第三课时 定直线问题

第八章平面解析几何INNOVATIVEDESIGN第三课时定直线问题内容索引分层精练巩固提升题型一设点法例1

已知F为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，直线l：y＝2x＋1与C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝20. (1)求C的方程；解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则y1＋y2＝8p＋2，解得p＝2.故C的方程为x2＝4y.

(2)若直线m：y＝2x＋t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上．即(4－x0)(1－λ)＝0.因为λ≠1，所以x0＝4.故点T在定直线x＝4上．动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程．感悟提升

即y0＝－2.即点M在直线l：y＝－2上．题型二待定系数法

解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，

待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数．感悟提升

解由已知得，圆M的圆心为M(－2，0)，半径为2，因为p＞0，所以F在x轴正半轴上，于是F(2，0)，

解设线段AB的中点为Q，由题意可知PQ为AB的中垂线，由题知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my＋2，A(xA，yA)，B(xB，yB)，

xA＋xB＝m(yA＋yB)＋4＝8m2＋4，所以Q(4m2＋2，4m)．所以直线PQ的方程为y＝－m(x－4m2－2)＋4m，令x＝－2，可得y＝4m3＋8m，即P(－2，4m3＋8m)，所以l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.题型三验证法解设直线l：x＝my＋1，若m＝0，若点S在一定直线l′上，则直线l′只能为x＝4.以下证明对任意的实数m，点S均在直线l′：x＝4上．

消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，设R(x1，y1)，Q(x2，y2)，面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”．感悟提升

若定直线存在，则方程应是x＝9.下面给予证明．把x＝my＋1代入椭圆方程，整理得(2m2＋3)y2＋4my－16＝0，Δ＞0成立，记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

需2y1(my2－2)＝y2(my1＋4)，需my1y2＝4(y1＋y2)，FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升1.(2023·合肥模拟)如图，过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D. (1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为S1,S2,求S1·S2的值；【A级

基础巩固】解抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：x＝my＋1，消去x并整理得的方程为y2－4my－4＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上.证明由(1)得M(x1，0)，N(0，y1)，C(x2，0)，D(0，y2)，因此x＝1，即直线MN与直线CD交点在直线x＝1上，所以MN与直线CD交点在定直线x＝1上.(2)设C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与x轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明：点Q在定直线上.证明设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，y0)，由题意知A(－2，0)，B(2，0)，由题意知x0＞2，∴x0＝4，∴点Q在定直线x＝4上.所以ab＝4.①设C的右焦点为F2，连接AF2，由椭圆的对称性可知|BF1|＝|AF2|，证明设D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得x2＋2mx＋2m2－4＝0，Δ＝4m2－4(2m2－4)＞0，得－2＜m＜2且m≠0，则x1＋x2＝－2m，【B级

能力提升】(2)如图，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点(异于A1，A2)，点M关于原点O的对称点为点P，直线A1P与直线A2N交于点Q，直线OQ与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则P(－x1，－