第二章§2-导数的概念及其几何意义课件

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导数的概念及其几何意义第二章变化率与导数§2导数的概念及其几何意义第二章变化率与导数明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04明目标知重点填要点探要点内容010203当堂测041.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.明目标、知重点1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.明目标、知重点填要点·记疑点1.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x0点的

称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝

.瞬时变化率填要点·记疑点1.函数f(x)在x＝x0处的导数瞬时变化率42.曲线的切线如图，曲线y＝f(x)的一条割线AB，其中A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)).当Δx趋于零时，割线AB将

，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线.绕点A转动最后趋于直线l2.曲线的切线绕点A转动最后趋于直线l5曲线f(x)在点(x0，f(x0))3.导数的几何意义函数的平均变化率的几何意义是曲线y＝f(x)割线的斜率；函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)表示

.处的切线的斜率曲线f(x)在点(x0，f(x0))3.导数的几何意义处的切6探要点·究所然情境导学如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容.探要点·究所然情境导学7探究点一函数在一点处的导数思考1导数和平均变化率有什么关系？答导数就是平均变化率当Δx趋于0时的极限，探究点一函数在一点处的导数8思考2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.思考3导数在实际问题中有什么意义？答导数可以刻画事物变化的快慢.思考2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？9例1

蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝

＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T′(2)，并解释它的实际意义.例1蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝10第二章§2-导数的概念及其几何意义课件11反思与感悟解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢.反思与感悟解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映12跟踪训练1已知正方形的面积S是边长x的函数S＝x2，计算S′(5)并说出S′(5)的意义.跟踪训练1已知正方形的面积S是边长x的函数S＝x2，计算S13S′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加.S′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加14探究点二导数的几何意义思考1如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置.这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.探究点二导数的几何意义答当点Pn趋近于点P时，割线PPn15思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？16思考3求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与求过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线.思考3求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与17小结(1)导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)；(2)欲求曲线切线的斜率，先找切点P(x0，f(x0)).小结(1)导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f18例2

已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；解设切点为(x0，y0)，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.例2已知曲线y＝x2，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(119(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，

①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.再由A(x0，y0)20联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，联立①，②得，x0＝1或x0＝5.21此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.此时切线方程为y－25＝10(x－5)，22反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答.反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数23跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：24(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.(1)设切点为(x0，y0)，25(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.解由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.26解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.解得x0＝2或x0＝4，27跟踪训练3

若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.解∵y＝x3＋3ax.跟踪训练3若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝328设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，29当堂测·查疑缺1231.函数f(x)在x0处可导，则

(

)A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0、h均无关4B当堂测·查疑缺1231.函数f(x)在x0处可导，则302.函数y＝3x2在x＝1处的导数为(

)A.12 B.6 C.3 D.21234＝6.B2.函数y＝3x2在x＝1处的导数为()1234＝6.B311233.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(

)A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－14∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.A1233.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程3212344.设函数f(x)在x＝x0处的导数为A，试求下列各式的值.12344.设函数f(x)在x＝x0处的导数为A，试求下列各331234123434呈重点、现规律1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝

＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.呈重点、现规律1.导数f′(