五年中考三年模拟九年级上数学北师大版

第1页/共45页[第1页第2题]如图1-1-1,四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,当△ABC满足什么条件时,四边形ABCD是菱形?请说明理由.图1-1-1[答案](答案详见解析)[解析]当△ABC为等腰三角形,即AB=BC时,四边形ABCD为菱形.理由如下:∵四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.又AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形.[第1页第3题](2012四川成都中考)如图1-1-2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是()图1-1-2A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC[答案]B[解析]A选项,菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC,本选项正确;B选项,菱形的对角线不一定相等,本选项错误;C选项,菱形的对角线一定互相垂直,所以AC⊥BD,本选项正确;D选项,菱形的对角线互相平分,所以OA=OC,本选项正确.故答案为B.[第1页第4题](2013湖南怀化中考)如图1-1-3,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC=()图1-1-3A.12B.9C.6D.3[答案]D[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,又∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=3.故选D.[第1页第1题]用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形[答案]D[解析]四条边相等的四边形是菱形.[第1页第6题](2013山东淄博中考)如图1-1-5,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为()图1-1-5A.78°B.75°C.60°D.45°[答案]B[解析]连接BD,∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,∵P为AB的中点,∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,∴∠PDC=90°,∴由折叠的性质得∠CDE=∠PDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°.故选B.[第1页第7题](2013江苏无锡中考)如图1-1-6,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于.

图1-1-6[答案]4[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=8,OD=BO,∵E是CD的中点,∴OE是△DBC的中位线,∴OE=BC=4.[第1页第8题]如图1-1-7,在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD面积为.

图1-1-7[答案]96[解析]由题意得AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,又AB=10,AC=16,∴OA=8.∴BO==6,∴BD=12,∴S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96.[第1页第9题](2013四川内江中考)如图1-1-8,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=.

图1-1-8[答案]5[解析]作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP、NP,此时MP+NP的值最小,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即Q在AB上,∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ,∵M为BC的中点,∴Q为AB的中点,∵N为CD的中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴NQ=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴CP=AP=3,BP=PD=4,在Rt△BPC中,由勾股定理得BC=5,即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5,故答案为5.[第2页第10题](2013广东广州中考)如图1-1-9,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AO=4,求BD的长.图1-1-9[答案](答案详见解析)[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴∠AEO=90°,∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.[第3页第16题]如图1-1-14①所示,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.①②图1-1-14(1)求证:CF=CH;(2)如图1-1-14②所示,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2.又∵AC=CE=CB=CD,∴△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∴∠A=∠D=45°.∴△ACF≌△DCH,∴CF=CH.(2)四边形ACDM是菱形.证明如下:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,∴∠1=45°,∠2=45°.易知∠E=∠B=45°,∴∠1=∠E,∠2=∠B.∴AC∥MD,CD∥AM,∴四边形ACDM是平行四边形.又∵AC=CD,∴平行四边形ACDM是菱形.[第4页第1题]如图1-1-25所示,已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?图1-1-25[答案](答案详见解析)[解析](1)四边形ADEF是平行四边形.在等边△BCE和等边△ABD中,BD=AB,BE=BC.又∠DBA=∠EBC=60°,∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA,即∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC(SAS),∴DE=AC=AF.同理,AD=AB=EF.∴四边形ADEF是平行四边形.(2)若AD=AF,则四边形ADEF为菱形,∴当△ABC满足AB=AC时,四边形ADEF为菱形.(3)由(1)可得∠BAC=∠BDE=60°+∠ADE.当∠ADE=0°时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在,此时∠BAC=60°.∴当∠BAC=60°时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.[第4页第2题]某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1-1-26①所示位置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图1-1-26②,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.(1)求证:AM=AN;(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?并说明理由.图1-1-26[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵∠α+∠EAC=90°,∠NAF+∠EAC=90°,∴∠α=∠NAF.又∵∠B=∠F,AB=AF,∴△ABM≌△AFN,∴AM=AN.(2)四边形ABPF是菱形.理由:∵∠α=30°,∠EAF=90°,∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°,∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°,∠F+∠BAF=60°+120°=180°,∴AF∥BC,AB∥EF,∴四边形ABPF是平行四边形.又∵AB=AF,∴平行四边形ABPF是菱形.[第4页第3题](2013福建泉州,16,★★☆)如图1-1-21,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC∶BD=1∶2,则AO∶BO=,菱形ABCD的面积S=.

图1-1-21[答案]1∶2;16[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AO=AC,BO=BD,AC⊥BD,∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2.∵菱形ABCD的周长为8,∴AB=2,设AO=k,BO=2k,则AB==k=2,∴k=2,∴AO=2,BO=4,∴菱形ABCD的面积S=4S△AOB=4××2×4=16.故答案为16.[第4页第4题](2013湖北黄冈,17,★★☆)如图1-1-22,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.(6分)图1-1-22[答案](答案详见解析)[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°.∵DH⊥AB于H,∴∠DHB=90°,∴OH=BD=OB,∴∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC.在Rt△COD中,∠ODC+∠OCD=90°,又∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO.[第4页第5题](2013江苏常州,23,★★☆)如图1-1-23,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.求证:四边形ABCD是菱形.(7分)图1-1-23[答案](答案详见解析)[解析]证法一:∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是正三角形,∴∠FAC=120°,AB=AC=BC.又AD平分∠FAC,∴∠DAC=∠FAC=60°.同理可证∠DCA=60°,∴△ADC是正三角形,∴AD=AC=DC,∴AB=BC=AD=DC,∴四边形ABCD是菱形.证法二:∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是正三角形,∴∠FAC=120°,AB=BC.又AD平分∠FAC,∴∠DAF=∠FAC=60°,∴∠B=∠DAF,∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).同理可证AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.[第3页第1题](2013四川凉山州,9,★★☆)如图1-1-19,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()图1-1-19A.14B.15C.16D.17[答案]C[解析]∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=AC=4.∴正方形ACEF的周长=4×4=16,∴选C.[第4页第6题](2013新疆乌鲁木齐,19,★★☆)如图1-1-24,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证:四边形CFHE是菱形.(10分)图1-1-24[答案](答案详见解析)[解析]证法一:∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠HAE.∵EH⊥AB于H,∴∠AHE=∠ACB=90°.又∵AE=AE,∴△ACE≌△AHE.∴EC=EH,AC=AH.又∵∠CAE=∠HAE,AF=AF,∴△AFC≌△AFH.∴FC=FH.∵CD⊥AB于D,∠ACB=90°,∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°.又∵∠DAF=∠CAE,∠AFD=∠CFE.∴∠CFE=∠CEF.∴CF=CE.∴EC=EH=HF=FC.∴四边形CFHE是菱形.证法二:∵AE平分∠BAC,EH⊥AB,EC⊥AC,∴∠1=∠2,EH=EC.∵∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,∠4=∠5,∴∠3=∠5.∴EC=CF.∴EH=CF.∵EH⊥AB,CD⊥AB,∴EH∥CF.∴四边形CFHE是平行四边形.又∵EH=EC,∴平行四边形CFHE是菱形.[第5页第1题]下面对矩形的定义正确的是()A.矩形的四个角都是直角B.矩形的对角线相等C.矩形是中心对称图形D.有一个角是直角的平行四边形[答案]D[解析]A、B、C说的全部是矩形的性质,故A、B、C选项错误,有一个角是直角的平行四边形是矩形,故D选项正确.故选D.[第5页第2题]如图1-2-1,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是()图1-2-1A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2[答案]C[解析]根据矩形的定义可知,有一个角是直角的平行四边形是矩形.[第5页第3题]如图1-2-2所示,在▱ABCD中,AC、BD交于点O,AE⊥BC于E,EF交AD于F,求证:四边形AECF是矩形.图1-2-2[答案](答案详见解析)[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BO=DO,∴∠1=∠2,又∵∠FOD=∠EOB,∴△DOF≌△BOE,∴DF=BE,∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC,又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵AE⊥BC,所以∠AEC=90°,∴平行四边形AECF是矩形.[第5页第5题](2013四川宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等[答案]B[解析]熟练掌握菱形与矩形的性质.[第5页第4题]如图1-2-3,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系,为什么?(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由.图1-2-3[答案](答案详见解析)[解析](1)BD=CD.理由:∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.又∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC,∴AF=CD.∵AF=BD,∴BD=CD.(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,∴平行四边形AFBD是矩形.[第3页第4题](2014浙江杭州萧山党湾中学月考,20,★★☆)如图1-1-18,在▱ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(11分)(1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.图1-1-18[答案](答案详见解析)[解析](1)在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD.∵E、F分别为边AB、CD的中点,∴DF=DC,BE=AB,∴DF=BE.∴四边形DEBF为平行四边形,∴DE∥BF.(2)∵AG∥BD,∴∠G=∠DBC=90°,∴△DBC为直角三角形.又∵F为边CD的中点,∴BF=DC=DF.又∵四边形DEBF为平行四边形,∴四边形DEBF是菱形.[第5页第6题](2013广东茂名中考)如图1-2-4,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的长是()图1-2-4A.2B.4C.2D.4[答案]B[解析]在矩形ABCD中,OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵∠AOD=60°,∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°,又∵∠ADC=90°,∴AC=2AD=2×2=4.故选B.[第5页第7题](2013贵州遵义中考)如图1-2-5,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=.

图1-2-5[答案]9cm[解析]在Rt△ABC中,AC==10cm,∵点E,F分别是AO,AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF=OD=BD=AC=2.5cm,AF=AD=BC=4cm,AE=AO=AC=2.5cm,∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm.[第5页第8题]如图1-2-6所示,矩形ABCD中,AE⊥BD,∠DAE∶∠BAE=3∶1,求∠BAE、∠EAO的度数.图1-2-6[答案](答案详见解析)[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠BAE+∠DAE=90°,又∵∠DAE∶∠BAE=3∶1,∴∠BAE=22.5°,∠DAE=67.5°.∵AE⊥BD,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,∴∠OAB=∠ABO=67.5°,∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.[第5页第9题]如图1-2-7所示,矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE交AB于F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE的长.图1-2-7[答案](答案详见解析)[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AD=BC,AB=DC.∵EF⊥CE,∴∠AEF+∠DEC=90°.又∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠AFE=∠DEC.又∵EF=CE,∴△AEF≌△DCE.∴AE=DC.∵AB+BC+DC+AD=16,∴AD+DC=8.∴AE+2+AE=8,∴AE=3.[第6页第10题]如图1-2-8,矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥BC,CE⊥BD,OE∶BE=1∶3,OF=4,求∠ADB的度数和BD的长.图1-2-8[答案](答案详见解析)[解析]由矩形的性质可知OD=OC.又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD,所以OC=CD,所以OC=CD=OD,即△OCD是等边三角形.故∠CDB=60°,所以∠ADB=30°.又OB=OC,OF⊥BC,所以点F为BC的中点,所以CD=2OF=8,所以BD=2OD=2CD=16.[第6页第14题]如图1-2-12,在△ABC中,D是AB边的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连接DE、DF.求证:DE=DF.图1-2-12[答案](答案详见解析)[解析]分别取AC、BC的中点M、N,连接MD、ND、EM、FN,又∵D为AB的中点,∠AEC=90°,∠BFC=90°,∴EM=DN=AC,FN=MD=BC,DN∥CM且DN=CM,∴四边形MDNC为平行四边形,∴∠CMD=∠CND.∵∠EMC=∠FNC=90°,∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND,即∠EMD=∠FND,∴△EMD≌△DNF.∴DE=DF.[第6页第11题](2013重庆A卷中考)如图1-2-9,在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(1)求证:OE=OF;(2)若BC=2,求AB的长.图1-2-9[答案](答案详见解析)[解析](1)∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠FCO=∠EAO.在△FCO与△EAO中,∴△FCO≌△EAO(AAS),∴OF=OE.(2)如图,连接OB,∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF.∵△FCO≌△EAO,∴OA=OC,∴OB=AC=OA,∴∠BAC=∠ABO.在Rt△BEO中,∠BEF=2∠BAC,∠BAC=∠ABO,∴2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°.∵BC=2,∴AC=2BC=4,∴AB==6.[第6页第15题]如图1-2-13,E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是()图1-2-13A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分[答案]C[解析]因为E、H分别是AB、AD的中点,所以EH是△ABD的中位线,所以EH平行且等于BD,同理,FG平行且等于BD,故EH平行且等于FG.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知四边形EFGH是平行四边形.要使四边形EFGH为矩形,只需满足一个角是直角即可.由EH∥BD,知只要满足AC⊥BD就能得到一个角为直角,因此选C.[第6页第12题]如图1-2-10,△ABC中,∠C=90°,D是AB边的中点,AC=3,BC=4,则CD=.

图1-2-10[答案]2.5[解析]由勾股定理可求得AB==5,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.[第6页第16题]如图1-2-14,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形?并说明理由.图1-2-14[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD.∴∠AEO=∠CFO.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF.(2)当AC=EF时,四边形AECF是矩形.理由:∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,AO=CO.∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形.[第6页第13题]如图1-2-11,在▱ABCD中,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,G,H分别是AB,CD的中点,求证:四边形EGFH为平行四边形.图1-2-11[答案](答案详见解析)[解析]∵AE⊥BD,G是AB的中点,∴EG=AB=BG,∴∠GEB=∠GBE.同理可得FH=DC=DH,∠DFH=∠FDH.∵在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴EG=FH,∠GBE=∠FDH.∴∠GEB=∠DFH,∴EG∥FH.∴四边形EGFH为平行四边形.[第7页第1题](2013辽宁沈阳一模,5,★★☆)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形[答案]C[解析]如图所示,E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点,连AC、BD,因为E、F分别是AB、BC的中点,所以EF=AC,同理,HG=AC,FG=BD,EH=BD.又因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,所以EF=FG=GH=HE,所以四边形EFGH是菱形.故选C.[第7页第2题](2014山东泰安期中,17,★☆☆)如图1-2-16,▱ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件(只添一个即可),使▱ABCD是矩形.

图1-2-16[答案]∠ABC=90°(答案不唯一)[解析]（无解析）[第7页第2题](2013湖南邵阳,10,★★☆)如图1-2-20,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论不正确的是()图1-2-20A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC[答案]A[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°,∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠EDO=∠C=90°,BC=DE,∠BOC=∠DOE,∴△BOC≌△EOD,故B选项正确.在△AOD和△EOD中,∠ADO=∠EDO=90°,AD=DE,OD=OD,∴△AOD≌△EOD,故C选项正确.由B、C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.[第7页第1题](2013湖北宜昌,7,★★☆)如图1-2-19,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是()图1-2-19A.8B.6C.4D.2[答案]C[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵AB<BC,∴△AOB,△COB,△COD,△AOD都是等腰三角形.故选C.[第7页第3题](2013福建宁德质检,18,★★☆)如图1-2-17,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为.

图1-2-17[答案]4.8[解析]∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10,连接CP,∵PD⊥AC,PE⊥CB,∴四边形DPEC是矩形,∴DE=CP,当DE最小时,CP最小,根据垂线段最短可知,当CP⊥AB时,CP最小,且最小值为=4.8,故答案为4.8.[第7页第17题](2013湖南张家界中考)如图1-2-15,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.图1-2-15[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,∴∠ACF=∠FCD=∠CFO,∴OF=OC,同理可证OC=OE,∴OE=OF.(2)由(1)知OF=OC,OC=OE,∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC,∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC,而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°,∴△ECF是直角三角形,∴EF===13,∴OC=EF=.(3)当点O移动到AC的中点时,四边形AECF为矩形.理由如下:由(1)知OE=OF,∵O是AC的中点,∴OA=OC,∴四边形AECF为平行四边形,又∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF为矩形.[第7页第3题](2013北京,11,★★☆)如图1-2-21,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.

图1-2-21[答案]20[解析]∵AB=5,AD=12,∴AC=13,∴BO=6.5.∵M、O分别为AD、AC的中点,又CD=5,∴MO=2.5,AM=6,∴C四边形ABOM=AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20.[第7页第4题](2013浙江温州一模,21,★★☆)已知:如图1-2-18,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.(1)求证:CD=AN;(2)若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形.图1-2-18[答案](答案详见解析)[解析](1)∵CN∥AB,∴∠DAC=∠NCA,在△AMD和△CMN中,∵∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN,又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,∴CD=AN.(2)∵∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,∴∠MCD=∠MDC,∴MD=MC,由(1)知四边形ADCN是平行四边形,∴MD=MN,MA=MC,∴MD=MN=MA=MC,∴AC=DN,∴平行四边形ADCN是矩形.[第8页第1题]如图1-2-25,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4.给出如下结论:图1-2-25①S1+S4=S2+S3;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,则S4=2S2;④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.其中正确结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上).

[答案]②④[解析]因为△APB和△CPD的高的和恰好等于AD的长,△APD和△CBP的高的和恰好等于AB的长,所以S1+S3=S矩形ABCD,S2+S4=S矩形ABCD,所以S1+S3=S2+S4,故②正确,①③错误;若S1=S2,因为S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD,所以S3=S4,所以P点在矩形ABCD的对角线上,故④正确.[第8页第5题](2013云南西双版纳,20,★★☆)如图1-2-23,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.(1)若∠ECF=30°,CF=8,求CE的长;(2)求证:△ABF≌△DEC;(3)求证:四边形BCEF是矩形.图1-2-23[答案](答案详见解析)[解析](1)∵∠CEF=90°,∠ECF=30°,CF=8,∴EF=CF=4,∴CE==4.(2)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.在△ABF和△DEC中,∴△ABF≌△DEC(SAS).(3)证明:由(2)可知△ABF≌△DEC,∴BF=CE,∠AFB=∠DCE,∴∠BFC=∠ECF,∴BF∥EC,∴四边形BCEF是平行四边形.又∵∠CEF=90°,∴平行四边形BCEF是矩形.[第8页第1题]下面四个定义中不正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B.有一组邻边相等的四边形叫菱形C.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形D.两腰相等的梯形叫等腰梯形[答案]B[解析]一组邻边相等的平行四边形是菱形,B错误.[第8页第2题]正方形具有而矩形不一定具有的特征是()A.四个角都相等B.四边都相等C.对角线相等D.对角线互相平分[答案]B[解析]根据正方形和矩形的性质知,它们具有的相同的特征有:四个角都是直角,对角线都相等,对角线互相平分,但矩形的长和宽不相等.故选B.[第8页第6题](2013辽宁锦州,20,★★☆)如图1-2-24,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证:OE=BC.图1-2-24[答案](答案详见解析)[解析]∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC=BC,AC⊥BD,∴∠DOC=90°.∴四边形OCED是矩形.∴OE=CD.∵四边形ABCD是菱形,∴CD=BC.∴OE=BC.[第8页第3题]如图1-3-1,四边形ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F,则下列结论不正确的是()图1-3-1A.EF=CGB.BF=AEC.AF=DED.AF-BF=EF[答案]A[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵DE⊥AG,∴∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,∴∠BAF=∠ADE,∵BF∥DE,∴∠AED=∠BFA=90°,在△ABF和△DAE中,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE,AF=DE,∴EF=AF-AE=AF-BF,而EF与CG的关系无法确定.故选A.[第8页第4题](2013宁夏,22,★★☆)如图1-2-22,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证:DF=DC.(6分)图1-2-22[答案](答案详见解析)[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB,∴DF=DC.[第9页第4题]如图1-3-2,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=.

图1-3-2[答案]-1[解析]设AC与BD的交点为O.过E作EF⊥DC于F,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,又∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF,∵正方形ABCD的边长为1,∴AC=,∴CO=AC=,∴易知CF=CO=,∴EF=DF=DC-CF=1-,∴DE==-1.[第9页第9题]如图1-3-7,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.图1-3-7[答案](答案详见解析)[解析](1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC(三线合一),即AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,∴EO平分∠AEC(三线合一),∴∠AED=∠AEC=×60°=30°,又∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和),∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴菱形ABCD是正方形.[第9页第10题](2013江苏南京中考)如图1-3-8,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.(1)求证:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.图1-3-8[答案](答案详见解析)[解析](1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB=∠CDB.(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°.又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.∴矩形MPND是正方形.[第9页第5题](2013福建莆田中考)如图1-3-3,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为.

图1-3-3[答案]5[解析]连接BP交AC于点Q',连接Q'D.∵点B与点D关于AC对称,∴BP的长即为PQ+DQ的最小值,∵CB=4,DP=1,∴CP=3,在Rt△BCP中,BP===5.故答案为5.[第9页第6题]如图1-3-4,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H.证明:△ABG≌△ADE.图1-3-4[答案](答案详见解析)[解析]在正方形ABCD和正方形AEFG中,∠GAE=∠BAD=90°,∴∠GAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB,即∠GAB=∠EAD,在△ABG和△ADE中,∴△ABG≌△ADE(SAS).[第9页第7题]如图1-3-5,已知正方形ABDE和正方形ACFG,DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分别为M,N.试说明:BC=DM+FN.图1-3-5[答案](答案详见解析)[解析]过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵∠MDB+∠DBM=90°,∠DBM+∠ABH=90°,∴∠MDB=∠ABH.又AB=BD,∠M=∠AHB,∴△DMB≌△BHA.∴DM=BH.同理可得FN=CH.∵BC=BH+CH,∴BC=DM+FN.[第9页第8题]如图1-3-6,E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN是什么特殊的四边形?请证明你的结论.图1-3-6[答案](答案详见解析)[解析]四边形EFMN是正方形.如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA.又AE=BF=CM=DN,∴NA=EB=FC=MD.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴Rt△AEN≌Rt△BFE≌Rt△CMF≌Rt△DNM.∴EF=FM=MN=NE.∴四边形EFMN是菱形.又∠ANE=∠BEF,∠ANE+∠AEN=90°,∴∠AEN+∠BEF=90°,∴∠NEF=180°-90°=90°.∴菱形EFMN是正方形.[第10页第1题](2013山东枣庄,12,★★☆)如图1-3-13,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为()图1-3-13A.-1B.3-C.+1D.-1[答案]D[解析]∵四边形ABCD是边长为2的正方形,∴DC=DA=2.∵M为AD的中点,∴DM=1.∴在Rt△MDC中,根据勾股定理可得MC=.∵ME=MC,∴ME=.∵四边形DEFG是正方形,∴DG=DE=-1.故选D.[第10页第1题](2013山西临汾二模,8,★★☆)如图1-3-9,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,则四边形ABCD的形状是()图1-3-9A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形[答案]D[解析]∵AO=CO=BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形,∵AO=CO=BO=DO,∴AC=DB,∴平行四边形ABCD是正方形,故选D.[第10页第2题](2014辽宁沈阳振东中学第一次月考,8,★★☆)如图1-3-10所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,则PD+PE的最小值为()图1-3-10A.2B.2C.3D.[答案]A[解析]设BE与AC交于点F(P'),连接BD,∵点B与D关于AC对称,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,此时PD+PE最小.即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度.∵正方形ABCD的面积为12,∴AB=2,又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=2,故所求最小值为2.[第10页第3题](2013广东深圳文汇中学期末,22,★☆☆)如图1-3-11,在一正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.(10分)(1)求证:△BEC≌△DEC;(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度数.图1-3-11[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠DCA=∠BCA,又∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC.(2)∵∠DEB=140°,△BEC≌△DEC,∴∠DEC=∠BEC=70°,∴∠AEF=∠BEC=70°,∵∠DAB=90°,∴∠DAC=∠BAC=45°,∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.[第10页第4题](2014辽宁丹东七中第二次月考,25,★★☆)已知:正方形ABCD.(10分)(1)如图1-3-12①,点E、F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论;(2)如图1-3-12②,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转角α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图1-3-12③,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转角α,当α=90°时,连接BE、DF,猜想当AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.图1-3-12[答案](答案详见解析)[解析](1)BE=DF且BE⊥DF.(2)成立.:延长DF交AB于点H,交BE于点G.在△DAF和△BAE中,∠DAF=90°-∠FAB,∠BAE=90°-∠FAB,∴∠DAF=∠BAE.又AB=AD,AE=AF,∴△DAF≌△BAE,∴DF=BE,∠ADF=∠ABE,又∵∠AHD=∠BHG,∴∠DAH=∠BGH=90°,∴BE=DF且BE⊥DF仍成立.(3)AE=(-1)AD.[第11页第2题](2011山东烟台,17,★★☆)如图1-3-14,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.

图1-3-14[答案]2[解析]如图:连接O1B、O1C,∵∠BO1F+∠FO1C=90°,∠FO1C+∠CO1G=90°,∴∠BO1F=∠CO1G,∵O1B=O1C,∠O1BF=∠O1CG=45°,∴△O1BF≌△O1CG,∴中心为O1、O2的两个正方形重叠部分的面积是S正方形.同理,另一重叠部分的面积也是S正方形.∴S阴影部分=S正方形=2.[第11页第3题](2013山东德州,17,★★☆)如图1-3-15,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论:①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+.其中正确的序号是.(把你认为正确的都填上)

图1-3-15[答案]①②④[解析]在Rt△ABE和Rt△ADF中,因为AB=AD,AE=AF,所以Rt△ABE≌Rt△ADF,所以BE=DF,所以BC-BE=DC-DF,即CE=CF,①正确.由①得∠CEF=45°,又∠AEF=60°,所以∠AEB=75°,②正确.连接AC,交EF于M,则AC⊥EF,所以EM=CM=1,所以AC=+1,所以正方形的面积为=2+,④正确.③EF与BE+DF之间没有关系.[第11页第4题](2013山东济宁,20,★★☆)如图1-3-16①,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.(6分)(1)求证:AF=BE;(2)如图1-3-16②,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.图1-3-16[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF.在△ABE和△DAF中,∵∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE.(2)MP与NQ相等.理由如下:如图,过点A作AG∥MP交CD于G,过点B作BH∥NQ交AD于H,则BH⊥AG,四边形AMPG,四边形BNQH是平行四边形,∴MP=AG,BH=NQ.在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAH=∠D=90°,∴∠DAG+∠BAG=90°.∵BH⊥AG,∴∠BAG+∠ABH=90°,∴∠ABH=∠DAG,在△ABH和△ADG中,∵∴△ABH≌△ADG,∴BH=AG,即MP=NQ.[第11页第5题](2012内蒙古赤峰,21,★★☆)如图1-3-17,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.(10分)(1)求证:四边形CDOF是矩形;(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.图1-3-17[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°,∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形“三线合一”的性质),∴∠CDO=90°,∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形,所以矩形CDOF是正方形.[第11页第6题](2013吉林长春,22,★★★)探究:如图1-3-18①,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,AE⊥CD于点E,若AE=10,求四边形ABCD的面积.拓展:如图1-3-18②,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E,若AE=19,BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为.

图1-3-18[答案](答案详见解析)[解析]探究:如图,过A点作AF⊥BC,交CB的延长线于点F,则∠AFC=90°.∵AE⊥DC于点E,∴∠AEC=90°,又∠C=90°,∴∠AEC=∠AFC=∠C=90°,∴四边形AECF是矩形.∴∠EAF=90°.∴∠FAB+∠BAE=90°.∵∠EAD+∠BAE=90°,∴∠FAB=∠EAD,又∵AB=AD,∠AED=∠AFB=90°,∴△ADE≌△ABF(AAS),∴AE=AF,∴矩形AECF为正方形,而AE=10,∴S四边形ABCD=S正方形AECF=AE2=102=100.拓展:152.如图,连接AC,过A点作AF⊥DC,交CD的延长线于点F,则∠AFD=90°.∵AE⊥BC于点E,∴∠AEC=90°,∴∠AEB=∠AFD=90°,又∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADF,又∵AB=AD,∠AEB=∠AFD=90°,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AE=AF=19,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×10×19+×6×19=152.[第12页第1题]在▱ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作直线EF,GH,分别交平行四边形的四条边于E,G,F,H四点,连接EG,GF,FH,HE.(1)如图1-3-19①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;(2)如图1-3-19②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是;

图1-3-19(3)如图1-3-19③,在(2)的条件下,若AC=BD,则四边形EGFH的形状是;

(4)如图1-3-19④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.[答案](答案详见解析)[解析](1)四边形EGFH是平行四边形.理由如下:∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,易证△BOG≌△DOH,△AOE≌△COF,∴GO=HO,EO=FO.∴四边形EGFH是平行四边形.(2)菱形.(3)菱形.(4)四边形EGFH是正方形.理由如下:∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.又∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠OBG=∠OCF=45°,OB=OC.∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°,∴∠GOB+∠BOF=90°,又∠COF+∠BOF=90°,∴∠GOB=∠COF.∴△BOG≌△COF,∴OG=OF.同理,HO=OE,∴GH=EF.由(3)知四边形EGFH是菱形.又∵EF=GH,∴菱形EGFH是正方形.[第12页第2题]如图1-3-20①,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.图1-3-20(1)探究1:小强看到图后,很快发现AE=EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形).考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了.随即小强写出了如下的证明过程:证明:如图1-3-20②,取AB的中点M,连接EM.∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°,又∵∠EAM+∠AEB=90°,∴∠EAM=∠FEC.∵点E、M分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点,∴AM=EC.∵△BME是等腰直角三角形,∴∠AME=135°,又∵CF是正方形ABCD外角的平分线,∴∠FCD=45°,∴∠FCE=90°+45°=135°,∴∠AME=∠FCE,∴△AEM≌△EFC(ASA),∴AE=EF.(2)探究2:小强继续探索,如图1-3-20③,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立.请你证明这一结论.(3)探究3:小强还想进一步试试,如图1-3-20④,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立,请你完成证明过程;若不成立,请你说明理由.[答案](答案详见解析)[解析](2)在AB上截取AM=EC,连接ME.由(1)知∠EAM=∠FEC.∵AM=EC,AB=BC,∴BM=BE,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°.∵CF是正方形ABCD的外角平分线,∴∠FCD=45°,∴∠FCE=90°+45°=135°,∴∠AME=∠FCE,∴△AEM≌△EFC(ASA),∴AE=EF.(3)成立.证明如下:延长BA到M,使得AM=CE,连接ME.∴BM=BE,∴∠BME=45°,∴∠BME=∠ECF.又∵AD∥BE,∴∠DAE=∠BEA,∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF,即∠MAE=∠CEF.∴△MAE≌△CEF(ASA),∴AE=EF.[第13页第1题]命题:①两组对边分别相等的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线相等的四边形是矩形;④对角线相等的菱形是正方形.其中正确的是()A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④[答案]A[解析]两组对边分别相等的四边形是平行四边形,所以①正确;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,所以③错误;对角线相等的菱形是正方形,所以④正确.故选A.[第13页第2题]菱形的两条对角线分别是6、8,则该菱形的周长是()A.40B.20C.48D.24[答案]B[解析]因为菱形的对角线互相垂直平分,所以根据勾股定理可得菱形的边长为5,则该菱形的周长是20.故选B.[第13页第4题]若矩形对角线相交所成钝角为120°,短边长3.6cm,则对角线的长为()A.3.6cmB.7.2cmC.1.8cmD.14.4cm[答案]B[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=OC=AC,BO=OD=BD,∴OA=OB,∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-120°=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=OB=3.6cm,∴BD=AC=2AO=7.2cm,故选B.[第13页第3题]▱ABCD中,AC、BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是()A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD[答案]B[解析]两条对角线相等的平行四边形是矩形,故选B.[第13页第5题]红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图1-4-1所示.红丝带重叠部分形成的图形是()图1-4-1A.正方形B.等腰梯形C.菱形D.矩形[答案]C[解析]过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,则AE=AF,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF.又AE=AF.∴BC=CD,∴平行四边形ABCD是菱形.故选C.[第13页第10题]如图1-4-6,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP=°.

图1-4-6[答案]22.5[解析]在正方形ABCD中,∠DBC=∠ACB=45°,∵BP=BC,∴∠BCP=67.5°,∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.[第13页第9题]如图1-4-5,菱形ABCD中,点O是对角线AC上的一点,且OA=AB,OB=OC=OD,则∠BAD的度数是.

图1-4-5[答案]72°[解析]设∠ACB=x°,则∠BAC=x°,∠OBC=x°,∠AOB=2x°,∵∠CAB+∠AOB+∠ABO=x°+2x°+2x°=180°,∴x=36,故∠BAD=72°.[第13页第8题]如图1-4-4,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()图1-4-4A.16B.17C.18D.19[答案]B[解析]由题意知,AC=BC,BC=CE=CD,∴AC=2CD,CD==2,∴EC2=22+22,即EC=2,∴S2=2×2=8.由题意知S1=3×3=9,∴S1+S2=9+8=17.故选B.[第13页第7题]如图1-4-3,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有()图1-4-3A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]C[解析]连接BD,交AC于点O,在正方形ABCD中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC⊥BD,OB=OD,①在△ABE与△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=BF,∵AC⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故①正确.②正方形ABCD中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF⊥BD,BO=OD,∴四边形BEDF是菱形,故②正确.错误.③AB=AF,不能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD中,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∵BE=BF,EF⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故④正确.∴①②④,共3个可以判定四边形BEDF是菱形.故选C.[第13页第6题]如图1-4-2,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为()图1-4-2A.2B.3C.4D.3[答案]B[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D,∵E、F分别是BC、CD的中点,∴BE=DF,在△ABE和△ADF中,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.连接AC,∵∠B=∠D=60°,∴△ABC与△ACD是等边三角形,∴AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形.∵AE=AB=,∴△AEF的周长是3.故选B.[第14页第11题]如图1-4-7,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,那么折痕EF的长为.

图1-4-7[答案][解析]连接BD交EF于点O,连接DF.根据折叠,知BD垂直平分EF.易证△DOE≌△BOF,所以OD=OB,则四边形BEDF是菱形.设DE=x,则CF=9-x.在直角三角形DCF中,根据勾股定理,得x2=(9-x)2+9.解得x=5.在直角三角形BCD中,根据勾股定理,得BD=3,则OB=.在直角三角形BOF中,根据勾股定理,得OF==,则EF=.[第14页第15题]将矩形纸片ABCD按如图1-4-11所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为.

图1-4-11[答案][解析]由折叠知AC=2BC.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即(2BC)2=32+BC2,∴BC=.[第14页第12题]菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图1-4-8所示,∠AOC=45°,OC=,则点A的坐标为;点B的坐标为.

图1-4-8[答案](,0);(+1,1)[解析]过点C作CD⊥OA于点D,过点B作BE⊥OA于点E,∵四边形OABC是菱形,∴OA=BC=OC=AB=,OA∥BC,∴CD=BE,在Rt△OCD和Rt△ABE中,∴Rt△OCD≌Rt△ABE(HL),∴OD=AE.∵∠AOC=45°,OC=,∴OD2+CD2=OC2,即OD2+CD2=2,∴OD=CD=1,∴BE=CD=1,AE=OD=1,∴OE=OA+AE=+1,∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(+1,1).[第14页第16题]如图1-4-12,在△ABC中,∠ACB=90°.D是AC的中点,DE⊥AC,AE∥BD,若BC=4,AE=5,则四边形ACBE的周长是.

图1-4-12[答案]18[解析]∵AE∥BD,∴∠CDB=∠DAE,∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∴∠C=∠ADE=90°,∴DE∥BC,∵D为AC中点,∴AD=CD,在△ADE和△DCB中,∵∴△ADE≌△DCB(ASA),∴DE=BC=4,AE=BD=5,在Rt△DCB中,BC=4,BD=5,由勾股定理得DC=3,∴AD=DC=3,∵ED=BC,DE∥BC,∴四边形DEBC是平行四边形,∴BE=CD=3,∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=AD+CD+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18.[第14页第13题]如图1-4-9,菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4,那么菱形ABCD的面积是.

图1-4-9[答案]8[解析]∵AE垂直平分BC,∴AB=AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形.∵AB=4,∴由勾股定理得,AE=2,∴菱形ABCD的面积=2S△ABC=2××4×2=8.[第14页第17题](10分)已知:如图1-4-13,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连接;

(2)猜想:=;

(3)证明.图1-4-13[答案](答案详见解析)[解析](1)如图,连接AF.(2)AF=AE.(3)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABF=∠ADE,在△ABF和△ADE中,∴△ABF≌△ADE,∴AF=AE.[第14页第14题]如图1-4-10,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°,在其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长为m.

图1-4-10[答案]20[解析]如图,∵菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°,∴△BMG是正三角形,∴BG=MG.又∵图中种花部分是由两个正六边形组成的,∴GM=GF=EF,∴AF=GF=BG=2,∴正六边形的边长为2,又两个正六边形有一条公共边OE,所以可得两个正六边形的周长为6×2+6×2-4=20,∴可得种花部分的图形周长为20m.[第14页第18题](10分)已知:如图1-4-14,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,MD⊥AB,ME⊥AC,DF⊥AC,EG⊥AB,垂足分别为点D、E、F、G,DF、EG相交于点P.判断四边形MDPE的形状,并说明理由.图1-4-14[答案](答案详见解析)[解析]四边形MDPE为菱形.理由:连接AM.∵ME⊥AC,DF⊥AC,∴ME∥DF,∵MD⊥AB,EG⊥AB,∴MD∥EG,∴四边形MDPE是平行四边形.∵AB=AC,M是BC的中点,∴AM是∠BAC的平分线,又MD⊥AB,ME⊥AC,∴MD=ME,∴平行四边形MDPE为菱形.[第15页第19题](10分)如图1-4-15,▱ABCD中,EF过AC的中点O,与边AD、BC分别相交于点E、F.(1)证明:△AOE≌△COF;(2)证明:四边形AECF是平行四边形;(3)在已知条件外,请你再添加一个条件,使四边形AECF是矩形.图1-4-15[答案](答案详见解析)[解析](1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS).(2)证明:由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF(全等三角形的对应边相等),又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形).(3)若添加AC=EF.理由:由(2)知四边形AECF是平行四边形,且对角线AC=EF,∴AECF为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形).若添加AF⊥BC.理由:由(2)知四边形AECF是平行四边形,又AF⊥BC,∴∠AFC=90°(垂直定义),∴AECF为矩形(有一个角为直角的平行四边形为矩形).(答案不唯一,只需满足题意即可)[第15页第20题](10分)如图1-4-16所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点E恰好为AB的中点,点F在DE上,EF=AC.(1)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?(2)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么?图1-4-16[答案](答案详见解析)[解析](1)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.∵∠ACB=90°,又∵DE是BC的垂直平分线,∴∠FDC=90°,∴FD∥AC.又∵EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形.在Rt△ABC中,∠B=30°,E为AB的中点,∴AC=CE=AB.∴平行四边形ACEF是菱形.(2)四边形ACEF不可能是正方形.理由如下:∵E是AB的中点,∴CE在△ABC的内部.∴∠ACE<∠ACB=90°