初中数学“最值问题”集锦

#例3如图3，在正方形小值。解因为ABCD为正方形，所以A、C是关于BD所在直线对称的对称点，连结AP,由对称性知：则PC+PE的最小值为AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1证明可知即为线段AE。AP=PC,在Rt^ABE中AE=ABB2+BE2=222+32=<13]本例还可如图4,OABDOOE关于BD例3如图3，在正方形小值。解因为ABCD为正方形，所以A、C是关于BD所在直线对称的对称点，连结AP,由对称性知：则PC+PE的最小值为AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1证明可知即为线段AE。AP=PC,在Rt^ABE中AE=ABB2+BE2=222+32=<13]本例还可如图4,OABDOOE关于BD的对称点E'，连PE',CE'，同样有PC+PE=PC+PE'<CE'=B；BE'2+BC2=<13]边上的中例4的最大值和最小值分别记为分析PA+PM关键在于AM',因为AM'，连结C时，等号成立，所以5,作M关于点，P是边BC上任意一点，PDDOA'BC,如图三角形ABC的边长为M口CM,所以S=2+33],当点本题<CA+CM=2+<3T,以BC为边作正三角形/ABC=/CBA',所以BC所在的直线对称点2,M是ABPA+PMM',连结M'在BA'd,且BM'=BM=1,PM=PM',PA+PM=PA+PM'口CM'，则/ACM'=900，所以 AM'=ACC2+CM'2=.j4+3•3所以t=<7。所以S2-12=(2+<3)2-(<7)2=4v3例5矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、ABD各取一点M、N,使MB+MN值最小，求这个最小值。解如图6,作B关于AC的对称点 B'，连结 AB'，则 NODOBM+MN的最小值，即为 BM+MN'的最小值，显然 BM+MN'的最小值等于点AC的对称点 N,OAB'上,这时BOAB'的距离BHD现在求BH的长，设AB'与DC交于PO,连结 BP,则S =1AP-BH=1S =1x20x10=100(平方厘米 )AABP2 2矩形ABCD2B'与B关于A。称n/1=/2矩形ABCD1,DC//ABn/2=>n/1=Z3nPA=PCZ3|ABCD中，EOBCD,BE=2,CE=1,P在BD上，求PE与PC的长度和的最设AP=PC=x,则 DP=20-x在RtQAPD中，由勾股定理，得 PA2=DP2+DA2即x2=（20—x）2+102，解得x=12.5（厘米）,即AP=12.5n米） 口所以BH=100x—=16（厘米）,12.5即BM+MN的最小值是16厘米。通过作“对称点”使几何题中求两线段和的最大或最小值，这类难题得到顺利解决。此法简单明了，直观易懂，而对于培养学生创新思维和创新能力，提高学生空间想象能力确有一定的帮助。•数学最值题的常用解法在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：一.二次函数的最值公式一.二次函数的最值公式二次函数y二ax2+bx+cDa、b、c为常数且a丰0DOODOO①若a>0当x=b2a时，y有最小值。ymin4ac-b2= ；4a②若a<0当x=b时，y有最大值。ymax4ac-b2— n2a) 。4a利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。例1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为 40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为 R元）,售价每只为 P元），且R、P与x的关系式分别为 R=500+30x,P=170—2x口（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为 1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：口1）根据题意得 1750=Px—R（170—2x）x—（500+30x）=1750整理得 x2—70x+1125=0解得x1=25,x2=45叫合题意，舍去）（2）由题意知，利润为Px—R=-2x2+140x—500=-2（x—35）2+1950所以当x=35时，最大利润为 1950元。二.一次函数的增减性一次函数 y=kx+b（k中0）的自变量 x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大DODD；但当m<x<n时，则一次函数的图象是一条线段， 根据一次函数的增减性， 就有最大（小口值。例2.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是 600

元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解：设招聘甲种工种的工人为 x人，则乙种工种的工人为 (150—X)人，由题意得： 150-x>2x 所以0<x<50设所招聘的工人共需付月工资 y元，则有：y=600X+1000(150—X)=-400x+150000[0<X<50口因为y随x的增大而减小所以当X=50时，yi=130000DOD三.判别式法X2-X+1例3.求 的最大值与最小值。x的一元二X2+X+1x的一元二分析：此题要求出最大值与最小值， 直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数次方程；再根据 x是实数，推得 A>0，进而求出y的取值范围，并由此得出 y的最值。X2-X+1 r解：设 =y，整理得x2-x+1=yx2+yx+yX2+X+1即(1-y)x2-(1+y)x+1-y=0因为x是实数，所以A>0即(1+y)2-4(1-y)2>01解得一<y<33X2-X+1 1所以 的最大值是3,最小值是-DX2+X+1 3四.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。・一兀 兀x=sina,一一<a・一兀 兀x=sina,一一<a<—，则有

221sin2a2解：设y=x%1-x2,-1<x1sin2a2y=xt1-x2=sina七1-sin2a=sinacosa=所以得y的最大值为1，最小值为-122五.利用非负数的性质在实数范围内,显然有a2+在实数范围内,显然有a2+b2+k>k，当且仅当a=b=0时，等号成立，即a2+b2+k的最小值为k。例5.设a、b为实数，那么 a2+ab+b2-a-2b的最小值为I解：a2+ab+b2-a-2b=a2+(b-1)a+b2-2b=(a+H)2+3b2-1b-12 4 2 4b-1 3=(a+ )2+4(b-1)2-1>-1=0,b—=0,b—1=0DOa=0,b=1时,DDDDDDDDDDDDDDDD 1。.DDDDDDD例6.□函数y=1x-11-1x+41-5ODDDD□□:本题□用DDDDDDDDD 消去函数yDDDDDDDDDDDyDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD x=11x=-4当x<-4时y=-(x-1)+(x+4)-5=0[-4<x<1时y=-(x—1)—(x+4)—5=-2x—8[-4<x<1得-10<y=-2x-8<0[x>1od y=(x-1)-(x+4)-5=-10DDDDDDx<-4ODyDDDDDy=0.DDDDDDDDDDDDDDDx<aDDx=aDDDDDDDDD x>bDDx=bDDDDD例7.已知x、yDDDDDDDx+y+m=5Dxy+ym+mx=3DDDDmDDDDDDDD[x+y=5-mDDDDDD\[xy=3-m(x+y)=3-m(5-m)=m2-5m+3DDx、yD关□t□方程t2-(5-m)t+(m2-5m+3)=0DDDDDDDDA=[-(5-m)]2-4(m2-5m+3)>0O3m2-10m-13<01 13DD-1<m<—3mDDDDD13DmDDDDDD1D3八.DDDDDDDDDDDDDDDDODDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD D[8.DDDDDD AABCDDDDDDDDD 4和12DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD设a、b、cDDDDDDD 4、12、h因D 2S =4a=12b=chDDDa=3bAABCODDc<a+b=4b,00 12b=chD12b<4bhDDDh>3ODDc>a-b=2b,00 12b=chD12b>2bhdddh<6DD 3<h<6DDDD hDDDDD5D•求最值问题最值型应用问题经常出现在近几年的中考试卷中。的人文价值和社会价值， 有利于考查学生的分析、求最值的问题。这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学猜想、建模和综合应用等各方面的能力。 本文举几例利用一次函数的性质来求最值问题对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大最小值值”），但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，解这类问题除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。所以就有可能出现最大或最小值。（简称“最口口、（2008最值型应用问题经常出现在近几年的中考试卷中。的人文价值和社会价值， 有利于考查学生的分析、求最值的问题。这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学猜想、建模和综合应用等各方面的能力。 本文举几例利用一次函数的性质来求最值问题对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大最小值值”），但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，解这类问题除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。所以就有可能出现最大或最小值。（简称“最口口、（2008年泉州市初中学业质量检查）红星服装厂准备生产一批A、B两种型号的演出服，已知每小时生产A型演出服比B型演出服少2套，口生产18套A型演出服与生产 24套B型演出服所用的时间相同。设该厂每小时可生产A型演出服a设该厂每小时可生产A型演出服a套，用含a的代数式表示该厂生产24套B型演出服所用的时间；求出a的值。若该厂要在8小时之内n 8小时叫后生产 A若该厂要在8小时之内n 8小时叫后生产 A、B两种型号的演出服50套，且生产一套A、BD种型号的演出服可得利润分别为40元和30元，问应如何安排生产A、B两种型号的演出服的套数，才能使获得的总利润最大？最大的总利润是多少元？分析：（口）24a分析：（口）24a+218a24 18a—6② ——解得a—6a+2a（口）口生产 A型演出服 x套，依题意得40x+30（50-x）=10x+1500x40x+30（50-x）=10x+15006 8W利润是 x一次函数，利用一次函数的增减性口k—10>0口W随x的增大而增大，口x<42,□当x—42时，W利润有最大值口10x42+1500—1920口口某房地产开发公司计划建A、B口口某房地产开发公司计划建A、BD种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过 2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本(00/套)2528售价(00/套)3034(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案(2)该公司如何建房获得利润最大⑶根据市场调查， 每套B型住房的售价不会改变，⑶根据市场调查， 每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0),且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大注：利润=售价-成本分析：(1)设A种户型的住房建 x套，则B种户型的住房建 (80-x)套，根据题意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过 2096万元，可列出两个不等式，解不等式组，即可求出 x的取值范围，进而确定x的正整数值.(2)根据一次函数的增减性解决 .⑶要应用分类讨论的数学思想 .从而做到不重复不遗漏,注意思维的缜密性 .解析：⑴设A种户型的住房建 x套，则B种户型的住房建 (80-x)套口由题意知2090口25x+28(80-x)口209648口x口50口x取非负整数， 1x为48,49,50口口有三种建房方案：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套(2)设该公司建房获得利润 □(万元)口由题意知 □=5x+6(80-x)=480-x口当x=48时，□最大=432(00)即A型住房48套,B型住房32套获得利润最大(3)由题意知□=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x口当O<a<l时， x=48,□最大，即A型住房建 48套,B型住房建32套当a=l时，a-1=0,三种建房方案获得利润相等当a>1时，x=50,□最大，即A型住房建 50套,B型住房建30套.答:略.说明:此题的第 (1)问是利用一元一次不等式组解决的 ,第(2)、(3)问是利用一次函数的增减性解决问题的 ,要注意三问相互联系 .二、利用反比例函数的性质来求最值问题例：一名工人一天能生产某种玩具口至□个， 若每天须生产这种玩具□口口口， 那么须招聘工人多少名？分析：人y名。则有这是一道反比例函数模型的应用题，这里皿口是常量。设每人每天生产x个玩具，需要工尸400000

xx为整数)口当XA0时，y随X的增大而减小，400 400口——<y<——，即5 3180<y<133—3口y为正整数，口 y取口口至口0口。即须招聘工人为80至134人。三、利用二次函数的性质求最值问题对于某些与二次函数有关的实际问题,如果我们能够将实际问题抽象为二次函数的数学模型,建立起二次函数的关系式，应用二次函数最值性质，可以解决许多实际问题。ODD将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？解：设利润为y元,每个售价为X元，则每个涨（X－50）元,从而销售量减少10(x—50c,共售出500-10(X-50)=100-10X(个)[y=(x-40)(i000-i0x)=-10(X-70)2+9000(50<X口100)y—9000max 答：为了赚取最大利润,售价应定为70元．口口、（泉州市2008年中考题）某产品第一季度每件成本为50元,第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为请用含X的代数式表示第二季度每件产品的成本；如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求该产品第二季度每件的销售价DDD为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本48元，设第三季度每件产品获得的利润．．．．y元,试求的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于y与x的函数关系式，并利用函数图象与性质求y的最大值（注：利润分析：（1）—销售价 —成本)50G—x)⑵50(1—x)2—50—9.5解得X=0.1口当口当说明：（3）60G-x)>48,解得x<0.2而x>0，口0Yx<0.2而y―60G—x)—50G—x)2口—50X2+40X+101—50(X—0.4}+18X<0.4时，利用二次函数的增减性，X=0.2时，y最大值口当自变量取值范围为体体实数时，某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：18（元）若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。y随x的增大而增大，而二次函数在抛物线顶点取得最值，若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。四、利用对称性来求最值问题。类这题涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度。（一）在几何题组中的应用例口、如图，菱形ABCD中，AB口2口,口BADD60°,E是AB的中点，则PE+PB的最小最是分析：由菱形的性质知：点皿点□关于皿对称。因为口在皿上支运动，所以口口口小。要求PE+PB的最小最，即求P口+PB的最小值。连接口□交□□于点0YX<0.2,而当自变量取值范围为P，0即为所求。又口BADD60°,DDD1DD, □为叫的中点，2OODDDDD,ODDDDDDD,OODDD<3,即P口+PB的最小值为ODDOD,DDDDDDD°OOOOOD,DDDDD,OOODDOODODDDDOOO于点口），则△口皿的周长的最小值为分析：作皿于口叫□□的对称点P，1P。2连接PP,ODODD,DDOD,DD12如图所示，再连接叫,小。易知1所以△。的周长OPDDDD,PDDDD,2P[+口口1+勺。根据两点之间线段最短，△口口□的周长口P2,而口口口口DDDDDDDD,ODDDDODDDDDDD°,OODPO口1PODD°2P口口，1PODD,2口口P口P为等腰直角三角形，口△口口口的周长的最小值为（二）在代数题组中应用1，如图，抛物线1y=—x2+bx-2与x轴交于A、2B两点，与丫轴交于C点，且ADD 1,0）。口抛物线的解析式及顶点口的坐标判断口□□□的形状，证明你的结论。点口（ m,0）是口口上的一个动点，当口□+□□的值最小时，求m的值分析：D1）将ADD1,0）代入+bx-2——，所以抛物线的解析式2配方得：252——，所以顶点8(3252'D2)求出 AC=v5,BC=Y20，而AB=5口AC2+BC2=AB2，]△口为RT口D3）作点 C关于X轴的对称点ED2,0),连接DE交X轴于点 M,通过两点式可求得直线41解析式：y=——x+2，当y=0时，解得12DE的24x=41ODD24,0)即4124m=41[2、如图以矩形口。的顶点口为原点，口□所在的直线为口口，口口所在的直线为□轴，建立平面直角坐标系。OODDOD,DDOD,ODOD口的中点，在。取一点口，将口□□口口翻折，使点口落在口口边上的点口处。直接写出点口、口的坐标：设顶点为皿抛物线交口轴正半轴于点口，口以口、口、口为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式；在口口、。是否分别存在点口、BFYPC1N、E3D、L,.E1AMM、PPX口，使得四边形皿口□的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由。分析：(1口口(3,1),F(1,2)在RT口FEB中，FB=2,BE=1,口EF=v：'5,当EP=<5时，P(0,0)不合题意TOC\o"1-5"\h\z1 _ 1当EP=<5时，如图所示P(0,4)设抛物线的解析式为 y=a(x—1)2+2，且过点P(0,4),代入得4=a(0—1)2+2口a=2，口 y=2(x-1)2+2作点F关于Y轴的对称点F，点E关于X轴的对称点E，连接FE分别交X轴，Y轴于点M,N。1 1 11此时四边形口□□口的周长最小，口FE=FN+MN+ME=FN+MN+ME<FN+MN+ME1 1 1 1 11 11 11FE=-v132+42=5,1 1 _口四边形口□□口的周长最小值 =FE+ef=5+-<5\o"CurrentDocument"1 1•有理数的一题多解有理数是学生进入初中阶段接触的第一块系统学习的代数知识，它不仅在知识体系上让学生第一次领略了系统性、层次性，而且也渗透了“分类”、“一题多解”等好的数学思想。所谓“一题多解”，是指答案的多样性或方法的多样性。本文试就本章出现的一题多解问题作一归类说明。绝对值方程中的一题多解一个数的绝对值表示点到原点的距离，而互为相反数的两数到原点的距离相同，故方程|x|=a(a>0)的解有两个：『或x2=—a,他们是一对互为相反数。例1解方程|x+1|=2解：口|x+l|=2，口x+1=2或-2,口x=1或—3.赛试题）评注：若|x|=0，则x=0，此时方程只有一口，注意区别。方程|x-2|+|x-3|=1的解的个数是A、0B、1C、2D、3E、多于3（第41届美国高中数学竞赛，第4届初中祖冲之杯数学邀请解：该题的几何意义是：点2的距离与到3的距离的和等于x在这两点之间（含这两点）即方程的解是,故选1，由图形可知，最值问题中的一题多解所谓最值，即指最大值或最小值，在本章中涉及的最值问题主要是与绝对值相关的距离的最值，竞赛中会有所涉及。例3求y二|x-l|+|x+3|的最值，并求此时x的取值范围。解：根据绝对值的几何意义，y表示数轴上的一点x到两点1和3之间的距离之和，从数轴上看，当x<1或x>3时,y取不到最大、最小口，当点分布在线段AB上，口1口x口3.3时，y可取最小值A2,此时使By取最小值2的例4求y=|x-1Hx-3|的最值，并求此时x的取0 1 3值范围。解:同例3,y表示数轴上的点x到点1、3的距离之差，分情况讨论如下：1)x>3时，2)1口x口y=23时，-2口y口3)x<1时，故y取最大值为-2,0D x口1.y=-2.2,此时x口3,取最小值口注：例3与例4的区别在于相差一个符号，而结果却大相径庭。但这一点从几何意义上来看，是很清晰的。所以，对于此类与距离有关的最值问题，我们可以借助于图形，以获得直观的理解。乘方运算中的一题多解在乘法运算中，根据符号法则——同好得正，异号得负，故有1在乘法运算中，根据符号法则——同好得正，异号得负，故有1x1=1,(-1)x(-1)=1,故解方程X2=1X2=1时，x可取10-1,00000X2二1有二解。当然，这里的1可以换成其他的数。例5解方程 (x-3)2=9例5解方程 (x-3)2=9解：口 32=9,(-3)2=9，口x-3=3或-3,Dx=0或6.评注：由于所学知识有限,现阶段我们只能利用乘方的含义求解诸如“方程,更一般的二次方程的解法构成了初中数学的一大分支,将在以后学到。X2二a2,a为有理数”的二次例6解方程 x3=x解：由X3=x得x3-x=0,0：x(x2-1)=0，故，x=0或x2=1,0 x=1或-1,综上,原方程的解为 x=0,1,-1.口注：并非所有的形如 xn=a(a口0)0000000,0 x4=64就只有一个解xn=a(a>0),若 n为偶数，则000 20,且二解互为相反数；若 n为奇数，则只有一0。x=4.一般地，对方0四则运算中的一题多解此处的“一题多0”取多种0法的意思。我们知道,四则运算中,运算律或运算技巧的使用可以让我们充分领略“条条大路通罗马”的数学思想0法。当我们熟悉多种0法后,可以选择一种最好的。例7计算0一：原式3(14=(7 78—12)+(—8)+(—3)例7计算0一：原式3(14=(7 78—12)+(—8)+(—3)777 )481288X(一7)+(-3)=一42—21—148

x—24 70二：原式788一x 247377 )812-388x(一7)+(-3)787878―一x—+—x—+一x——47871278=-2+1+=-333评注：0法一在括号内通分后计算,是通常的路子；0法二注意到括号内分数分子相同,可与括号外的分数约分,使用了分配律,易于口算。因而快捷一些。例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.0一： S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2001-2002)+2003=(-1)+(-1)+(-1)+…(-1)+2003=-1001+2003=100200： S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=(1+2003)x1002-(2+2002)x10012 2=1002x1002-1002x1001=10020三： S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-2002+2003)=1+1X1001=1002评注：解法一、三如出一辙，不过解法三灵活利用了减法的意义——减去一个数等于加上这个数的相反数，因而避开了负数的运算，解题过程更“安全” ；解法二思路简单：正负数分别相加，再把结果相减，不过利用了数列的求和公式，技巧颇高。例9计算 S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210解一：S=(22-2)-(23-22)-(24-23)-…⑵0-29)+210=22-2-23+22-24+23-…-210+29+210=22-2+22=6解二：S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2=(28-27)-26-25-0-22+2:……=23-22+2=6解三：由题意 S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210故 2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211两式相减得 S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6评注：解法一巧用相邻两项的关系得 2n=2n+1-2n,因而利用加法运算律解决问题； 解法二是“倒着走”每一步总是把 S得表达式缩短一点，从而得解，过程富有节奏感；解法三则运用了“错位相减法” ，技巧性较强，但具有一般性。本章中的一题多解问题只是为我们提供了一个领略数学思想方法的窗口， 在后继课程中我们还要学习更多的一题多解问题， 同学们要能养成及时总结、归纳的习惯， 形成自己的学习方法，从而更高效地学习数学知识。最后，提供一组练习，供同学们复习巩固使用。解方程 (2x+4)2解方程 (2x+4)2=16①求y二|2x-2|+|2x-4|的最值;②求y二|2x-2|-|2x-4|的最值(x=0或-4)(1口x口2时，y取最小值(x口2时，y取最大值2)2；x口1时，y取最小值 -2)若数x满足|1-x|=1+|x|,那么|x-1|等于下式中的哪一个?A.1 B.-(x-1) C.x-1 D.1-x(第三届祖冲之杯试题 选D)计算①(1-+1-计算①(1-+1-—1—)-(——)2 8 12 12(答案：39———)

2((S=163)64②s=i+1+-+-+—+，248163264•4道经典题1.小学生小明问爷爷今年多大年龄， 爷爷回答说： “我今年的岁数是你的岁数的70多,过几年变成你的6倍，又过几年变成你的 5倍，再过若干年变成你的 4倍。”你说，小明的爷爷今年是多少岁？解：设小明今年的年龄是 x岁，那么爷爷年龄是 7x。过n年后，爷爷的年龄是小明的 6倍，所以 6(x+n)=7x+n,x=5n.所以x除得尽 5。过m年后，爷爷年龄是小明年龄的 6倍，所以 5(x+m)=7x+m。所以 x=2m.因此x是偶数。因此x是10的倍数。爷爷的年龄是 70的倍数。 (140岁，也可能啊： ))所以爷爷年龄是 70岁设小明的年龄为 x岁，爷爷是 7x岁。过了 a年，小明的年龄为 x+a岁，爷爷是 7x+a岁。有(x+a)*6=7x+a,化简得 x=5a………………( 1)又过了 b年，小明的年龄为 x+a+b岁，爷爷是 7x+a+b岁。有(x+a+b)*5=7x+a+b,化简得 x=2*(a+b)…( 2)又过了 c年，小明的年龄为 x+a+b+c岁，爷爷是 7x+a+b+c岁。有(x+a+b+c)*4=7x+a+b+c,化简得 x=a+b+c…( 3)由( 1)、( 2)、( 3)式得x=5a，3x=10b，x=2cx,a,b,c都是正整数， x是5、10、2000, b是3的倍数。所以x是10000,00000 10。因为小明是小学生,所以只能是 10岁,而不