库仑力作用下的平衡问题和变速运动问题

一.必备知识〔一〕库仑力作用下的平衡问题1.解题思路及步骤涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的根底上多了库仑力。注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。2.求解带电体平衡问题的方法分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。3．三个自由点电荷平衡模型、平衡条件及规律〔1〕模型特点①三个点电荷共线。②三个点电荷彼此间仅靠电场力作用到达平衡，不受其他外力。③任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力。(2)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的电场中合场强为零的位置。〔3〕三电荷平衡模型的规律①“三点共线〞——三个点电荷分布在同一直线上。②“两同夹异〞——正负电荷相互间隔。③“两大夹小〞——中间电荷的电荷量最小。④“近小远大〞——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。图示如下：〔4〕解决三电荷平衡问题应注意的两点①此类题目易误认为只要三个点电荷到达平衡就是“三电荷平衡模型〞，而没有分析是否满足模型成立的条件。如果三个点电荷已到达平衡，但假设其中某个点电荷受到了外力作用，仍不是“三电荷平衡模型〞。②原那么上对于三个点电荷中的任意两个进行受力分析，列平衡方程，即可使问题得到求解，但选取的两个点电荷不同，往往求解难度不同，要根据不同的题目进行选取。〔二〕变速问题当点电荷受到的合力不为零时，应用牛顿第二定律进行运动分析和计算。二.典型例题精讲题型一：同一直线上的三个自由点电荷的平衡例1：如下图，在光滑绝缘的水平面上沿同一直线依次放着A、B、C三个带电小球，它们均可视为点电荷，且每个电荷在库仑力作用下都处于平衡状态，A带正电，A、B间距离为l，B、C间距离为2l，且A的电荷量QA＝q，那么B、C分别带什么电？小球B、C的电荷量分别是多大？[答案]B带负电QB＝eq\f(4,9)qC带正电QC＝4q[解析]根据平衡条件可知，假设A受力平衡，那么A受到B、C两电荷对其的作用力中一个一定是引力，另一个一定是斥力，那么B、C一定为异种电荷，假设B带正电，那么C必带负电，那么此时C受到的A、B两电荷的作用力均为引力，C不能平衡，故只能是B带负电，C带正电(此时三个点电荷在受力方向上均能满足平衡条件)。以A为研究对象，由平衡条件可得：keq\f(qQB,l2)＝keq\f(qQC,l＋2l2)以B为研究对象，同理得：keq\f(qQB,l2)＝keq\f(QBQC,4l2)题型二：非自由点电荷的平衡例2：(·全国卷Ⅰ·15)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，那么()A．P和Q都带正电荷B．P和Q都带负电荷C．P带正电荷，Q带负电荷D．P带负电荷，Q带正电荷答案D解析对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，Q对P的库仑力水平向右，那么匀强电场对P的电场力应水平向左，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项C错误，D正确．题型三：变速问题例3：质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q.在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图10所示．静电力常量为k，以下说法正确的选项是()A．B球的电荷量可能为＋2qB．C球的电荷量为－2qC．三个小球一起运动的加速度大小为eq\f(\r(3)kq2,ml2)D．恒力F的大小为eq\f(2\r(3)kq2,l2)答案BC解析根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝eq\f(kq2,l2)，C球对A球的库仑引力为FCA＝eq\f(kqqC,l2)，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，那么有：FCAsin30°＝FBA，FCAcos30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq\f(\r(3)kq2,ml2)，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝eq\f(3\r(3)kq2,l2)，故D错误．三.举一反三，稳固练习1．某原子电离后其核外只有一个电子，假设该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动()A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大C．半径越大，角速度越小D．半径越小，线速度越小答案C解析电子做匀速圆周运动的向心力由静电力提供，由牛顿第二定律得keq\f(q1q2,r2)＝ma，那么a＝eq\f(kq1q2,mr2)，半径越大，加速度越小，A错误；由eq\f(kq1q2,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2得T＝eq\r(\f(4π2r3m,kq1q2))，半径越小，周期越小，B错误；由eq\f(kq1q2,r2)＝mrω2得ω＝eq\r(\f(kq1q2,mr3))，半径越大，角速度越小，C正确；由eq\f(kq1q2,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(kq1q2,mr))，半径越小，线速度越大，D错误。2．如下图，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。以下说法正确的选项是()A．假设q1、q3为正电荷，那么q2为负电荷B．假设q1、q3为负电荷，那么q2为正电荷C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9D．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36答案ABC解析三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，那么一定满足“两同夹异，近小远大〞原理，即两边的电荷电性相同和中间的电荷电性相反，判断电荷量大小关系时，距离远的电荷量大于距离近的电荷量，故A、B正确；根据库仑定律，依据矢量合成，那么有：eq\f(kq1q2,r\o\al(2,12))＝eq\f(kq1q3,r\o\al(2,13))＝eq\f(kq2q3,r\o\al(2,23))，q1、q2间的距离是q2、q3间的距离的2倍，所以q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确，D错误。3.如图，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．以下说法正确的选项是()A．小球a、b、c带同种电荷B．小球a、b带异种电荷C．小球a、b电荷量之比为eq\f(\r(3),6)D．小球a、b电荷量之比为eq\f(\r(3),9)答案D解析对c小球受力分析可得，a、b小球必须带同种电荷，c小球才能平衡；对b小球受力分析可得，b、c小球带异种电荷，b小球才能平衡，故A、B错误．设环的半径为R，a、b、c球的带电荷量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得lac＝R，lbc＝eq\r(3)R，a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，那么有eq\f(kq1q3,l\o\al(ac2,))·sin60°＝eq\f(kq2q3,l\o\al(bc2,))·sin30°，所以eq\f(q1,q2)＝eq\f(\r(3),9)，应选项C错误，D正确．4.如下图，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m，带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，那么()A．电场强度的最小值为E＝eq\f(mgtanθ,q)B．假设电场强度E＝eq\f(mg,q)，那么电场强度方向一定竖直向上C．假设电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，那么电场强度逐渐增大D．假设电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，那么电场强度先减小后增大答案C解析对小球受力分析，如下图，电场力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面向上，mgsinθ＝qEmin，解得电场强度的最小值为Emin＝eq\f(mgsinθ,q)，选项A错误；假设电场强度E＝eq\f(mg,q)，那么电场力与重力大小相等，由图可知，电场力方向可能竖直向上，也可能斜向左下，选项B错误；由图可知，假设电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，那么电场力逐渐变大，电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误．5.如下图，用两根长度均为l的绝缘轻绳将带正电的小球悬挂在水平的天花板下，小球的质量为m，轻绳与天花板的夹角均为θ，小球正下方距离也为l的A处一绝缘支架上同样有一个带电小球，此时轻绳的张力均为0，现在将支架水平向右移动到B处，B处位置与两轻绳结点的连线与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，假设θ＝30°，那么()A．A处的带电小球带负电B．支架在A处与在B处时两小球之间的库仑力大小之比为2∶3C．支架在B处时，左边绳子的张力为mg－eq\f(\r(3),2)mgD．支架在B处时，右边绳子的张力为mg＋eq\f(\r(3),2)mg答案：C。解析：当绝缘支架上的带电小球在A位置时，轻绳的张力均为0，对其受力分析可知其只受重力和库仑力，因此两小球之间的库仑力为斥力，那么A处的带电小球带正电，故A错误；根据库仑定律可得F＝keq\f(Qq,r2)，因此绝缘支架在A处与在B处时，两小球之间的库仑力大小之比eq\f(FA,FB)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(1,cos230°)＝eq\f(4,3)，故B错误；根据平衡条件知，FA＝mg，那么支架在B处时，两球间的库仑力为FB＝eq\f(3,4)FA＝eq\f(3,4)mg，设左、右绳的张力分别为F1和F2，那么由正交分解可得F1cos30°＋eq\f(3,4)mgsin30°＝F2cos30°，F1sin30°＋eq\f(3,4)mgcos30°＋F2sin30°＝mg，解得F1＝mg－eq\f(\r(3),2)mg，F2＝mg－eq\f(\r(3),4)mg，故C正确，D错误。6.如下图，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，那么造成α、β不相等的原因是()A．m1<m2 B．m1>m2C．q1<q2 D．q1>q2答案A解析对两带电小球分别进行受力分析如图，根据平衡条件有tanα＝eq\f(F,m1g)，tanβ＝eq\f(F,m2g)，两者之间库仑力F大小相等，因α>β，所以m1<m2，故A正确，B错误；电荷量q1、q2无论哪个大，两者之间库仑力F大小都相等，故C、D错误。7.如下图，在一条直线上有两个相距0.4m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，那么C的带电性质及位置应为()A．正，B的右边0.4m处B．正，B的左边0.2m处C．负，A的左边0.2m处D．负，A的右边0.2m处答案C解析根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，那么C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以keq\f(Qq,x2)＝eq\f(9kQ·q,0.4＋x2)，解得x＝0.2m，C正确。8．(·11月选考)电荷量为4×10－6C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2kg，电荷量为－5×10－6C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30cm，A、B连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109N·m2/C2，小球可视为点电荷。以下图示正确的选项是()答案B解析两球之间的库仑力大小为F＝keq\f(qAqB,r2)＝9.0×109×eq\f(4×10－6×5×10－6,0.32)N＝2N，根据题意，F与竖直方向的夹角为60°，小球B的重力大小为GB＝mBg＝2N，知F＝GB，又因小球B静止，故小球B受到的库仑力、重力以及细线的拉力组成的矢量三角形为等边三角形，所以细线与竖直方向的夹角为60°，B正确。9.如下图，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，假设用图示方向的水平推力F作用于小球B，那么两球静止于图示位置，如果将小球B向左推动少许，并待两球重新到达平衡时，那么两个小球的受力情况与原来相比()A．推力F将增大B．竖直墙面对小球A的弹力增大C．地面对小球B的弹力一定不变D．两个小球之间的距离减小答案C解析以A球为研究对象，受力如图1所示，设B对A的库仑力F库与竖直墙面的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为：N1＝mAgtanθ；将小球B向左推动少许时θ减小，那么N1减小，故B错误；再以A、B整体为研究对象，受力如图2所示，由平衡条件得：F＝N1，地面对小球B的弹力为：N2＝(mA＋mB)g，那么N2不变，F减小，A错误，C正确；由图1及平衡条件知F库＝eq\f(mAg,cosθ)，θ减小，cosθ增大，那么F库减小，根据F库＝eq\f(kq1q2,r2)可知，两个小球之间的距离增大，D错误。10.如下图，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量大小分别为QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q.现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，那么此过程中B、C之间的作用力大小为()A.eq\f(4,3)FB．FC.eq\f(2,3)FD.eq\f(1,3)F答案A解析设小球的质量为m，以三个球为整体：F＝3ma；以A、B为整体：F1＝2ma，解得F1＝eq\f(2,3)F；由牛顿第三定律知A、B对C的库仑力的合力大小为eq\f(2,3)F.根据库仑定律得eq\f(FBC,FAC)＝keq\f(3q·8q,L2)∶keq\f(6q·8q,4L2)＝eq\f(2,1)，A、B所受C的库仑力方向不可能相同，结合牛顿第三定律可知：FBC－FAC＝eq\f(2,3)F，解得FBC＝eq\f(4,3)F.11．(多项选择)如下图，光滑绝缘的水平面上有一带电荷量为－q的点电荷，在距水平面高h处的空间内存在一场源点电荷＋Q，两电荷连线与水平面间的夹角θ＝30°，现给－q一水平初速度，使其恰好能在水平面上做匀速圆周运动(恰好不受支持力)，重力加速度为g，静电力常量为k，那么()A．点电荷－q做匀速圆周运动的向心力为eq\f(\r(3)kQq,4h2)B．点电荷－q做匀速圆周运动的向心力为eq\f(\r(3)kQq,8h2)C．点电荷－q做匀速圆周运动的线速度为eq\r(3gh)D．点电荷－q做匀速圆周运动的线速度为eq\f(\r(3gh),2)答案BC解析点电荷－q恰好能在水平面上做匀速圆周运动，点电荷－q受到竖直向下的重力以及点电荷＋Q的引力，如下图，电荷之间的引力在水平方向上的分力充当向心力，两点电荷间距离R＝eq\f(h,sinθ)，Fn＝keq\f(Qq,R2)·cosθ，联立解得Fn＝eq\f(\r(3)kQq,8h2)，A错误，B正确；点电荷－q做匀速圆周运动的半径r＝eq\f(h,tanθ)，因为Fn＝eq\f(mg,tanθ)，根据Fn＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(3gh)，C正确，D错误．12.如图，通过绝缘轻绳将质量均为m的三个小球A、B、C连接在一起并悬于O点，其中A、B球带电，且带电荷量均为＋q，C球不带电．整个空间存在方向竖直向下的匀强电场，场强大小为E＝eq\f(mg,q).当把OA段细线剪断的瞬间()A．A球的加速度小于2gB．B球的加速度大于2gC．A球和B球之间的绳子