高中数学新课标人教A版选修2-3学案1.1第2课时分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时分步乘法计数原理一、课前准备1．课时目标(1)理解分步乘法计数原理的含义；(2)会用分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.；(3)能区分分类计数原理与分步乘法计数原理的异同，并能进行两者的综合应用.2．基础预探(1)完成一件事，有两个步骤，做第1步有ｍ种不同的方法，做第2步有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.(2)如果完成一件事有ｎ个步骤，做每个步骤又各有ｍ1，ｍ2，ｍ3，…，ｍｎ种不同的方法，如图，那么完成这件事共有M＝种不同的方法.二、学习引领1.分类加法计数原理的含义利用分步乘法计数原理解决问题时，首先将完成一件事的过程分为若干步；各步相互独立；各步中的各种方法也相互独立；用任何一步中的任何一种方法都可以单独完成此步操作。2.处理分步乘法计数原理的步骤(1)明确题目中“需要什么步骤才能完成这件事”；(2)确定恰当的分步标准，将完成这件事的过程分为几步；(3)分步后再计算每一步的方法数，然后把完成每一步的方法数相乘，得到总数。3.处理分步乘法计数原理的注意点(1)要弄清楚题目中怎么处理才算完成这件事后再去做题，切忌心急(2)分步乘法计数原理中分步的基本要求是步骤完整，完成了所有步骤，恰好完成任务且步与步之间要相互独立。三、典例导析题型一分步乘法计数原理的简单应用例1（1）某工厂的三个车间的工人举行了劳动技能大比武活动，第一车间有2名工人胜出，第二车间有3名工人胜出，第三车间有2人胜出，厂长要求每个车间选出一人进入厂技能领导小组，有多少种不同的选法？（2）某工厂的4名工人要报名参加唱歌、跳舞、演讲比赛，每人报一项，则不同的报名方法有多少种？思路导析:先阅读题意，了解要解决什么问题，再将问题分成几步，最后应用乘法原理得到总数。解：（1）本题可分三步完成，第一步从第一车间中选1人有2种选法，第二步从第二车间中选1人有3种选法，第三步从第三车间中选1人有2种选法，根据分步乘法计数原理选法一共有N=2（种），因此选A.（2）由于每名工人都可以参加3项比赛中的任何一个，可以让4名工人各自选择自己参加的比赛项目，因此共有种选择方法.规律总结：使用分步乘法计数原理解题时，必须是各步全部完成，事情才算完成，注意不要漏掉步骤，分步要做到既简捷，又不遗漏、不重复.变式训练：某工厂的4名工人要报名参加唱歌、跳舞、演讲比赛，每个项目中至少有一名工人参加，每位工人参加几个项目不限，则不同的报名方法有多少种？题型二分步乘法计数原理在图形中的应用甲乙丙丁例2某城市有甲、乙、丙、丁四个城区,分布如图所示,现用五种不同的颜色涂在该城市地图上,要求相邻区域的颜色不相同甲乙丙丁思路导析:从最简单的区域入手，逐个剩余的相邻区域可能涂的颜色的种数，然后利用分步乘法原理得到总的种数。解:图中甲有5种不同的涂法,再涂乙,从剩下的4种颜色中选一种,有4种不同的涂法,同理再涂丙有3种不同的涂法,最后涂丁,只要与乙和丙颜色不同即可,有3种不同的涂法,根据乘法原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂法.规律总结：涂色问题要先从其中一个入手，然后依次分析后续的区域有多少种颜色可以用，最后利用乘法原理得到总的种类。变式训练：英语角语文学苑理综视界数学天地用6种不同颜色粉笔写黑板报,版块设计如图所示,英语角语文学苑理综视界数学天地题型三分类、分步乘法计数原理综合应用例3有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？思路导析:要取两个不同颜色的小球，可有三种情况：白黑、白红、黑红，每种情况需要分二步完成取球过程。解：一类是取白球、黑球，有种取法；一类是取白球、红球，有种取法；一类是取黑球、红球，有种取法；所以，共有取法：种.规律总结：综合运用两个计数原理时，既能合理分类，又能合理分步，解答时是先分类后分步，还是先分步后分类应视具体问题而定，一般是先分类后分步.变式训练：某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同的选法?四、随堂练习1．某建筑工地共有4个门，运料车从一个门驶进，卸料后从另一个门驶出，不同的走法种数是（）A8B.7C.11D.122.某校高二数学组有9名男教师，4名女教师，现从中任选男教师、女教师各一人去参加市组织的数学教研活动，则不同的选法种数有()A13种B．26种C36种D．72种3．课外兴趣小组的同学分别来自四个班，其中一班有5人、二班有7人、三班有4人、四班有４人，现从中选取４人组成联合小队参加市数学邀请赛，要求４人来自４个不同班级，则不同的组队方法的种数为4.现有3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有.由分步乘法计数原理知，不同的报名种数共有4×4×4=64(种)．5.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）6．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有多少种？五、课后作业1.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有（）A种B种C50种D以上都不对2．已知函数，其中，则不同的二次函数的个数共有()A125B15C．100D．103.从集合中任选两数，则复数中的虚数有_____答案:164.某市号码是7位数，其中头三位数字是283，末位数字是偶数，后4个数字与前三个数字不重复的号码个数共有___________.5．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法有多少种？ABCD6.参考答案：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时分步乘法计数原理一、课前准备2．基础预探1.mn2.ｍ1ｍ2ｍ3…ｍｎ三、典例导析例1变式训练解：由于每个项目至少有一名工人参加，而每名工人参加几个项目不限，可以让3个比赛项目各自选择工人，因此共有4×4×4==64种不同的方法．例2变式训练解:先选彩笔写英语角,有6种不同的选法;再选彩笔写语文学苑,不能与英语角用的彩笔相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案.例3变式训练解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人．第一类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有5×3=15种不同的选法；第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2=10种不同的选法；第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有3×2=6种不同的选法，第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有1种选法；由分类加法计数原理，共有15+10+6+1=32种不同的选法．四、随堂练习1．答案:D解析：从一个门驶进有4种方法，从一个门驶出有3种方法，根据乘法计数原理有种方法.2.答案:C解析：从9名男教师中任意挑选一名参加教研活动，共有9种不同的选法，从4名女教师中任意挑选一名参加教研活动，共有4种不同的选法，由分步乘法计数原理，不同的选法种数共有9×4=36(种)．3．答案:解析：分四步，第一步，从一班选一人，有5种选法；第二步，从二班选一人，有7种选法；第三步，从三班中选一人，有4种选法；第四步，从四班中选一人，有四种选法，因此组队方法有种.4.答案:64种解析：第一位同学有4种不同的填报方法，第二位同学有4种不同的填报方法，第三位同学也有4种不同的填报方法．由分步乘法计数原理知，不同的报名种数共有4×4×4=64(种)．5.答案:14解析：若不考虑数字２、３至少都出现一次这个限制条件，则个位、十位、百位、千位每个＂位置＂都有两种选择，所以共有个４位数，然后再减去＂＂这两个数，故共有个满足要求的四位数．6．解：先涂1，有4种涂法，再涂2有3种涂法，再涂3，分两类，一类是与1涂相同的色，则4、5有种不同的涂法，另一类是涂与1不同的色，有2种涂法，则4有1种涂法，5有3种涂法，因此总的涂法为种．五、课后作业1.答案:A解析：10名乘客中的每一名乘客都可以选择这5个车站中的任何一个车站下车，且这10名乘客在哪一个车站下车互不影响，由分步乘法计数原理，乘客下车的可能方式有种2．答案:C解析：若为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：第一步：对于系数a有4种不同的选法；第二步：对于系数b有5种不同的选法；第三步：对于系数c有5种不同的选法．由分步乘法计数原理，共有4×5×5=100(种)．3.答案:16解析：分两类，时，有四个值可取，此时有4个；时，a只有三个值可取，有四个值可取，此时有个；因此一共有4+12=16个.4.答案:1029解析：分四步.末位数字取0,4,6有3种取法；第四个数字有7种取法(因不能取2,8,3)；同理，第五、六个数字都有7种取法；