三角形中位线定理的运用例谈版-含解析点评和练习设计

2017-2018下学期八年级数学专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用；下面我精选一部分 “含”三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为 中点四边形.中点四边形是有规律可循的.中点四边形的特殊性主要是看C图（1）原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况:C⑴.原四边形的对角线既不相等也不垂直，其中点四边形是个一般的 平行四边形.如图⑴，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边的中点，试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点E、F、GH分别是ABCD的四边的中点易知：EHPBD,GFPBDEHPGF1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系同理：HGPEF;故中点四边形EFGH的形状是平行四边形.（还有其它方法证明）如图点D、E、F分别是"ABC的三边BC、CA、AB的中点，"ABC的周长的关系？分析：点D、E、F分别是"ABC的三边BC、CA、1 1AB,DFAC,2 21EF丄BC,DE2请探究"DEF的周长⑵.原四边形的对角线相等但不垂直，其中点四边形是个 菱形.如图⑵，点E、F、GH分别是四边形ABCD的四边的中点，且ACBD,试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点E、F、G、H分别是ABCD的四边的中点易知：易证点四边形 EFGH的形状是平行1 1四边形，由EH-BD,EF-ACEHEF;故中点四边形EFGH是个菱形.2 2二EFDEDF（BCACAB）2所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半追踪练习：以上面的图为例，若"DEF的周长为23cm，则"ABC的周长为⑵.面积关系如图点D、E、F分别是"ABC的三边BC、CA、AB的中点，请探究"DEF的面积与"AB（的面积关系？略析：根据三角形中位线定理可以得出AEB1EFPBC,DFPAC,DEPAB;EFBC,DF2定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出|aC,DE丄AB,再利用线段中点的Vdef、Vafe、Vfbd、Vdec是全等的，故它们的面积是相等的，贝yS"ABC=4S"DEF.所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的4说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了追踪练习：以上面的图为例，若"AB（的面积为42cm2，则"DEF的面积为—.⑶.原四边形对的角线垂直但不相等，其中点四边形是个 矩形.如图⑶，点E、F、GH分别是四边形ABCD的四边的中点，且ACBD试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点E、F、G、H分别是ABCD的四边的中点易知：易证点四边形 EFGH的形状是平行四边形，由EHPBD,EFPAC可以进一步推得HEF90°,故中点四边形EFGH是个矩形.⑷.原四边形对的角线既垂直又相等，其中点四边形是个 正方形.如图⑷，点E、F、GH分别是四边形ABCD的四边的中点，且ACBD,ACBD，试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由⑵和⑶的方法推理易得点四边形 EFGH既是菱形又是矩形，故中点四边形EFGH是个正方形. （还有其它方法证明）追踪练习：顺次连结平行四边形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ;顺次连结矩形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ;顺次连结菱形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ;顺次连结正方形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ;顺次连结对角线互相垂直等腰梯形的四边中点所构成的中点四边形的形状是 .中点四边形.连结AF延长交BC的延长线CGAD在VABG中，由HEPGF,HEGF.⑵..连结AF延长交BC的延长线CGAD在VABG中，由HEPGF,HEGF.⑵.再取中点，连成中位线例1.如图，D为"ABC的边AB的中点,B826.CE-AC,OE2,求OE3，点O为ACDBD的三角形的中位线与梯形⑴.连结梯形两腰中点的线段（梯形的中位线）与两底的关系如图，梯形ABCD中，ADPBC,E、F分别是两腰ABDC的中点，请探究EF与AD、BC的关系•分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决于G点•根据题中条件易证VADF也VGCF,得：AFGF,1AEBE,AFGF可以推出EFPBG,EFBG.2可以进一步得出： EFPBC,EFPAD,EF-ADBC2结论：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一⑵.连结梯形两对角线中点的线段与两底的关系如图，梯形ABCD中，ADPBC,BCAD,E、F分别是两对角线AC、BD的中点，请探究TOC\o"1-5"\h\zEF与AD、BC的关系. A D分析： 广、O”\本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决 .连结ie「 、DF延长交B（于M点.根据题中条件易证Vadf也VCMF得::/ “DFMF,CMAD.在VDbM中，由DEBE,DFMF可以B MC推出EFPBM,EFBM.可以进一步得出： EFPBC,EFPAD,EF BCAD.22结论：连结梯形两对角线中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半点评：本例通过连接、延长使"ECF也"ADE可以看作是是把"ADE进行切割填补到"ECF处，相当于通过“割补”办法构成三角形，从而使问题 解决！追踪练习：若一梯形的高为h，其中位线长为m，则此梯形的面积为以上面的⑵题为例的条件的基础上，若增添梯形 ABCD的中位线长为14cmEF8cm，求梯形ABCD的两底AD、BC的长分别是多少？巧添三角形的中位线来破题添三角形中位线是几何图形辅助线比较常见的辅助线 .已知三角形边上的中点，直接连结构成中位线是最常见的添中位线的方式，也是同学们容易想到的；上面第 3点可以可以看作是害际卜构成中位线这里不举例；下面这些例子添三角形中位线的途径有些有一定的技巧性，希望能给同学们从中得到一些启发.⑴.补全三角形，得到三角形的中位线 .例.如图E、F、G、H分别是AB、BD、CD、CA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：本题求证的是四边形EFGH是平行四边形，需要有平行或相等的条件；由本题中点条件自然联想到由三角形的中位线来提供这样的条件，但有中点却没有现成的三角形的中位线；细心同学会发现中点之所在的线段并非是某完整三角形的边，如果我们连结AD或BC问题便解决了.如图，当连结BC后，在VAbC和VdBC，由于E、F、G、H分别是ABBD、CD、CA的中点，根据三角形的中位线定理可得：1 1HEPBC,GFPBC;HE-BC,GF-BC.2 2故四边形EFGH是平行四边形.分析：在三角形的一边上有一中点，根据条件很容易再取一中点来连结而成三角形的中位线来解决问题.在VaBE中，又由于D为AB的中点，根据三角形的中位线定理可得：BE2DF,DFPBE;因为已得出E为线段CF的中点，根据平行线等分线段（属于选学内容）可以得出 O为线段CD的中点，即OE为VCDF的中位线，所以DF2OE,BE2DF4OE8；所以OBBEOE例2.四边形ABCD中，对角线ACBD,E、F分别为AB、DC的中点交点，M、N为EF分别与DB、AC的交点，求证：OMON分析：本题的E、F分别为ABDC的中点，但并非为某三角形和梯形（四边形ABCD没有告诉是梯形）的中位线，本题的 E、F分别为AB、DC的中点，若化在VABC和VABC来看，它们有一公共边，若在公共边BC取一中点G,连结GE、GF（见图示），此时GE、GF就分别是Vabc和Vabc的中位线，根据三角形的中位线定理可得：且GE AC,GF BD:又ACBDGEGFGFEGEF;•/GEPAC,GFPBD22ONEGEF,OMF GFE;ONEOMFOMON.例3.M、N分别为AD、BC的中点，且ABCD;求证:12.分析：本题要证明的是两个角相等，而两个角相等的直接条件没有，再加上在图形上两个角的位置上有比较分散，所以我们应思考把分散位置上的 1、2转化在一起，很容易联想到由平行线来帮忙.由本题有线段中点的条件，所以可以尝试 再取一中点连成三角形的中位线来提供平行线略证：如图，连结AC,取出线段AC的中点E.A又GENE//21HNECMNA往往有可能是BCM（包括特殊AMEEECD是平行四边形AECBCADFCBEE为BCAD平分BACACMCD交AB追踪练习CE□垂足分别为F为AN的中例3例2⑶.挖出隐含的中点构成中位线的中点，求证DE//ABF、G"ABC中GF//BCBD、CE分别平分CDADAFBD,AGCE5•三角形中位线的实际应用举例例A又GENE//21HNECMNA往往有可能是BCM（包括特殊AMEEECD是平行四边形AECBCADFCBEE为BCAD平分BACACMCD交AB追踪练习CE□垂足分别为F为AN的中例3例2⑶.挖出隐含的中点构成中位线的中点，求证DE//ABF、G"ABC中GF//BCBD、CE分别平分CDADAFBD,AGCE5•三角形中位线的实际应用举例例•A、B两点被池塘隔开，现在要测出略解：在池塘外的空地上取一点CACB的中点分别为M根据是三角形的中位线定理怎样测量一座建筑底面是四边形地基（如右图房子）的 对角线的长?若不进入屋内直接测量有多少种测量方法？请画出线条示意图进行说明到同一个三角.另外例2和共同的1、 2“搬ABNEEMN//ABC、ACBO,FM//BE追踪练习1.如图，1.EM//求证：四边形分析：本题和例1问题得以解决•如图若我们延长VAFDSBC的中点”” /'FBD—带点F,根据题中条件容易证得VaDC,所以DFDC,即D为CF的中点；又E为，根据三角形的中位线定理可以得出DEPFB,即DEAD、BE、CF分别是"ABCC三边中线交于点BA.ADCM3.如图正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BAC的平分线交BD于点F求证：OF-CE2求证分析本题和例1、例2的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决•如图若我们分别延长AG、AF交BC于点M、N,根据题中条件容易证得VAGC也VMGC,所以AGMG,即G为AM的中点；同中位理可以得到点，根据三角形的线定理可以得出 DGPMN,即DGPBC.点评：隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些一道题破题的一个关键环节；我们同学有的虽然有这方面的知识积累这也难以找到破题的的途径•根据上面三道例题来看的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一、平行线等分线段、中垂线等等知识点的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使“隐藏的中点但却没有这方面的意识隐藏的中点要注意平行四边形2.如图，VaBC中，D为边BC上的一点，中线BE与线段AD交于的F,且1DF-AD，求BD:DC的值？3 .例1.如图，MEPAB,MEAB,D为线段EC的中点，A、M、D三点共线求证：四边形ABCD是梯形分析：证明四边形ABCD是梯形当然关键是证明有且只有一组对边平行，根据本题提供的条件就是要证明 ADPBC.提供平行线除了以前常用的方法，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径根据本题的条件已经有了D为线段EC的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点，连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的， 有的中点却是“隐藏”在图形中 ，需要用平时积累的知识使它现身•本题的MEPAB,MEAB可以得出：四边形ABME是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE与对角线AM的交点O就是线段的中点，在VEBC中，根据三角形的中位线定理可以得出 ODPBC,即ADPBC.C,用绳子“连结”CA、CB，测量后取出N，量出M、N之间的距离，此时AB2MN. （见右图图解）ENMCH,ME//BC ENM, 2EMN2F// .DVm5N\D\.e\BPABA、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？■ iA池塘 NM、N分别是线段AD、BC的中点CD,ME//AB即NE//CH,ME//BC1 1-CD,ME-AB2 2CDME~~E•/NE1•••1点评：本题在添加辅助线上有些技巧性，但如果能想到把位置分散的形中且要使它们相等来解决问题， 根据本题提供的条件这样的辅助线是应该想到的例3都有一个都一个共同的特点，要把问题转化到同一个三角形中，关键要找到或构造边的中点，例2的公共边BC的中点G和例3构造的公共边AC（对角线）的中点巩固练习：如图，已知四边形ABCD,R、P分别为DC、BC上的点，E、Fa分别是AP、RP的中点，当动点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是 （）A.线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变• D. 线段EF的不能确定10.如图，已知在口ABCD中，EF//BC,分别交AB、CD于E、1CE、BF交于N.求证：MN—AB.2小明作出了边长为3的第1个正"AiBiCi，算出了正"ABiCi，然后分别取三边的中点A、B2、C2，作出第二个正"AsB2C2，算出其面积；用同样的方法作出第三个正" A3B3C3,算出"A3B3C3面积……则第iO个正"AioBoCi。的面积为 （）11.已知：E为YABCD的边DC的延长线上的一点，且F、G，对角线AC