第二课时正射影和三垂线定理

第二课时正射影和三垂线定理第1页，课件共30页，创作于2023年2月课标研读1．理解点、斜线、斜线段在平面上的射影，图形在平面上的射影等概念；掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活应用．2．重点是三垂线定理及其逆定理，难点是非标准位置的三垂线定理及其逆定理的应用．课前自主学习第2页，课件共30页，创作于2023年2月温故夯基1．直线a⊥平面α的判定定理为m∩n＝O，m⊂α，n⊂α，a⊥m，a⊥n⇒a⊥α.2．若a∥b，a⊥α，则______3．若a⊥α，b⊥α，则_______b⊥α.a∥b.第3页，课件共30页，创作于2023年2月知新益能1．过一点向平面引_____，_____叫做这个点在这个平面内的射影．这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的__________2．一条直线和一个平面____，但不和这个平面____时，这条直线就叫做这个平面的____，斜线和平面的交点叫_______从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的________垂线垂足垂线段．相交垂直斜线斜足．斜线段．第4页，课件共30页，创作于2023年2月3．在_______的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_____垂直，那么它也和这条____垂直；反之，如果和这个平面的一条____垂直，那么它也和这条斜线的______垂直．平面内射影射影斜线斜线第5页，课件共30页，创作于2023年2月问题探究1．从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影长受斜线段长的影响吗？提示：受影响．相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长，反之射影相等的斜线段相等，射影较长的斜线段也较长．第6页，课件共30页，创作于2023年2月2．“三垂线定理”及“逆定理”中“平面内”这个条件能否省略？提示：两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明．这是因为：由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直．第7页，课件共30页，创作于2023年2月题型一图形在某个平面上的射影课堂互动讲练图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向平面引垂线，垂足点所形成的图形．一般是找图形各顶点的射影点．第8页，课件共30页，创作于2023年2月如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方体的中心，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是__________．(要求：把可能的图的序号都填上)【思路点拨】找图形边界点的投影点，再连线．例1第9页，课件共30页，创作于2023年2月【解析】由于A、C在下底面上的射影是它们各自本身，P在下底面上的射影是AC中点，故△PAC在下底面上的射影是下底面对角线AC.因此，图①是可能的，且△PAC在上底面上的射影是上底面对角线A1C1也是图①的情形；而A在侧面BC1上的射影是B，P在侧面BC1上的射影是侧面BC1的中心，故图④也是可能的．同理，可知△PAC在其他三个侧面上的射影也都是图④的情形，于是图②、③是不可能的．因此，所有可能的情形是图①、图④.【答案】①④第10页，课件共30页，创作于2023年2月【名师点评】本题侧重于考查数学语言向图形语言的转化，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革较为成功的一种题型．第11页，课件共30页，创作于2023年2月题型二三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去其中线面垂直的过程．从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反．利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”．第12页，课件共30页，创作于2023年2月(2010年高考陕西卷改编)如图，在四棱锥P

ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E、F分别是AD、PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.【思路点拨】结合量的计算寻找PC⊥BF、PC⊥BE.例2第13页，课件共30页，创作于2023年2月【证明】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA＝AB＝2∴PB＝2.∴PB＝BC.又∵F为PC的中点，∴BF⊥PC.连结AC.设AC∩BE＝G，AC为PC在平面ABCD上的射影．第14页，课件共30页，创作于2023年2月【思维总结】运用三垂线定理及逆定理，其关键是准确识别或作出构成定理的五个元素．第15页，课件共30页，创作于2023年2月在本例中，求证：BC⊥PB、CD⊥PD.证明：PA⊥面ABCD.AB为PB在面ABCD上的射影，BC⊂面ABCD且BC⊥AB，∴BC⊥PB，同理可证CD⊥PD.互动探究第16页，课件共30页，创作于2023年2月题型三点到平面的距离平面外一点向平面引垂线，这点与垂足之间的长度是这点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直角边来求．已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离．【思路点拨】欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．例3第17页，课件共30页，创作于2023年2月【解】过P作PO⊥平面ABC于O点，连结AO，BO，CO，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵PA＝PB＝PC＝a，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．第18页，课件共30页，创作于2023年2月【思维总结】求点到平面的距离较常用的方法有两种：(1)作出垂线段，求垂线段的长度；(2)求出几何体的体积，利用等积法转化成求点到平面的距离．第19页，课件共30页，创作于2023年2月错误运用三垂线定理或逆定理条件在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1D＝DC，判定对角线BD1和B1D是否一定垂直，请说明理由．例思维误区警示第20页，课件共30页，创作于2023年2月【错解】连结C1D，D1C，∵B1C1⊥面CDD1C1，∴C1D为B1D在平面CDD1C1上的射影．∵D1D＝DC，∴D1C⊥C1D，∴D1C⊥B1D.又D1C为BD1在平面CDD1C1的射影，∴B1D⊥BD1.【错因】

B1D⊥D1C，虽然D1C是斜线BD1在面CDD1C1上的射影，但B1D⊄面CDD1C1，用错三垂线定理．【自我挑战】在长方体中，体对角线不一定垂直．要使B1D⊥BD1，必须有BB1＝BD.第21页，课件共30页，创作于2023年2月1．准确认识三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理及其逆定理是解、证与线线(面)垂直有关问题的重要而有效的工具，三垂线定理的基本要素是“一面四线”，一面：基础平面；四线：斜线、垂线、射影、面内直线．规律方法总结第22页，课件共30页，创作于2023年2月(2)应用三垂线定理及其逆定理解题通常要遵循的“三步曲”：①定“线面”：确定一个基础平面和这个平面内的一条直线；②找“三线”：找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面内的射影；③证“垂直”：证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直．第23页，课件共30页，创作于2023年2月2．三垂线定理及其逆定理的区别三垂线定理是先有平面内的直线a垂直于射影的条件，然后得出a垂直于斜线的结论．而逆定理则是已知平面内的直线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于射影，即三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”，逆定理正好相反，在引用时注意不要混淆．第24页，课件共30页，创作于2023年2月1．(2010年长春调研)下面有四个命题：(1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(3)垂线段比任何一条线段都短；(4)斜线在平面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点．其中正确的命题有(

)A．0个B．1个C．3个D．4个随堂即时巩固第25页，课件共30页，创作于2023年2月解析：选A.(1)、(2)、(3)均不正确．垂线段和斜线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成立．(4)也不对，斜线在平面内的射影必为直线，只有点或垂线在平面内的射影才是点．故本题应选A.第26页，课件共30页，创作于2023年2月2．△ABC在平面α内，点P在平面α外，PO⊥α于O，且P到A、B、C的距离相等，则O为△ABC的(

)A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选A.由PO⊥α于O，知AO、BO、CO分别为斜线段PA、PB、PC在平面α内的射影，又PA＝PB＝PC，所以AO＝BO＝CO，即O为△ABC的外心．第27页，课件共30页，创作于2023年2月3．(2010年吉林高二统考)如图，在正方体ABCD

A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、AB上的点，若∠NMC1＝90°，那么∠NMB1的大小是(

)A．小于90°

B．等于90°C．大于90°

D．不能确定解析：选B.由已知C1M是平面ABB1A1的斜线，而C1B1⊥平面ABB1A1，所以MB1是斜线C1M在平面ABB1