第五章 方差分析

第五章方差分析第1页，课件共75页，创作于2023年2月第一节方差分析的基本原理

k(k≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysisofvariance)方差分析就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。一、自由度和平方和的分解设有k组数据，每组皆具n个观察值，则该资料共有nk个观察值，其数据分组如表

第2页，课件共75页，创作于2023年2月第3页，课件共75页，创作于2023年2月总变异是nk个观察值的变异，故其自由度，而其平方和则为：

第4页，课件共75页，创作于2023年2月总平方和=组内(误差)平方和+处理平方和组间变异由k个的变异引起，故其自由度

,组间平方和为：

第5页，课件共75页，创作于2023年2月组内变异为各组内观察值与组平均数的变异，故每组具有自由度和平方和；资料共有组，故组内自由度组内平方和为：

第6页，课件共75页，创作于2023年2月表中类型资料的自由度分解式为：总自由度DFT=组间自由度DFt+组内自由度DFe（组内均方也称误差均方）

第7页，课件共75页，创作于2023年2月[例5.1]以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结果如表5.2，试分解其自由度和平方和。

第8页，课件共75页，创作于2023年2月表5.2水稻不同药剂处理的苗高(cm)

第9页，课件共75页，创作于2023年2月总自由度的剖分：总变异自由度DFT=(nk-1)=(4

4)-1=15药剂间自由度DFt=(k-1)=4-1=3药剂内自由度DFe=k(n-1)=4

(4-1)=12总平方和的剖分：

第10页，课件共75页，创作于2023年2月或第11页，课件共75页，创作于2023年2月以上药剂内均方系4种药剂内变异的合并均方值，它是表5.2资料的试验误差估计；药剂间均方则是不同药剂对苗高效应的变异。第12页，课件共75页，创作于2023年2月二、F分布与F测验若所得F≥F0.05或≥F0.01，则H0发生的概率小于等于0.05或0.01，应该在=0.05或=0.01水平上否定H0，接受HA；若所得F＜F0.05或F＜F0.01，则H0发生的概率大于0.05或0.01，应接受H0。

第13页，课件共75页，创作于2023年2月F分布曲线（随和的不同而不同）

第14页，课件共75页，创作于2023年2月在方差分析的体系中，F测验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否真实存在。所以在计算F值时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另一项变异(例如试验误差项)的均方作分母。如果作分子的均方小于作分母的均方，则F＜1；此时不必查F表即可确定P＞0.05，应接受H0。F测验需具备：(1)变数y遵循正态分布N(，)，(2)和彼此独立两个条件。

第15页，课件共75页，创作于2023年2月[例5.2]测定东方红3号小麦的蛋白质含量10次，得均方=1.621；测定农大139小麦的蛋白质含量5次，得均方=0.135。试测验东方红3号小麦蛋白质含量的变异是否比农大139为大。

第16页，课件共75页，创作于2023年2月假设H0：东方红小麦总体蛋白质含量的变异和农大139一样，即H0：=，对HA：＞。显著水平取=0.05，=9，

=4时，F0.05=6.00。测验计算:

此F＞F0.05，即P＜0.05。推断：否定H0，接受HA，即东方红3号小麦蛋白质含量的变异大于农大139。

第17页，课件共75页，创作于2023年2月表5.3水稻药剂处理苗高方差分析表第18页，课件共75页，创作于2023年2月第二节多重比较

处理平均数间的比较

一个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个比较，因而这种比较是复式比较亦称为多重比较（multiplecomparisons）。这种在F测验基础上再做的平均数间多重比较称为Fisher氏保护下的多重比较(Fisher’sprotectedmultiplecomparisons)。

第19页，课件共75页，创作于2023年2月一、最小显著差数法

最小显著差数法(leastsignificantdifference，简称LSD法)，LSD法实质上是第四章的t测验。

程序是：

处理间的F测验为显著

计算出显著水平为的最小显著差数

任何两个平均数的差数()，如其绝对值≥，即为在水平上差异显著。反之，则为在水平上差异不显著。

第20页，课件共75页，创作于2023年2月已知：若|t|≥，即为在水平上显著。最小显著差数为：当两样本的容量n相等时，

第21页，课件共75页，创作于2023年2月在方差分析中，上式的有了更精确的数值MSe

。为：

[例5.4]试以LSD法测验表5.2资料各种药剂处理的苗高平均数间的差异显著性。

第22页，课件共75页，创作于2023年2月由(例5.3)计算得F=20.56为显著，MSe=8.17，DFe=12，故

由附表4，12时，t0.05=2.179，t0.01=3.055

LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)；LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)

将各种药剂处理的苗高与对照苗高相比，差数大于4.40cm为差异显著；大于6.17cm为差异极显著。

第23页，课件共75页，创作于2023年2月二、q法

基于极差的抽样分布理论Student-Newman-Keul提出了q测验或称复极差测验，有时又称SNK测验或NK测验。

q测验方法是将一组k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差值的。

其尺度值构成为：

第24页，课件共75页，创作于2023年2月式中2≤p≤k，p是所有比较的平均数按大到小顺序排列所计算出的两极差范围内所包含的平均数个数(称为秩次距)，SE为平均数的标准误，

[例5.5]试对表5.2资料的各平均数作q测验。

第25页，课件共75页，创作于2023年2月由5.1资料得：查附表7q值表，当DF=12时，p=2，3，4的值，并由(5·11)计算出尺度值，列于表5.4。

第26页，课件共75页，创作于2023年2月由表6.2可知，=29cm，=23cm，=18cm，

=14cm。由此可得到

第27页，课件共75页，创作于2023年2月三、新复极差法

新复极差法，又称最短显著极差法(shortestsignificantranges，SSR)

在不同秩次距p下，平均数间比较的显著水平按两两比较是，但按p个秩次距则为保护水平。

第28页，课件共75页，创作于2023年2月[例5.6]试对表5.2资料的各平均数作新复极差测验。查附表8，得值，由(5·13)算得在p=2，3，4时的值(表5.5)，即为测验不同p时的平均数间极差显著性的尺度值。

第29页，课件共75页，创作于2023年2月表5.5表5.2资料LSR值的计算(新复极差测验)

第30页，课件共75页，创作于2023年2月结论：表5.2资料的4个处理的苗高，除处理A与C差异不显著外，其余处理间均达显著差异，本例结果与上面介绍的q测验法相同，但q法的要比新复极差法的大。

第31页，课件共75页，创作于2023年2月四、多重比较结果的表示方法

(一)

列梯形表法

第32页，课件共75页，创作于2023年2月(二)划线法

0.01水平下平均数差异显著性结果(q法)

第33页，课件共75页，创作于2023年2月(三)标记字母法

首先将全部平均数从大到小依次排列。

然后在最大的平均数上标上字母a；

并将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著的，都标上字母a，

直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b(向下过程)，

再以该标有b的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母b(向上过程)；

再以该标有b的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b，

，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c。……如此重复进行下去，直至最小的一个平均数有了标记字母且与以上平均数进行了比较为止。

第34页，课件共75页，创作于2023年2月凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡没有相同标记字母的即为差异显著。

第35页，课件共75页，创作于2023年2月第三节单向分组资料的方差分析

单向分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料，

所用的试验设计为完全随机试验设计。

一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析表5.10组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析第36页，课件共75页，创作于2023年2月第37页，课件共75页，创作于2023年2月[例5.10]作一水稻施肥的盆栽试验，设5个处理，A和B系分别施用两种不同工艺流程的氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施氮肥。每处理4盆(施肥处理的施肥量每盆皆为折合纯氮1.2克)，共5×4=20盆，随机放置于同一网室中，其稻谷产量(克/盆)列于表6.11，试测验各处理平均数的差异显著性。

第38页，课件共75页，创作于2023年2月表5.11水稻施肥盆栽试验的产量结果

第39页，课件共75页，创作于2023年2月

分析步骤：(1)自由度和平方和的分解总变异自由度DFT=nk-1=5×4-1=19

处理间自由度DFt=k-1=5-1=4

误差(处理内)自由度DFe=k(n-1)=5×(4-1)=15

矫正数

第40页，课件共75页，创作于2023年2月(2)F测验

表5.12表5.11资料的方差分析

第41页，课件共75页，创作于2023年2月(3)各处理平均数的比较表5.13多重比较时的值计算第42页，课件共75页，创作于2023年2月表5.14施肥效果的显著性(SSR测验)第43页，课件共75页，创作于2023年2月推断：根据表5.14多重比较结果可知，施用氮肥(A、B、C和D)与不施氮肥有显著差异，且施用尿素、碳酸氢铵、氨水1与不施氮肥均有极显著差异；尿素与碳酸氢铵、碳酸氢铵与氨水1、氨水1与氨水2处理间均无显著差异。

第44页，课件共75页，创作于2023年2月二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析

若k个处理中的观察值数目不等，分别为n1，n2，…，nk，在方差分析时有关公式因ni不相同而需作相应改变。主要区别点如下：(1)自由度和平方和的分解第45页，课件共75页，创作于2023年2月(2)多重比较平均数的标准误为：

第46页，课件共75页，创作于2023年2月上式的和系两个相比较的平均数的样本容量。但亦可先算得各的平均数。

第47页，课件共75页，创作于2023年2月[例5.11]某病虫测报站，调查四种不同类型的水稻田28块，每块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫口密度列于表5.15，试问不同类型稻田的虫口密度有否显著差异？

第48页，课件共75页，创作于2023年2月该资料=7+6+8+7=28故

总变异自由度DFT=Σni-1=28-1=27

稻田类型间自由度DFt=k-1=4-1=3

误差自由度DFe=Σni-k=28-4=24求得：第49页，课件共75页，创作于2023年2月表5.16表5.15资料的方差分析表5.16所得F=5.91＞F0.01，因而应否定H0：，即4块麦田的虫口密度间有极显著差异。

第50页，课件共75页，创作于2023年2月F测验显著，再作平均数间的比较。需进一步计算n0，并求得SE(LSR测验）或(LSD测验)。如在此可有：

第51页，课件共75页，创作于2023年2月第四节两向分组资料的方差分析

按完全随机设计的两因素试验数据，都是两向分组资料，其方差分析按各组合内有无重复观察值分为两种不同情况

.一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析

设有A和B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，每一处理组合仅有1个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如表5.23。

第52页，课件共75页，创作于2023年2月表5.23完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值的数据结构

（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）

第53页，课件共75页，创作于2023年2月表5.24表5.23类型资料自由度和平方和的分解及方差分析第54页，课件共75页，创作于2023年2月[例5.13]采用5种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植4株，每组为6盆，每盆一个处理，试验共有4组24盆，并按组排于温室中，使同组各盆的环境条件一致。当各盆见第一朵花时记录4株豌豆的总节间数，结果列于表5.25，试作方差分析。

第55页，课件共75页，创作于2023年2月表5.25生长素处理豌豆的试验结果第56页，课件共75页，创作于2023年2月(1)自由度和平方和的分解根据表6.24将各项自由度直接填于表6.26。以下分解平方和，求得：

第57页，课件共75页，创作于2023年2月表5.26表5.25资料的方差分析第58页，课件共75页，创作于2023年2月

(2)F测验

推断：组间环境条件无显著差异，不同生长素处理间有显著差异。

(3)处理间比较

此例有预先指定的对照，故用LSD法。求得：

查得=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故：

LSD0.05=1.202×2.131=2.56(节间)，LSD0.01=1.202×2.947=3.54(节间)

第59页，课件共75页，创作于2023年2月以LSD测验各生长素处理与对照的差异显著性于表5.27。结果赤霉素的效应最强，吲哚乙酸次之，其余处理皆与对照无显著差异。表5.27豌豆生长素处理后始花时的节间数(4株总和)第60页，课件共75页，创作于2023年2月二、组合内有重复观察值的两向分组资料的方差分析

设有A、B两个试验因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一组合有n个观察值，则该资料有abn个观察值。如果试验按完全随机设计，则其资料类型如表5.28。

第61页，课件共75页，创作于2023年2月表5.28完全随机设计的二因素试验，每处理组合有重复观察值的数据结构

(i=1，2，…，a；j=1,2，…，b；k=1,2，…，n)

第62页，课件共75页，创作于2023年2月第63页，课件共75页，创作于2023年2月表5.29表5.28类型资料自由度和平方和的分解(C=T

2/abn)

第64页，课件共75页，创作于2023年2月在上述测验中，互作的分析非常重要。通常首先应由测验互作的显著性。

第65页，课件共75页，创作于2023年2月表5.313种肥料施于3种土壤的小麦产量（g）(a=3,b=3,n=3,abn=27)第66页，课件共75页，创作于2023年2月(1)自由度和平方和的分解根据上表，将各项变异来源的自由度填于表5.32。以下分解平方和，求得：

第67页，课件共75页，创作于2023年2月表5.32表5.31资料的方差分析

第68页，课件共75页，创作于2023年2月(2)F测验将上述结果录于表5.32，以固定模型作F测验。假设H0：=0求得F=4.81/0.92