考点33 直线、平面平行的判定及其性质

考点33直线、平面平行的判定及其性质1.(2022·全国乙卷文科·T9)(与理科T7相同)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D【命题意图】考查面面垂直、面面平行的判断,考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.【解析】选A.方法一:对于A选项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,易知EF⊥BD,从而EF⊥平面BDD1,又因为EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,所以A选项正确;对于B选项,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,由上述过程易知平面B1EF⊥平面A1BD不成立;对于C选项,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC有公共点,从而C选项错误;对于D选项,连接AC,AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,故平面AB1C与平面B1EF不平行,即平面A1C1D与平面B1EF不平行,所以D选项错误.方法二:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,又EF⊂平面ABCD,所以EF⊥DD1,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,所以EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确;如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,设AB=2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),则=(-1,1,0),=(0,1,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,2,0),设平面B1EF的法向量为m=(x1,y1,z1),则有,可取m=(2,2,-1),同理可得平面A1BD的一个法向量为n1=(1,-1,-1),平面A1AC的一个法向量为n2=(1,1,0),平面A1C1D的一个法向量为n3=(1,1,-1),则m·n1=2-2+1=1≠0,所以平面B1EF与平面A1BD不垂直,故B错误;因为m与n2不平行,所以平面B1EF与平面A1AC不平行,故C错误;因为m与n3不平行,所以平面B1EF与平面A1C1D不平行,故D错误.2.(2022·北京高考·T17)(本小题14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分别为A1B1,AC的中点.(1)求证:MN∥平面BCC1B1;(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件①:AB⊥MN;条件②:BM=MN.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】通过三棱柱,考查线面平行的判断,考查直线与平面所成的角.【解析】(1)取BC中点D,连接B1D,DN,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,因为M,N,D分别为A1B1,AC,BC的中点,所以B1M∥AB,B1M=12AB,DN∥AB,DN=12即B1M∥DN且B1M=DN,所以四边形B1MND为平行四边形,因此B1D∥MN.又MN⊄平面BCC1B1,B1D⊂平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.(2)选①:因为侧面BCC1B1为正方形,所以CB⊥BB1,又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,所以CB⊥平面ABB1A1,而AB⊂平面ABB1A1,所以CB⊥AB,而B1D∩CB=D,所以AB⊥平面BCC1B1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA,BC,BB1两两垂直,故分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系,因为AB=BC=BB1=2,所以B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),所以=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,-2,0),设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),由·n=0,·n=0,得x+y=0,y+2z=0,令x=2,得n=(2,-则sinθ=|cos<n,>|==23,所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为23.选②:取AB中点H,连接HM,HN.因为M,N,H分别为A1B1,AC,AB的中点,所以B1B∥MH,CB∥NH,而CB⊥BB1,故NH⊥MH,又因为AB=BC=2,所以NH=BH=1,在△MHB和△MHN中,BM=MN,NH=BH,公共边为MH,所以△MHB≌△MHN,因此∠MHN=∠MHB=90°,即MH⊥AB,故BB1⊥AB.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA,BC,BB1两两垂直,故分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系,因为AB=BC=BB1=2,所以B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),所以=(1,1,0),=(0,1,2)