正弦函数教学设计

（一）正弦指导思想与理论依据根据布鲁纳认知发现学习理论可知，学习就是主动地形成认知结构的过程，学习的过程实际上是人们利用已有的认知结构，对新的知识经验进行加工改造并形成新的认知结构的过程。这个过程不是被动地产生的，而是一种积极主动的过程。根据维果茨基的最近发展理论，教学中为学生发展创造最近发展区，从而使得学生的最近发展转化为他现有的发展水平。课程标准中也同样指出课堂教学应激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。本节课通过一系列与圆有关的探究活动，得出圆心角和弦与半径的比具有函数关系，通过图形间的分解和转换，过渡到直角三角形中，进而得出直角三角形中锐角和对边与斜边的比值具有函数关系，从而得到正弦函数的概念。本节课的教学设计符合学生心理和发展特点，体现了函数的思想，加深了学生对函数概念的理解，激发学生内部学习动机。教学背景分析（一）教学内容的地位与作用：本节课内容选自《人教版义务教育教科书》九年级下册第二十八章锐角三角函数第一课时正弦函数，这部分内容在课本61页——63页。锐角三角函数是全章乃至整个三角学的基础，是初中数学的重要内容之一，也是初中教材中出现的唯一的初等超越函数。而本节课是锐角三角函数的起始课，通过探究圆心角与所对弦的对应关系，进而找出具有函数关系的量，从而得出正弦函数的概念。掌握了正弦函数的概念和研究方法，不仅可以使学生更全面的认识函数的概念，而且也为今后学习三角函数做好准备。（二）学情分析学生已经学习过函数的概念、相似三角形、勾股定理、以及圆的相关知识，已具有一定的数学探究活动的经历和能力，具有一定的合情推理和推理证明能力。正弦函数是建立锐角与比值之间的对应关系，这种关系不同于以前学习的数值与数值的对应关系，因此学生建立这种对应关系有一定难度。（三）教学方法探究式、启发式。本节课通过六个学习活动，尝试给学生创造充分探究的空间和时间，减少教师在课堂上的机械宣讲，让学生真正体验和经历了一回数学再发现、问题再认识的过程。（四）教学手段：多媒体投影与计算机辅助教学。（五）技术准备：课前制作的几何画板课件、PPT演示文稿、印发学生学案。三、教学目标及重难点的确定基于上面对课程的整体认识和学生情况分析，确定了以下教学目标及重难点：目标：1、理解正弦函数的含义，能够正确应用正弦函数表示直角三角形中锐角的对边与斜边的比，知道直角三角形中锐角度数一定时，它的对边与斜边的比值是固定值；2、经历锐角正弦函数的探索过程，进一步体会函数的意义，培养由特殊到一般的演绎推理能力及合作交流能力；3、在学习数学过程中体会数学与生活的密切联系，激发好奇心和主动学习的欲望。重点：理解正弦函数的概念。难点：体会当锐角一定时，它的正弦值也唯一确定。教学过程的设计及实施发现问题阶段发现问题阶段问题探究阶段问题探究阶段问题解决阶段问题解决阶段概念应用阶段概念应用阶段小结提升阶段小结提升阶段（一）发现问题阶段师：咱们班有很多同学都喜欢看足球比赛，常常被其中的精彩画面所吸引，可大家知道吗，在足球比赛中蕴含着不少数学知识呢！下面请同学们观看一段足球比赛视频。（播放视频）师：通过视频我们不难发现足球比赛中有我们数学中圆的知识，当圆心角改变时，与它对应的圆周角也随之改变，而当圆心角一定时，它所对应的圆周角也随之确定，二者之间具有函数关系。那么在圆中还有那些量之间具有函数关系？今天让我们继续来研究。【设计意图】利用足球运动员射门时的角度问题，得出圆心角与其相对应的圆周角之间存在函数关系，从而激发学生的学习兴趣，进而产生继续在圆中寻找具有函数关系的量的欲望。（二）问题探究阶段活动1：第一环节：动手实践任意画一个圆，做出一个圆心角和它所对的弦；再改变圆心角的大小画出它所对的弦。（教师巡视）生：观察与思考在定圆中，弦的长度随圆心角的变化而变化吗？怎样变化的？第二环节：展示交流在学生画图、思考问题后进行交流。【设计意图】进一步明确弦长与圆心角之间的正比关系。从图形上直观感受在定圆中，弦的长度随圆心角的增大而增大。第三环节：验证猜想（几何画板演示）【设计意图】通过几何画板演示，验证得出的猜想，渗透从特殊到一般的研究问题的方法，为后续探究做好铺垫。第四环节：深度领悟师：对于圆心角、圆心角所对的弦、半径这三者而言，当半径确定时，圆心角越大所对的弦越长。活动2：第一环节：动手实践任意画一组半径为1cm、2cm、4cm的同心圆，任意做出一个圆心角，并画出这个圆心角在每个圆中所对的弦。（学生独立探究）生：通过动手画图，思考在大小不同的圆中，当圆心角一定时，所对的弦怎样变化？第二环节：展示交流【设计意图】从图形上直观感受当圆心角一定时，所对的弦随半径的增大而增大。第三环节：验证猜想（几何画板演示）【设计意图】通过几何画板演示，验证学生得出的猜想，进一步体会特殊到一般的研究问题的方法。第四环节：深度领悟师：当圆心角一定时，半径越长，圆心角所对的弦越长。【设计意图】进一步体会到圆心角、圆心角所对的弦、半径这三个变量之间具有某种依赖关系，但不是函数关系。师：圆心角一定时，哪个量的值是唯一确定的？【设计意图】使学生带着问题进入到活动3，问题激发学生浓厚的探究欲望。活动3：利用活动2所画的图形完成下表：给出3个特殊角，其余角学生自己选。圆心角半径124弦长弦长：半径独立探究环节：学生通过计算完成表格的填写，先完成教师给定的3个特殊角的计算，再自己任选两个角计算，表格填完后思考问题：①圆心角改变时弦长：半径的值改变吗？②在圆心角一定的情况下，弦长：半径的值呢？③除了以上的特殊角，圆心角是其它度数时，②的结论还成立吗？【设计意图】本环节主要任务是通过表格填写的结果，得出圆心角一定时，所对弦长与半径的比值为“固定的值”的猜想。

合作交流环节：学生在已分好的小组内进行交流讨论，主要交流结果以及互相讲解，并通过讨论交流解决教师提出的问题。【设计意图】通过小组合作共同发现规律。分组展示环节：展示各组交流的结果。得出猜想环节：通过对表格中的数据进行分析，师生共同归纳得出结论，当圆心角一定时，所对弦长与半径的比值为“固定的值”这样的判断。验证猜想环节：（几何画板演示）【设计意图】数形结合，通过改变半径，使学生直观观察到圆心角一定时，所对弦长与半径的比值为“固定的值”。（三）问题解决阶段活动4：思考：1、当圆隐藏时，只剩下等腰三角形，你发现的结论可以怎样叙述？2、等腰三角形还可以进一步转化为什么特殊图形？如何转化？又能得到什么新的猜想？师：几何画板演示。生：观察，在老师引导下思考与回答【设计意图】进行情景转换，圆隐藏时只留下等腰三角形，进而将等腰三角形转化为直角三角形，揭示圆与直角三角形之间的相互内在关联。活动5：当半角取30、45、60时，半弦与半径的比还是“固定的值”吗？当半角任取一个锐角时，半弦与半径的比还是“固定的值”吗？生：说明猜想，并用语言叙述猜想师：利用几何画板演示，通过特殊角体会，半弦与半径的比值，不随半径的大小而改变，只与角的大小有关。【设计意图】验证当半角一定时，半弦与半径的比是固定值，与三角形的大小无关。活动6：任取一个锐角，在MO边上任取两点A、A，过A、A分别向ON做垂线，交ON于B、B，求证：独立证明环节：主要以独立证明为主，教师做个别辅导。交流反馈环节：展示证明过程【设计意图】使学生真正认识到直角三角形中锐角度数一定时，它对边与斜边的比值是固定值。明确结论环节：提出新的概念——正弦。正弦概念：在中，=，a、b、c分别为、、的对边，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作：即：==师：说出，思考正弦是函数吗？师：1、对于锐角的每一个确定的值，有确定的比值与之相对应，这个确定的值是唯一的，所以正弦是函数。自变量是角，函数是比值。2、“”是一个完整的符号，表示一个比值3、记号里习惯省去角的符号“∠”，单独写出符号sin是没有意义的，因为它离开了确定的锐角无法显示它的含义。（四）概念应用阶段已知和中，，，于点,如果=，那么=，=，=生：先独立思考，然后展示交流。【设计意图】学生是利用发现的结论解决的问题，进一步说明了直角三角形中，正弦是锐角的函数，当锐角一定时，正弦值也一定。与直角三角形的大小，位置无关。（五）小结提升阶段你是怎么理解正弦的意义的？这节课我们都用了哪些数学研究的方法？生：总结自己的收获。师：通过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论。希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。【设计意图】学生从知识、方法等方面进行回顾，增强学生归纳总结的能力。五、教学特色分析由于正弦函数知识本身既具有函数的特征，其特征的发现和证明又运用到了几何中的圆与相似三角形的知识。以往的教学基本上仅注意了其中的几何推理，而忽视了其函数的本质属性，本节课是基于正弦的函数意义下的教学，从“正”和“弦”的本身意义开始研究。本节课以探究具有函数