考点34 直线、平面垂直的判定及其性质

考点34直线、平面垂直的判定及其性质一、简答题1.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,则BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22作QE⊥AC,垂足为E,则QE13DC=1由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22.(2018·全国卷II高考文科·T19)(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC.(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.【命题意图】本题考查立体几何中的线面垂直关系的判定以及线面间的距离的求法,意在考查学生的数学运算及逻辑推理能力.【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB.因为AB=BC=22AC所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,OP∩OM=O,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,所以OM=253,CH=OC·所以点C到平面POM的距离为453.(2018·全国Ⅲ高考文科·T19)(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.【命题意图】考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力,培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、直观想象的数学素养.【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)存在,AM的中点即为符合题意的点P.证明如下:取AM的中点P,连接AC,BD交于点N,连接PN.因为ABCD是矩形,所以N是AC的中点,在△ACM中,点P,N分别是AM,AC的中点,所以PN∥MC,又因为PN⊂平面PBD,MC⊄平面PBD,所以MC∥平面PBD,所以,在线段AM上存在点P,即AM的中点,使得MC∥平面PBD.4.(本小题14分)(2018·北京高考文科·T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC.(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.(3)求证:EF∥平面PCD.【命题意图】考查空间中直线与平面的位置关系的判定,意在考查空间想象能力,逻辑推理能力,培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理,直观想象的数学素养.【证明】(1)在△PAD中,PA=PD,E是AD的中点,所以PE⊥AD,又底面ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA,又因为PA⊥PD,CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC的中点G,连接DG,FG,因为底面ABCD为矩形,所以ADBC,又E是AD的中点,所以DE12BC在△PBC中,F,G分别是PB,PC的中点,所以FG12BC所以DEFG,四边形DEFG是平行四边形,所以EF∥DG,又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.5.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T17)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.(Ⅰ)求证:AD⊥BC;(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解题指南】(Ⅰ)利用平面与平面垂直的性质及题设条件,先证明AD⊥平面ABC,即可得出结论;(Ⅱ)利用异面直线所成角的定义,先找角,再求值;(Ⅲ)利用直线与平面所成角的定义,先找角,再求值.【解析】(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD2+因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD2+在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=12MNDM所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326(Ⅲ)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为AB的中点,故CM⊥AB,CM=3.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD=AC2在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=3所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为346.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C.(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.【证明】(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为