PC,尸。所

成角为60,的直线有几条.

•.•幽<60,亚<60,所以这样的直线有4条.故选：D

22

8.在AABC中，角4,5,。所对的边分别为.,反。满足，加+。2-。2=从，ABBC>0,a=—>则h+c

2

的取值范围是（)

_]_3

A.C.D.

252

【答案】B

+C?—CTT7,2?2i

【解析】由余弦定理有:cosA=---------------，又tr+c-a=bc

2bc

故c°sA="*be_1

2bc2^c~2

7T

又4为三角形的内角，故A=一

3

V3.2_b

又

ar''"sinB-sinC-sin(1200-B)

V

又而灰=|丽H阮|cos(%-8)>0

故cosB<O:.B为钝角

:.b+c=smB+sin(l200-B)=-sinB+—cosB=>/3sin(B+30")

22

・・・3w（9（r/2（r）,可得

B+30〃e(120°,150°)sin(B+30")e

.-./?+c=V3sin(B+30°)e，故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2020年1月18日，国家统计局公布了2020年度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图，已知2020年

度和2019年度居民在“其他用品及服务”中人均消费支出大约分别为462元和524元，现结合2019年度

居民人均消费支出情况，下列结论中正确的是（

（2020年全国居民人均消费支出及构成）（2019年全国居民人均消费支出及构成）

A.2020年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率比2019年度的高

B.2019年度居民人均消费支出约为21833元

C.2019年度和2020年度居民在“生活用品及服务”项目上的人均消费支出相等

D.2020年度居民人均消费支出比2019年度居民人均消费支出有所降低

【答案】ABD

【解析】2020年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率为30.2%,2019年度居民在

“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率为28.2%<30.2%,即A选项正确；

524

2019年度居民人均消费支出约为-----a21833元，即B选项正确；

2.4%

524

2019年度居民在“生活用品及服务”项目上的消费约为——x5.9%al288元，2020年度居民在“生活

2.4%

用品及服务”项目上的消费约为f—x5.9%=1239声1288元，即C选项错误；

2.2%

462524

2020年度居民人均消费支出为——=21000元，2019年度居民人均消费支出为——=21833元，

2.2%2.4%

21000<21833,即D选项正确；

故选：ABD.

10.在比△4比中，切是斜边46上的高，如图，则下列等式成立的是（）

A.|AC|2=AC-ABB.|BC|2=

（ACAB）x（BABC）

C.|AB|2=AC-CDD.

【答案】ABD

【解析1由衣月=|恁，丽卜os4=|AO|gW，由射影定理可得AC2=ACAB,

即选项A正确，

由丽•反|丽||反*OSB=|B4||BM由射影定理可得BC2=BABC，

即选项B正确，

由衣.丽=|才6，而卜os（;r-NAC0）＜O,又|而（＞0,即选项C错误，

由图可知Rt/^ACD三Rt/^ABC,所以|AC|怛C|=|AB||CD|,

_2（记码x停灰）

由选项A,B可得CD-------凸-------即选项D正确，故选ABD.

AB

11.以下对各事件发生的概率判断正确的是（）

A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为,

3

B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12=5+7,在不超过15的素数中随机选取两个不

同的数，其和等于14的概率为、

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是▲

36

D.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出产品全是正品的概率是!

2

【答案】BCD

【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现

一正一反的概率P=—=',故A不正确；

42

B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13,共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含（3,11）,

11

则概率为尸D=方=«,故B正确：

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,

共5种，所以点数之和为6的概率尸=之，故C正确；

C21

D.由题意可知取出的产品全是正品的概率故D正确.故选：BCD

C：2

12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-\B,CXD,中，点P是棱CR上一动点（与C.C,不重合），点后为点

C在平面ABC。上的正投影，点尸在平面ABC。上的正投影为点0,点0在直线切上的正投影为点凡

下列结论中正确的是（）

A.BCJ_平面气产B.您与劭所成角为30。

1勾

C.线段逐,长度的取值范围是5句D.存在点〃使得尸产//平面A4G。

【答案】ACD

【解析】如图所示:

对于A,由题意，点£■为G。的中点，过点〃作直线垂直/G。，则垂足为0，过0作直线垂直于切，则

垂足为E故平面PQE即平面CGA。，又BC，平面CG2。，即平面尸牝故正确.

对于B,CE//A.B,乙4,80为所求，又AA^BD为等边三角形,故四与切所成角为60°,故错误.

对于c,当尸ELCG时，线段也最短为：co=!；当点。与屐G重合时，PE为旦，又点。与CC不

222

F1⑺

重合，故线段加长度的取值范围是5，宁，故正确.

.27

对于D,若PF//平面ABC。，又平面AgGOn平面CG2D=G。，PEu平面CG2。，则

PF〃C、D,设0,PQ//CE,。在线段G。上.，簿二差=”•馈=器与

DQ_C1D-£Q_l_xxx2

CQC,D2,乂。DCCQCC1----=—,x=一，；.点"为棱CC、

t213

上靠近C的三等分点，故正确.故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是瓦月,且瓦月

与水平夹角均为45°,园=|q=108N,则物体的重力大小为—

【答案】20

【解析】由题意知I@=IE+EI.用E的夹角为］

所以|存包耳+&2=|及『+2国|引cos|^+|月T

所以后『=200+0+200=400.

所以|G|=20.故答案为:20.

14.欧拉公式e'z=cose+isine（e是自然对数的底，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它

将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若表示的复数对应的点在第二象

限，则口可以为—

【答案】y

TT27r37r11TT

【解析】根据欧拉公式J°=cose+isine，把。=二•、丁、二、丁-代入，求出8°，即可得到正确答案.

根据欧拉公式可得e"=cosa+isina，

当a=£时，e'3=cos2+isinH=L+"j，复数对应的点在第一象限;

33322

当a=g（H，e^=cos—+zsin—=--+^z，复数对应的点在第二象限;

33322

当时，e'2=cos—+zsin—=0-z,复数对应的点在y轴负半轴上；

222

当a="工时，e'V=cos—+zsin—=---/，复数对应的点在第四象限.

66622

故答案为：事27r

15.在AABC中，角口出（所对的边分别为卜也c,若a=3,c=1,sin2A=sinC,则福.前

【答案】工

2

【解析】

:.^±^=L/=3

sin2A=sinC/.2sinAcosA=sinC2acosA=ccosA=一

62bc6

―►―«111

ABAC=》ccosA=3xlx—=—,故答案为：一

622

16.已知三棱锥P—ABC的四个顶点都在球。的表面上，~4_L平面A8C,24=6,AB=2»,AC=2,

BC=4,则球。的半径为：若。是3C的中点，过点。作球。的截面，则截面面积的最小值是

【答案】(1).V13(2).4万

如图所示：由题意知底面二角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径r=——=2,

2

pA

过底面外接圆的圆心。'作垂直于底面的直线，则球心。在该直线上，可得OO'=」=3,

2

连接。4,设外接球的半径为R,所以R2=，+oo,2=22+32=i3,解得R=J行.

若。是8c的中点，D,0,重合，过点。作球。的截面，

则截面面积最小时是与OO'垂直的面，即是二角形ABC的外接圆,

而三角形ABC的外接圆半径是斜边的一半，即2,所以截面面积为万.22=4万.

故答案为：V1314万

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解

答如下问题：

568

62335689

71223456789

8

958

（D求分数在［50,60）的频率及全班人数；

（2）求分数在［80,90）之间的频数，并计算频率分布直方图中［80,90）间的矩形的高.

【答案】（1）25；（2）0.016.

【解析】（1）分数在［50,60）的频率为0.00810=0.08,由茎叶图知：分数在［50,60）之间的频数为2,

所以全班人数为二一=25.

0.08

（2）分数在［80,90）之间的频数为25-2-7-10-2=4,

4

频率分布直方图中［80,90）间的矩形的高为一+10=0.016..

25

18.在AABO中，|。川=6,|。q=3,且说与0月的夹角为60",~BP=2PA-

（1）求丽•福的值;

（2）若丽=38，PQ=xOA+yVB,求乂丁的值.

【答案】（1）—9；（2）x=y=—.

4

【解析】选取向量幅，丽为基底.

（1）由已知得而=砺+丽=丽+:丽=砺+:（西一而）=.砺砺,

AB=OB-OA^

.•.而.丽=（；丽+；砺）（而一可

2

=AOA+LOB+LOA.OB

442

=-12+1+2

=—9.

（2）由（1）得尸0=。。一。户=」。印一3。4一,。方=一,画一』。月，

24444

又PQ=xOA+y・OB，

1

.・x=y=—.

4

19.①百cos6=2-2sincost,②#）bsinC=ccos8，③（6+。）（。一4）=。2一布＞ac三个条件中任

选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：已知AA8c的三边。，b,c所对的角分别为A，B,C,若。=4,c=y/3h，求AAbC

的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析.

BB

【解析】选①：由Gcos6=2—2sin5cos万得sinB+J5cosB=2，

即sin（3+?）=l,因Bw（O,4）,所以B=

选②：山正弦定理得得Gsin8sinC=sinCeosB，因为sinCwO,

所以sin8=cosB.

因为8SBHO,所以tanB=且.因为3e（0,乃），所以8=工.

36

选③：由题意得。2+〃—〃=岛0,得cosB=m-=虫竺=苴

lac2ac2

因为340,万），所以6=g.

6

又因为孚g=5=所以sinC=J^sinB=6x」=YI.

sinb22

由C«0,〃），所以。=（或。=与.

当C=巳H寸，A=~,又因为a=4,所以力=2,c=2百.

32

则面积S='x2x28=26.

2

当c=2工时，A=工，所以A=3.又因为〃=4,所以匕=4.

36

则面积S=！x4x4x也=4百.

22

综上所述，AABC的面积为2石或46.

20.如图，在四棱锥P—ABC。中，AO,平面PDC，AD\\BC,PD±PB，AD=l，BC=3,8=4,

PD=2.

(I)求异面直线AP与8c所成角的余弦值；

(II)求证：平面P8C；

(III)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(I)好.(II)见解析；(III)史.

55

【解析】(I)如图，由日知4"/比；故NZMP或其补角即为异面直线与比1所成的角.

因为初J_平面PDC,所以ADA.PD.

在RtZX/YM中，由已知，得4尸=JAC?+尸£)2=也,

故cosZDAP=-

AP5

所以，异面直线45与比1所成角的余弦值为逝.

5

(H)证明：因为4〃_L平面PDC,直线PDU平面PDC,所以ADVPD.

又因为留”〃，所以PD上BC,

又PD1PB,BCcPB=B

所以加_L平面必C.

（III）过点〃作48的平行线交比■了点尸，连结朋

则加与平面阳C所成的角等于AB与平面小所成的角.

因为加，平面PBC,故PF为〃尸在平面夕比上的射影，

所以NDFP为直线〃尸和平面W所成的角.

由于4Y/6GDF//AB,故掰4介1,

由己知，得上BC-B产2.

ADVDC,椒BCLDC,

在RtA/F中，可得DF=/C»+CF?=26，

在Rl△〃件中，可得sinNDFP=£2=@.

DF5

所以，直线儿?与平面脸所成角的正弦值为好.

5

21.某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商

城己售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期

内的数据如下:

型号甲乙

首次出现故障

0〈不，11v兀，22V不，30v不，11<片,22<工,3

的时间x（年）

硬盘数（个）212123

假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.

（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率;

（2）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各